《HPM：数学史与数学教育》简介
基于HPM的数学教育研究
基于HPM的数学教育研究作者：刘超来源：《教学与管理(理论版)》2011年第05期HPM（History and Pedagogy of Mathematics）意指数学史与数学教育之间的联系，它作为一个学术领域的出现始于1972年。
HPM研究的目标是通过数学历史的运用，提高数学教育的水平。
HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文本在教学中的应用等。
[1]但是，作为一个研究领域，大家对HPM的功能与作用的认识显得比较混乱，有些内容显然偏离了HPM 作为数学与数学教学中介的研究领域。
实际上，作为数学走向数学教学的中介，HPM的功能在于通过数学史寻找数学教育的规律和经验，把数学知识的历史形态加工整理成教师和学生能够方便使用的教育形态，使数学史为生动活泼的数学教学服务。
[2]本文试以海伦公式为例，探讨HPM的教育功能，旨在抛砖引玉，为HPM真正融入数学教育开辟思路。
一、HPM视域下的一题多解、一题多证及其教育价值HPM视域下的一题多解、一题多证即是通过对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，培养数学洞察力，启发数学思想方法，提升数学思维能力，并可在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀。
以海伦公式为例，自古至今关于海伦公式的证明有许多方法，笔者已在《海伦公式证明之史海钩沉》一文中给出了关于海伦公式的一系列的证明方法。
[3]从HPM的角度来看，海伦公式的各种证明方法可带给我们很多教学上的启发和反思。
首先，给出海伦公式的各种证法，是为了丰富自身的教学内容知识，这也是数学史融入数学教学（HPM）的重要功能之一。
试想若非在数学历史文本中找到这些不同版本的证法，或许至今我们仍只知道海伦纯几何形式的证法，或是多数课本采用的代数化的余弦定理证法。
1 数学史的教育价值(改)
方法的背景，学习数学概念和方法有必要了解它们的发展历史。
5
©2012, Huang YC. All right reserved
1.1 数学史和数学教育（HPM）简介
Huang Youchu: The History of Mathematics (Wenzhou University)
早在19世纪，数学史与数学教育之间的关系已经受 到欧美数学家和数学教育家们的关注。 法国著名数学家庞加莱： 如果我们想要预见数学 的将来,适当的途径是研究
义也被一些西方数学史家和数学教育工作者所认识。早期 的数学教育杂志《新数学年刊》以大量篇幅刊登数学史的 文章，证明了这一点。
13
©2012, Huang YC. All right reserved
1.1 数学史和数学教育（HPM）简介
Huang Youchu: The History of Mathematics (Wenzhou University)
Huang Youchu: The History of Mathematics (Wenzhou University)
1742年，德国数学家海尔布罗纳（J.C.Heilbronner,1706~1747）出版《世界数学史》。 1758年法国数学家蒙蒂克拉（J.E.Montucla,1725~1799） 出版《数学史》，标志着数学史作为一门独立研究领域的 出现。 而随着该领域研究的深入和普及，数学史对数学教育的意
要价值：
“如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求 解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增 加”．
11பைடு நூலகம்
©2012, Huang YC. All right reserved
1.1 数学史和数学教育（HPM）简介
hpm在高中数学深度教学中的应用--以“对数与对数运算”教学为例
22中学数学研究2020年第2期(下) HPM在高中数学深度教学中的应用*——以“对数与对数运算”教学为例厦门大学附属科技中学(361005)李海燕摘要数学史与数学教育关系(HPM)是兴起于上世纪70年代的一个数学教育研究领域.作为高中数学教师，笔者以开设过的市级公开课“对数与对数运算”教学为例，阐述在新高考改革背景下，强调将数学文化渗透于高中数学课堂的趋势下，对借助HPM的高中数学教学进行深度分析和重构,旨在说明将数学史有机地融入高中数学教学，会对学生数学核心素养的提升起到极大的推动作用.关键词HPM；深度教学；对数与对数运算1问题提出的背景1859年，达尔文发表了进化论.在此基础上，德国生物学家海克尔(E·Haeckel,1843-1919)提出了生物学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”.此定律的提出不仅震惊了生物界，也引发了教育界的巨大变革，人们将其移植于教育得出:个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程，学习者应追溯正在学习的主题在历史中演变的主要步骤，这就是教育界的新生代理论——“历史发生原理”.针对数学教育，这一原理可以理解为“个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，学生在认知上会重蹈历史的覆辙”，这对我们进行数学教学具有重要的指导意义.1972年，数学史与数学教学关系国际研究小组(Inter-national Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics,简称HPM)成立，它标志着数学史与数学教育关系作为一个学术领域的出现，数学家们已认识到数学史对数学教育的重要意义，数学史已经引起了国内外数学教育领域的广泛关注.2017年，我国教育部制定的《普通高中数学课程标准》明确指出，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养，将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.最新的高考考试说明也已明确将数学文化纳入考试范畴，而数学史作为数学文化的重要组成部分，理应受到高中数学教师的高度重视.2借助HPM的“对数与对数运算”教学深度分析和重构过程2.1对数的发展史与人教A版必修1中对数的教材编制顺序比较(1)对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数及对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段.对于“对数”的起源，可以追溯到公元前3世纪.当时古希腊著名的数学家阿基米德已经认识到了等差数列与等比数列之间存在着某种对应关系，并提出了指数律.公元15世纪，法国数学家许凯在其著作《算数三部》中给出了双数列之间的对应关系.1,2,4,8,16,32,···,131072,262144,524288,1048576和0,1,2,3,4,5,···,17,18,19,20.到了公元16世纪，等差数列和等比数列之间的对应运算关系——指数律，已经广为人知，许多数学家都想利用指数律来简化计算，但在实际计算时，指数律的作用却微乎其微.比如要求131072×1048576，我们能在对应的等差数列中找到17和20，利用指数律求出131072×1048576=237，可若要求123456×1234567，则在上述双数列中，找不到对应的指数，此时大数字的乘法运算无法得到简化.大批数学家都在进行相关的研究，但都遇到了各种瓶颈，使得相关研究停滞不前.当时,恰处天文学迅猛发展的时代背景,为了解决类似天体之间距离的计算问题,迫切需要大数字的简化计算方法,此时,苏格兰数学家、天文学家纳皮尔的“对数”应运而生.纳皮尔花了整整20年的时间,才找到了适合的双数列,递减的等比数列:107,107(1−10−7),107(1−10−7)2,···,107(1−10−7)n,···与等差数列0,1,2,3,···,n,···相对应.纳皮尔采用与1非常接近的底数,使得数列相邻两项的间隔非常小,所有小于107和大于108的整数都可以在同一个等比数列中找到,于是又可利用指数律简化乘除运算了.之后,经过纳*本文系厦门市直属中小学2019年度课题“在深度学习中发展数学抽象素养的行动研究zsx2019052.2020年第2期(下)中学数学研究23皮尔和其好友布里格斯的改良,对数逐渐变成今天我们见到的样子.100多年后,瑞士数学家欧拉提出了“对数源于指数”,此后,指数与对数的关系才被大家熟知.(2)对数在教材人教A版必修1中的编制顺序.在科技大爆炸的今日,大数字的计算早已不是什么难事,对数对于简化计算的作用,已不再被人们需要.教材中,先安排指数与指数函数的学习,再通过人口增长模型y=13×1.01x,已知y的值,求x的方式引入“对数”.这种方式既结合了实际问题,体现了引入对数学习的必要性,又简明扼要地揭示了对数与指数的关系,有利于学生知识体系的完善.但这种引入方式容易造成两种后果,一种是学生对对数的作用认识模糊,一种是容易出现loga (M+N)=logaM+logaN和loga (M·N)=logaM·logaN等运算错误.究其原因,无非是教材的编排,脱离了对数的发展史,这使得被恩格斯称为“17世纪数学的三大成就”的对数失去了光芒,学生根本体会不到伽利略在说“给我空间、时间和对数,我就能创造一个宇宙”时,是一种怎样的心境.2.2如何借助HPM重构“对数与对数运算”的教学借助HPM,是不是意味着教学必须按照知识的发展顺序来进行呢?答案当然是否定的！显然,让学生完全重复数学知识的形成过程,是很荒谬的.其一,教学条件不允许;其二,历史上所有数学知识的形成都是前人不断摸索的结果,他们走了很多弯路,犯过不少错误,才能得到今日这么多数学瑰宝.荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔指出:“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹,而应是经过改良、同时有更好引导的历史过程.”借助HPM的高中数学教学是指将数学史有机地融入数学教学中,再现数学知识被发现、证明及应用的过程.教师逐步引导学生发现问题、实践操作、交流合作,体验解决问题的历程,从而达到知识、技能和情感态度价值观的三维教学目标.这种教学模式,不仅让学生经历数学知识再创造的过程,还培养了学生的数学核心素养.在具体操作中,教育者应设置恰当的教学设计,将学生置于数学知识产生前的水平,指导学生进行数学知识的“再创造”！弗赖登塔尔还进一步指出“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间,以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡.”基于以上观点,数学教师在进行“指导再创造”时,应该遵循以下原则:(1)“再创造”应在“与时俱进,联系实际”的前提下,改良、创造数学知识的形成过程.(2)“再创造”应该立足学生的最近发展区、以生为本.(3)“再创造”应达到数学教学的四基四能要求,兼顾考试评价.2.3借助HPM的“对数与对数运算”教学设计(1)对数发展顺序和教材顺序,借助HPM的知识重构,再创造后的教学设计如图1所示.图1(2)重构后的重点教学环节设计意图.重点环节一:这是上公开课的前两天的新闻.此新闻刚刚发生,以此为案例,更能引起学生的共鸣和兴趣,体现了教师在重构对数教学时,注重时代背景,与时俱进.由“137亿光年”入手,引出“光年”的概念.为后面引入299792.468×31536000=?,这样大数字的乘法运算起了承上启下的作用.这个问题的提出是本节课的主线,后面的教学问题都是为了解决以此题为例的多位数的乘法运算问题.24中学数学研究2020年第2期(下)重点环节二:通过介绍对数的发明者纳皮尔的经历,让学生感受到在追求科学,追求真理的过程中,没有捷径可走,教育学生要吃苦耐劳,实事求是,争当祖国的栋梁！“讲故事”的方式,既能吸引学生的注意力,让学生深刻地体会以10为底的对数被称为“常用对数”的历史背景,又能让他们明白知识的发生发展过程,而不是教师一味地灌输,在学习中,教师帮助学生立足于各自的最近发展区,学生的思维能力得到了很好的锻炼.此环节很好地实现了三维目标中“情感态度与价值观”的要求.重点环节三:本环节的数学实验是本节课的重点和精华！学生通过科学计算器,发现数学实验单中的等量关系,从而得出同底对数之间的加减运算性质,学生亲身体会了问题的发生、发展过程.而且,在计算的过程中,教师故意设置了真数为负数的情况,让学生进一步探索真数不能为负数的本源性问题是因为真数是由指数式中的幂转化而来的.此处的设置,既对应了对数的概念,又为对数函数定义域的学习,提供了前提保证.重点环节四:由数学实验得出的同底对数的加减运算性质,仅仅是一种猜想,虽然探索新问题的过程,常常是需要猜想的,但是猜想过后,我们应该秉着严谨的科学态度给出严格的证明,证明过程板书.这种设置,能让学生再次体会到数学探索的过程不仅需要灵感,更需要实事求是的科学态度,培养学生对数学的钻研精神.重点环节五:完全是为了解决引例中的多位数乘法问题作铺垫,通过探索例2的解决过程,学生能体会到对数将“乘法”转化为“加法”的思路,领悟将所求积取对数的作法,这将是今后常常会涉及到的一个问题！有了本环节的过渡,引导学生求lg(299792.468×31536000)= lg299792.468+lg31536000比较自然的.重点环节六:有了前面环节的铺垫,学生在此环节中的学习非常顺利！学生在此环节中收获到了解决问题的喜悦,也切身体会到了在过去计算技术不发达的时代,对数对简化计算的作用是多么巨大的,体会到了对数对人类科学的发展和人类文明的进步起到了惊人的推动作用,深刻感受到了数学的魅力.通过上述六个重点环节的设计意图,可以看出,借助HPM的《对数与对数运算》教学既没有生搬硬套对数的发展史,也没有脱离教材内容和教学目标,而是将HPM理论和实际联系,借助信息化的教学手段,以时代为背景,是一次与时俱进,富有新意的尝试！3对借助HPM的高中数学深度教学的进一步思考和建议经过此次尝试,笔者深知,将数学史融入高中数学教学是不容易的.但也正是有了此次尝试,笔者更加深刻地体会到数学史是一座取之不尽用之不竭的宝藏.据统计,人教A 版必修一到必修五共出现了52次数学史的内容.其中,必修三是关于算法、概率和统计的内容,数学史出现的最多,有19处.如此多的数学瑰宝等待着我们去挖掘和使用,高中教师应尽量借助HPM进行教学重构,以期能达到帮助学生强化对数学的认知,并对学生进行情感领域和文化领域的教育功能.基于此次的教学尝试和思考,笔者有以下几点建议.(1)教师应对使用HPM的知识点进行筛选.教材中虽然出现了如此多的数学史内容,但不代表都要使用.教学中,我们还是应以课本为主,以防将数学课变成了历史课,不要将“用数学史”变成了“教数学史”！(2)知识点的相关数学史内容的选取应该关注“过程性”、“实际性”和“应用性”.注重学生思维的“螺旋式上升”的发展规律,将数学思想方法渗透于HPM的数学教学模式中,激发学生的学习动机,唤醒他们的学习内动力.(3)一个好的HPM教学,仅仅靠课堂的45分钟是远远不够的！教师可要求学生通过查阅书籍和使用网络等信息技术,在课余完成某数学知识点的相关数学史作业.作业的形式可以多种多样,如制作P P T、展板、或是手抄报等等形式,引导学生自主学习,进一步提升相关的数学核心素养.参考文献[1]汪晓勤,欧阳跃.HPM的历史渊源[J]．数学教育学报,2003,12(3)．[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018.1.[3]徐斌,汪晓勤.从指数律到对数[J].数学教学,2010,(6).[4]Freudenthal H.Phenomenology of Mathematical Structures[M].Reidel,1983.[5]弗赖登塔尔．数学教育再探——在中国的讲学[M]．刘意竹,杨刚译．上海教育出版社,1999．。
当小学数学课堂遇见HPM
当小学数学课堂遇见HPM作者：邓玉华来源：《天津教育·下》2021年第05期【摘要】HPM，即数学史与数学教育。
小学数学课堂中融入数学史不仅可以丰富学生对数学的认识，还可以促进学生数学思维的发展，提高学生的数学文化素养。
笔者以人教版教材为例，分析了数学史的呈现方式及其在教学实践中的运用价值。
【关键词】数学史;数课堂学;运用价值中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：0493-2099（2021）15-0177-02When the Elementary School Math Class Meet HPM——The Presentation and Application Value of the History of Mathematics in the TSextbook of the People's Education Edition（Experimental Primary School in Meilie District， Sanming City， Fujian Province，China）DENG Yuhua【Abstract】HPM， namely the history of mathematics and mathematics education. The integration of the history of mathematics in the primary school mathematics classroom can not only enrich students' understanding of mathematics， but also promote the development of students' mathematical thinking and improve their mathematical cultural literacy. The author takes the PEP textbook as an example to analyze the presentation of the history of mathematics and its application value in teaching practice.【Keywords】History of mathematics; Mathematics classroom learning; Application value历史，源远流长，博大精深。
2022数学史与数学教育研究综述
数学史与数学教育研究综述12世纪时，有关古希腊和中世纪阿拉伯的数学书籍就作为一种数学古籍和数学研究的形式流传入西欧，对西欧数学发展产生了影响。
近代以蒙蒂克拉出版的经典著作《数学史》为代表，数学史走入人们的视野，但早期的数学史学者包括蒙蒂克拉、康托尔并未关注数学史与数学教育二者的联系。
1855年，《数学历史、传记与文献通报》诞生于法国，这也是历史上第一种数学史专业刊物。
随着数学史研究愈发细化，许多学者渐渐认识到，史料性质的数学史有着多样的教育价值，如英国数学家德摩根（A.De Morgan）指出，研究数学知识的发展进程和历史次序，能够给数学教育带来思考和帮助。
1972年第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教育（HPM）理论应运而生，HPM的研究工作涉及到教师、学生、教学等多个方面，从“为教育的数学史”材料出发，研究历史相似性的相关规律，探索数学史如何融入教学实践，HPM与教师专业发展又有何联系等等。
本文主要关注“融入数学史的教学实践研究”。
HPM理论最终指向实践教学，阐释了在数学教学中，如何以数学史视角进行切入与设计，探讨了融入数学史作为一种数学教学方法，有何效果，又如何实现。
随着我国教育改革的步伐和数学课程标准对数学史的持续关注，HPM理论开始走进一线数学教师的视野，数学史也渐渐走进一线的数学课堂。
一、数学史与数学教育关系的沿革国际上将专门研究数学史与数学关系的组织成为HPM。
数学史与数学教学和学习之间的关系很早就引起了数学家，数学史家和数学教育家的关注，在19世纪初就有一些数学家关注到了数学史与数学学习的关系，如阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）就认为学生“在数学上取得进展，应该向大师学习而不是他们的学生”。
1896年，卡约黎（Florianeaj Cajori, 1859-1930）在《A history ofelementary mathematics with hints on methods of teaching》中写到：“儿童的教育必须要考虑目前的与历史上人类的教育相一致的方式安排，换句话说，个体的知识发生要遵循种族的知识发生所经历的相同过程”。
HPM视角下高中数学课堂教学初探——“倾斜角与斜率”的同课异构教学案例分析
数学·教学研究HPM 视角下高中数学课堂教学初探——“倾斜角与斜率”的同课异构教学案例分析江苏苏州市吴中区甪直高级中学（215127）冯中芹傅立明［摘要］“数学史与数学教育”（HPM ）是一个重要的研究领域，基于HPM 开展数学教学具有重要的意义。
“斜率”发现至今有着漫长的历史，在HPM 视角下教学“倾斜角与斜率”，渗透数学文化、数学情感与数学观，能起到很好的效果。
［关键词］HPM ；倾斜角；斜率；同课异构［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A ［文章编号］1674-6058（2023）02-0019-03《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（本文简称新课标）明确指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。
按照新课标的要求，传统的教学观念应该要改变，教师应以立德树人为教育教学目标，着眼数学学科核心素养培育，抓住数学本质，重视数学文化，真正实现学生发展。
但是，要发挥数学文化的作用，教师自身必须要不断学习，提高自身的数学文化素养。
“数学史与数学教育”（HPM ）是一个重要的研究领域，基于HPM 开展数学教学具有重要的意义。
“倾斜角与斜率”的教学从初中所学的“两点确定一条直线”出发，进一步阐述“倾斜角与斜率”的概念，引出两点所连成的直线斜率的计算公式。
传统教学中，该课以直线斜率公式的应用为主要教学目标，忽视了概念产生的过程，部分学生不能很好地理解“倾斜角与斜率”的概念，只会记公式，对于为什么引入斜率无法理解，会认为斜率是“空降”的概念。
而斜率概念本身具有很深厚的数学思想与数学文化，能够给教师的教学带来丰富的素材。
教师能够利用斜率发展的历史来讲解数学思想方法，将斜率概念的历史发展过程展现给学生，让学生深入理解其背景和意义。
这样数学概念教学不再“冰冷”枯燥，能提高学生的学习兴趣。
根据新课标要求，在确立该课教学目标时有几点要注意。
精品：读《HPM：数学史与数学教育》心得体会,汪晓勤著,读书交流心得体会
精品：读《HPM：数学史与数学教育》心得体会,汪晓勤著,读书交流心得体会走进HPM的“历史与现实”——读《HPM：数学史与数学教育》心得体会读书先读序，一篇序言是对本书的背景、产生原因以及意义等做了大致说明，让我们在读书时做到心中有数，帮助读者快速把握整本书的主题思想。
为此书序言的是张奠宙先生，这本书的价值可见一斑。
我交流的主要章节是第七章，但章节之间相对独立而又不可分离，因此我大致从以下四个方面来进行分享。
首先是历史背景，歌德曾说：一门科学的历史就是这门科学本身。
回顾近代的中国数学史研究，主要以探寻中国古代数学的发展史实为核心。
前辈学者通过考古发现和史料整理，构建理论体系，基本上确立了中国古代传统数学在人类文化史上的重要地位。
早在19世纪，数学史与数学教育之间的关系已经受到欧美数学家和数学教育家的关注。
1972年在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM。
今天我们通常也将数学史与数学教育关系这一学术领域本身简称为HPM，自此，数学史与数学教育之间的关系成了数学教育的重要研究领域之一。
接下来谈它的发展现状，数学教育界一致认可：HPM是在数学教育过程中，对数学史知识的一次再认识，通过对HPM的研究将“为教育的数学史”引向更高的层次。
四十余年间，HPM领域的研究工作涉及以下五个方面。
其中，HPM教学实践与教师专业发展将是HPM领域未来的研究重点。
既然已经明确了HPM研究的重要性，我们应该将其如何应用于教学实践呢？具体怎么做，该书里的许多案例，给了我们一些参考。
对此，我选取书中第7章节进行分析，本章介绍关于HPM重要理论基础——发生原理/历史相似性的实证研究案例，涉及字母表示数、负数序关系、角的概念、古典概率、函数概念、复数概念、无穷级数、实无穷、切线等主题。
在这些案例中，先给出相应要求让学生独立解决，再对学生的答案进行数据分析，最后发现：今日学生对某个数学主题的理解的确存在历史相似性，那么，数学历史就成了数学教学的一面镜子，间接为数学教师提供了“内容与学生知识”、“内容与教学知识”，正如M. 克莱因所说：“历史是教学的指南”。
基于HPM视角,促进深度学习
基于HPM视角，促进深度学习作者：邓芸芸来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第10期摘要：HPM指“数学史与数学教育”。
借助数学史的相关内容，教师可以创设真实复杂的情境，强化情感驱动，在引导学生解决具有挑战性问题的过程中，促进他们持续建构数学知識体系，培养高阶思维，理解数学学科的核心思想方法，感悟数学的理性精神，实现深度学习。
关键词：深度学习;小学数学;数学史HPM（History and Pedagogy of Mathematics），指“数学史与数学教育”，主要研究通过数学史提高数学教育的水平，借助数学史寻找数学教育的规律和经验，把数学知识的历史形态加工成便于教学的教育形态。
深度学习是指在复杂真实的情境中，运用跨学科的知识技能，借助常规和非常规的思维方式解决问题，发展批判思维和创新能力，培养合作精神和交往能力的认知策略。
借助数学史的相关内容，教师可以创设真实复杂的情境，强化情感驱动，在引导学生解决具有挑战性问题的过程中，促进他们持续建构数学知识体系，培养高阶思维，理解数学学科的核心思想方法，感悟数学的理性精神，实现深度学习。
一、创设情境，强化情感驱动深度学习倡导学习者的主动性，强调学习者的主动投入，并保持积极的情感状态。
布鲁纳也曾指出，学习动机必须尽可能建立在唤起对所学内容的兴趣的基础上。
数学史上的许多趣题，是绝佳的教学素材，运用这些素材创设真实而复杂的情境，能有效地促进儿童综合运用各种知识技能，主动探究，让深度学习真正发生。
师：大家听说过阿拉伯数字吗？阿拉伯数字是谁发明的呢？生：我们平时写的就是阿拉伯数字。
应该是阿拉伯人发明的吧？师：这是一个误会，阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的，而是古印度人发明的，不过是阿拉伯人把它们传到了欧洲，人们就以为是阿拉伯人发明的。
生：哦，原来是这样。
师：把阿拉伯数字介绍到欧洲的是中世纪著名的数学家斐波那契。
1202年，他出版了著名的《算盘书》。
在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字。
HPM视角下的小学数学教学
HPM视角下的小学数学教学在数学教学中，椭圆概念是一个重要的知识点，对于学生的数学思维和实际问题解决能力的培养具有重要意义。
从HPM（History and Problem of Mathematics）视角来看，椭圆概念的教学不仅涉及到数学知识的传授，还与数学历史和现实问题密切相关。
本文将探讨HPM 视角下椭圆概念教学的意义。
椭圆概念的教学过程中，融入数学史的内容可以让学生了解椭圆概念的发展历程和演变。
通过了解前人的探索过程和思考方式，学生可以更好地理解椭圆的本质和重要性。
同时，数学史的引入也可以激发学生对数学的兴趣和好奇心。
椭圆概念的教学不仅让学生掌握椭圆的定义和性质，更重要的是培养学生的数学思维和问题解决能力。
通过引导学生观察、分析、归纳椭圆的特征，教师可以帮助学生建立数学模型，培养他们的观察力和分析能力。
同时，通过让学生解决与椭圆相关的实际问题，可以锻炼他们的应用能力和问题解决能力。
在椭圆概念的教学过程中，融入数学文化的元素可以提高学生的数学素养。
通过了解椭圆在数学历史中的发展和应用，学生可以更好地理解数学与人类文明的关系。
同时，椭圆概念的演变过程可以让学生感受到数学的严谨性和逻辑性，培养他们的数学审美观。
HPM视角下椭圆概念教学具有重要的意义。
通过融入数学史和现实问题，教师可以帮助学生更好地理解椭圆的本质和重要性，培养他们的数学思维和问题解决能力。
数学文化的元素可以提高学生的数学素养，让他们更好地理解数学与人类文明的关系。
因此，在椭圆概念的教学中，教师应该注重HPM视角的引入，为学生提供更丰富、更具实际意义的教学内容。
在数学教学中，如何帮助学生理解并掌握复杂的数学概念和公式，一直是教师们的焦点。
特别是在等比数列求和公式的教学中，如何将这一抽象的数学概念具体化，使学生能够更好地理解和应用，是数学教师需要解决的重要问题。
HPM（History and Problem Oriented）视角为这一难题提供了新的解决思路。
运用HPM模式,提高小学数学教学有效性
运用HPM模式，提高小学数学教学有效性作者：张小萍来源：《知识窗·教师版》2016年第04期摘要：本文简要分析了当前小学数学教学存在的问题，并探讨了如何运用HPM模式更好地提高小学数学教学的有效性。
关键词：小学数学 HPM模式问题对策HPM模式，即数学史与数学教育关系的国际研究群，它是由弗莱登塔尔和M.克莱因等著名数学家倡导发起，并于1972年第二届国际数学教育大会上正式成立的。
HPM模式认为，数学教育离不开数学史，教师应当在数学教学过程中对数学思想、内容和方法等发展演变进行追溯，研究各种数学因素之间的关联性，把数学史与数学教学更深入、更密切地结合起来，从而更好地提升数学教学的有效性。
笔者简单分析和总结了小学数学教学的现状，并就如何更好地运用HPM模式来提升小学数学的教学效果提出了几点建议和看法，以期更好地提高小学数学的教学质量，培养和提升小学生的数学素养和学习能力。
一、小学数学教学存在的问题1.教育环境的问题虽然各地小学都在积极地开展素质教育，但评定学生学习成果的标准仍然是以考试成绩为主。
这就使得教师的教学目标仍是提高小学生的应试成绩，所以在课堂教学中，教师主要采用“填鸭式”教学，侧重于教学大纲中的知识点，而忽视了培养小学生的数学思维、探索能力以及运用能力，从而导致素质教育流于形式。
2.小学生自身的问题教学是一门逻辑性和严谨性较强的学科，然而小学生的自制能力较弱，思维模式简单，且精力旺盛、活泼好动，在课堂上不能安静、认真地听讲，以至于课堂教学的效果不尽如人意。
3.教师的问题在课堂教学中，有些数学教师虽然会开展一些互动活动，但本质上仍是以教师为主导，课堂教学依然以“教”为主，以“学”为辅，学生的主体地位得不到体现。
这使得小学生被动地学习数学知识，无法提高自己思考数学、探索数学的能力。
二、运用HPM模式开展小学数学教学的措施1.渗透数学思想HPM模式认为，数学知识是有灵魂和躯体的，是充满生命活力的，其教学目标就是让学生具备一定的数学思想，并利用数学思想探索和研究数学问题。
HPM视角下高中数学教学研究综述
HPM视角下高中数学教学研究综述HPM指数学史与数学教学关系，是（History and Pedagogy of Mathematics）的简称，是数学教育的重要研究领域之一，其主要研究方向有数学教育取向的数学史研究、基于数学史的教学设计、关于相似性的实证研究和数学史融入数学教学的实践探索等[1]。
我国对数学史研究起步晚、人数少，直到2005年在西北大学召开了第一届全国数学史与数学教育会议，我国学者才普遍关注HPM领域。
从2005-2011年间的四次全国数学史与数学教育研讨会来看，尽管HPM实践开发已成为人们的共识，但迄今仍缺乏科学有效的研究方法，有价值的研究成果不多，HPM作为一个研究领域的学术地位还有待提高[2]。
我国《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应适当介绍数学的历史、应用和发展趋势，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。
”为此，《标准》提倡在高中数学课程内容中体现数学的文化价值，设立“数学史选讲”等专题内容。
[3]一、数学史融入数学教学的方式及教育价值提供直接的历史信息，开发对数学及其社会文化背景的深刻觉悟是数学史在数学教学中的3种运用方式[4]。
借鉴历史进行教学用的就是发生教学法，也是HPM视角下的数学教学主要采用的方法[5]。
Bid well提出运用数学史的三种方式：一是在课堂上展示趣闻轶事，使用数学家的图片及邮票等；二是讲课过程中注入历史材料，给课堂讨论增添趣味；三是将历史发展过程作为课程本身的一部分。
这是人们期望的结果，也代表了数学史与数学教育研究者的观点。
第一位关注HPM的学者洛里亚提出了“数学史是连接中学数学和大学数学的纽带”的观点。
弗赖登塔尔认为数学史应该是数学教师必备的教学知识。
克莱因认为数学史是教学的指南。
塔纳克斯和阿克维从数学学习、关于数学本质和数学活动观点的发展、数学情感、教师的教学背景与知识储备、数学作为文化活动的鉴赏等五个方面总结了数学史支持、丰富和改进数学教学的17条理由。
HPM视角下小学数学教学中融入数学史的价值与路径
HPM视角下小学数学教学中融入数学史的价值与路径摘要:HPM是History and Pedagogy of Mathematics的缩写，专门研究数学史与数学教育之间的组织。
在HPM视角下开展小学数学教育工作必然能够开辟崭新天地，让学生在更为完善的情景中感受到数学知识所蕴含的历史厚重感，对于原本抽象的知识内涵能够在数学史的融合下富有较强的生命力和感染力，学生在掌握数学知识的同时也会被其背后所蕴含的历史意义所感染。
学生的数学知识学习激进性也能借此机会获得显著提升，并且能够在课余时间积极主动钻研数学知识，充分感受到数学学科的魅力。
教师也可以能够获得事半功倍的教学效率。
关键词：HPM视角；小学数学；数学史在数学教育中教师应该注重融合数学史内容，充分结合HPM教学思想，从根本上改善数学授课模式，让数学教学工作富有更多的历史色彩，改善原本单一枯燥的教学环境，学生的数学课程学习体验得到显著提升，从多个角度感受到数学课程的魅力。
数学史内容的结合可以让学生的思维受到文化的字样，让数学课程的学科价值发挥到极致，弥补传统教学环境中的不足之处，教学环境得到进一步的优化，推动数学文化和知识的全方面发展。
每个学生都能够在数学课程中获得成长，在数学领域拥有更好的发展前景。
一、HPM视角下小学数学教学中融入数学史的价值在小学数学教学中融入数学史的价值是显而易见的，这不仅可以激发学生对数学的兴趣，还能够帮助学生更好地理解数学的发展过程、思想演变以及数学在现实生活中的应用。
数学史是一扇通向过去的窗户，通过了解数学的历史，学生可以认识到数学不仅仅是一堆公式和计算，而是一个源远流长的人类思维的产物。
从古至今，人类为了解决实际问题而不断探索数学，这些探索的过程体现了人类智慧和创造力的结晶。
将数学史融入教学中，可以让学生感受到数学的发展是一个连续的过程，每一代数学家都在前人的基础上不断探索，为数学的进步做出贡献。
通过学习数学史，学生可以更深刻地理解数学的概念和原理。
HPM微课：让学生与数学史深度“遇见”
HPM微课：让学生与数学史深度“遇见”作者：孙媛媛来源：《教育研究与评论（小学教育教学）》2018年第02期摘要：HPM微课，是针对一个数学知识点及其相关的数学史，制作成5～10分钟的讲解小视频。
作为一种新兴的教学资源，HPM微课更容易将数学史转化成学生能够接受、易于理解的形式，使数学史的学习从枯燥乏味到生动有趣、从晦涩难懂到易于理解、从课堂闪现到随时学习。
HPM微课应用于教学，主要可分为呈现背景型、梳理史料型、揭示算理型、剖析解法型、传播文化型五种类型。
关键词：数学史 HPM 微课《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
”数学文化是学生应该具备的基本素养，数学史是数学文化的有效载体之一。
但是数学史料大多晦涩难懂，学生在阅读时有一定的困难。
为了让学生获得易于理解的数学史，领会数学思想和方法的形成过程，我们有必要把数学史料加工成适于数学教育的形态。
然而，传统的教学常常将数学史一带而过。
如何发挥数学史应有的价值，防止它与学生“擦肩而过”？笔者认为，微课这种新兴的教学资源能够使数学史和数学教育更好地融合，让数学史以学生喜闻乐见的形式呈现，促进学生对数学思想和本质的理解。
一、HPM微课的内涵与价值（一）HPM微课的内涵HPM（History and Pedagogy of Mathematics）即数学史与数学教育之间的融合。
HPM微课，是针对一个数学知识点及与其相关的数学史，制作成5～10分钟的讲解小视频。
HPM微课一般内容较少，时间较短，便于学生在短时间内高效地完成数学史的学习任务，而不会感到疲劳或注意力分散。
（二）HPM微课的价值HPM微课作为一种新兴的教学资源，更容易将数学史转化成学生能够接受、易于理解的形式，这种转化主要体现在以下三个方面：1.从枯燥乏味变为生动有趣。
苏教版小学数学五年级下册第95页的《你知道吗》栏目用了很长一段文字介绍了人类对于圆周率的研究成果，但每个成果的介绍只是点到为止，读来让人感觉枯燥乏味。
CHINA-HPM4
ICMI创始人之一 D. E. Smith (1860-1944)
• ICME-2（英国, 埃克塞特, 1972 ）
P. S. Jones（美）和L. Rogers（英）组织数学的历史与教学 （History and Pedagogy of Mathematics）研究小组，标志着 数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。
ICME-3（德国, 卡尔斯鲁厄, 1976 ）
International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics (简称HPM ) 隶属于ICMI。
HPM的主要目标： ❖ 促进在大中学校数学史课程、数学史在数学教学上的运用、
historical issues and educational implications. 4. Cultures and Mathematics. 5. Historical, philosophical and epistemological issues in Mathematics Education. 6. Mathematics from the Americas.
相应的ICME
5（澳大利亚） 6（匈牙利） 7（加拿大） 8（西班牙） 9（日本） 10（丹麦） 11（墨西哥）
『數學千禧年：歷史文化與教育』國際研討會 ICME-9 HPM Satellite Conference (Teipei, 2000）
S1. 亞洲與太平洋地區的數學 S2. 1800年以前的數學教育 S3. 數學史在數學教學中的有效
我们最希望交流以下几个方面的研究成果： • HPM视角下的数学教学设计及理论基础； • 数学史融入数学教学的行动研究； • 数学教育取向的历史研究； • 关于历史相似性的实证研究； • 中学数学史与数学文化拓展课程的建设。
HPM研究的回顾与展望
HPM研究的回顾与展望HPM是指数学史与数学教育的关系，是数学教育研究的重要领域，越来越受到研究者的关注。
本研究以CNKI期刊库2004年到2013年十年间国内HPM 研究共327篇文章为研究对象，从研究方法和作者职业两个方面进行统计分析。
发现文献数量逐年增加，研究群体以高校教师为主，一线教师参与较少，研究方法以经验性描述为主等特点。
因此，应重视数学史运用于数学教学实践的研究，多采用实证研究方法，鼓励一线教师参与研究等方面。
标签：HPM；回顾；展望 1.引言1972年在英国召开的第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM[1]，目前HPM泛指数学史与数学教育的融合，其研究的目标是通过运用数学历史来提高数学教育的水平。
查阅文献发现对HPM研究文献的综述共有7篇，均是采用经验描述对HPM研究做一些简单的总结介绍。
本文采用拟采用文献计量学的方法，对2004年到2013年十年间有关HPM研究的共327篇文献进行统计分析，以揭示目前HPM研究文献在研究方法和作者职业的现状及研究趋势。
2.研究成果的统计与分析 2.1各年度发表的文献量统计为分析有关HPM的研究现状与发展趋势，研究者以数学史、数学教学、数学教育、HPM为主题词、关键字，以2004年到2013年为时间限制条件，以CNKI学术期刊的文献为主，共选取327篇文章进行统计分析，结果见表1。
在本研究中，分析单位为“篇”。
表1 2004-2013年中国HPM研究文献来源统计表由表1可以看出，这十年的期刊文献总数高达272篇，且每年程上升趋势，到2009年多达39篇，其后四年数量变化幅度较小；硕士学位论文共有51篇，每年文章数量相差不大；博士学位论文在HPM课题方面文章数量相对较少，总共仅有4篇。
从每一年的文献总量来看，逐年呈上升的趋势，在2009年文献数量最多达到46篇，其余年份增减幅度较小。
可见在这十年中，HPM的研究领域越来越受到人们的关注，在2009达到一个高潮，之后保持平稳的发展。
有温度的数学——读汪晓勤《HPM：数学史与数学教育》
责任编辑
徐佩佩
Ｅ －
ｍａｉｌ：ｊｓｌｙｚｘｊｘ＠ｌ ６３．ｃｏｍ
（（ＨＰＭ：数 学史 与数 学教 育》 作 者 ：汪晓 勤 出版社 ：科 学 出版社
有 温 度 的数 学
读 汪 晓 勤 ＜ＨＰＭ ：数 学 史 与 数 学 教 育 》 ／仓 全 国新 青年数 学教 亲近数 学 ，从 而也就 能 以理性的视 角正视 学生
惑、解决 问题 的过 程 ，部 分课 例还 有 完整 的磨 的活动情况。我 惊喜地发现 ，在我前 面做报告 的
课 过程 ，相信有 志于 ＨＰＭ 和数 学教 学融合 的 一 位 王 老 师 已经 变成 了“王 特 ”，这 位 “王 特 ”就
教 师 ，在 学习 了这 些案例后 ，能 够初 步 尝试进 是 一路 伴随着 ＨＰＭ研 究，实现 自己专业成 长
数 学教 育 的 重要 研 究领 域 ）。在 这 次 论 坛 中 ，我 见 数 点 ，又 见 数 点 、数 百 点 ，以 致 灿 然 布 满 天
最 大 的 收 获 就 是 得 到 了汪 晓 勤教 授 的 签 名 专 空。”我 不禁热泪盈眶 ，数 学史是温暖的 。
著 ：（ＨＰＭ：数 学史与数 学教 育》。
理 论是 灰 色的 ，生命 之 树 常青 ，汪教 授及
（＜ＨＰＭ：数 学史与数 学教 育》全 书分为八 个 其 团队对 ＨＰＭ研 究的最大价值就在 于 ，作 为
章 节 ，较 为 系统地介 绍 了 ＨＰＭ 的发 展 脉络 、 以 高校 教 研 人 员为 主 体 的 学术 团 队 ，他 们 不是
行相关的教 学实践 。
目标 的。我相信 ，在“王特”眼中，数 学也一定是
读完这本 书后 ，我最 大的感受是数 学历 史 有 温度的 ，有着 自己独特体验元素的。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分 数 的 重 要 内 涵 包 括 ：分 数 是 一 个 数 ，可 以 中 国轻 工 业 出版 社 ２０１１．
表 示 一 个 具 体 的 量 的 大小 ，这 个 功 能 与 自然 数 、
［３】史 宁 中．数 学 基 本 思 想 １８讲 ［Ｍ１．北 京 ：北
小数一样，如 ３米、１．７米、÷米、寻米；分数可以 京 师 范 大 学 出版 社 ，２０１６．
（作 者单位 ：人 民教育 出版社 小学数 学编辑
表示 部分 与整 体 的关 系 ．如把 单位 “１”平 均分 成 室 ）
］
｛ＨＰＭ－． 数学史与数学教育》简介
数 学 史 为 教 师 提 供 了 丰
华 东师 范 大学 汪 晓 勤教
富 的 教 学 素 材 。是 数 学教 学 不 授 的 新 著 《ＨＰＭ ：数 学 史与 数 学
参 考 文 献 ：
在 的 ，从 而 再 次 抽 象 概 括 分 数 的 概 念 ，全 面 理
『１１曹培 英．小学数 学学科核 心素养及其 培 育
解 分 数 的 意 义 。
的 基 本 路 径 ＵＪ＿课 程 ·教 材 ·教 法，２０１７（２）．
② 重 视对分数 内涵 的抽 象概括 。
【２］林 崇德 ．智 力发展 与 数 学 学 习【Ｍ】．北 京 ：
可或缺 的资 源。数 学史与数 学 教 育》，结 合 具体 的教 学案 例 ，
教 育 之 间 的 关 系 （ＨＰＭ ）是 一 全 面展 示 了汪 晓 勤教 授 及 其 研
个 富有 魅 力 、前 号 广 阔 、特 色 究 团队 近 十 年 来在 上述 各 课 题
鲜 明 的 学 术 领 域 。 近 年 来 ．越 上的 研 究 成 果 。 张 奠 宙教 授 指
需要 紧扣 三 维教 学 目标 ． 以学 生喜 闻 乐见 的 形 式 呈现 绚 丽 多 彩 的数 学历 史文 化 ．在 严 教 育 的研 究 揭 开 新 的 一 页 ”
此外 。如 果我 们数 学教 师能
实 践 与 教 师 专 业 发 展 将 是 数 学逻 辑 理 性 体 系里投 射 出人 更好 地 了解数 学 史 ．就 能 深 度
“１”里 取 出 来 得 到 的 分 数 ，最 大 的 是 分 子 等 于 构 后 ， 学 生 就 基 本 上 形 成 ｒ分 数 概 念 比 较 完
分 母 的 分 数 ． 而 取 不 出 分 子 大 于 分 母 的 分 数 。 整 的认 知 结 构 。
让 学 生 认 识 到 ：分 子 大 于 分 母 的 分 数 确 实 是 存
‘｝
的 意 义 相 同 ，例 如 ，男 生 有 ２０人 ，女 生 有 １９人 ，
让学生计算：÷＋了１＝？吉＋吉＋吉＝？吉＋÷＋吉＋ 男生 人数是女 生 的（男生 人数 ：女生 人数 ） ；分
—
＝？启 发 学 生 埘 学 过 的 这 些 分 数 分 类 ，认 识 到
数可以表示两个数相除及其商 ，如 １６÷ｌ２＝ ＝ 。
来越 多的大 学 、中学和 小学教 出 ：“ＨＰＭ 的 研 究 ，将 ‘为 教 育
师 与 象 牙塔 里 的职 前 教 师对 的数 学 史 ’的 教 学 引 向 更 高 的
它 产 生 了 浓 厚 的 兴 趣 ＨＰＭ 层 次 … … 在 教 学 实践 中 。ＨＰＭ
研 究 的 课 题 包括 教 育 取 向 的 数 学 史 、历 史 相 似 性 实证 研 究 等 五 个 方 面 。其 中 ，ＨＰＭ 教 学
ＨＰＭ 领 域 未 来 的 研 究 重 点 文精 神 的光 芒 至 于具 体 怎 么 理 解 数 学 的教 学 内容 ．从 而把 此 外 ，数 学 史 融 入 数 学 教 材 的 做 ，该 书 里的 许 多案 例 ．就 是 一 数 学课 上 成 让人 回味 无 穷的 艺
研 究也 开 始 受到 关 注
．Ｊ，曾 教
均 分 成 ４块 。小 明 吃 了 ５块 ，让 学 生 思 考 小 明 吃 若 干 份 ，表 示 其 中几 份 与 单 位 “１”的关 系 ；分 数 可
了多少个饼。答案是小明吃了｛ 个饼 。再 比如 ， 以 表 示 两 个 量 之 间 的 关 系 ．这 与两 个 量 之 间 的 比
批 精 心制 作 的 范本 … …该 书的 术性和科 学性并存的好课 ！叵ｊ
ｊ
假 分数 也 是 分 数 ，但 不 是 通 过 将 单 位 “ｌ”平 均 当学 生 学 习 了 比 的 概 念 ， 并 且 把 比 的 概 念 与 除
分 成 若 干份 以后 取 ｍ来 的 ，因 为如 果 是从 单 位 法 、分 数 的 概 念 关 联 起 来 ，概 括 成 系 统 化 的 结