第四节离散随机性动态规划模型求解资料教程
动态规划模型
动态规划模型动态规划（Dynamic Programming）是一种优化问题的求解方法，它将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划方法适用于满足最优子结构（optimal substructure）和重叠子问题（overlapping subproblems）的问题。
动态规划模型由三个基本要素组成：状态（state）、状态转移方程（state transition equation）和初始条件（initial conditions）。
首先，我们需要定义问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并将子问题的结果组合起来得到原问题的结果。
状态可以是一个整数、一个数组、一个矩阵或者一个串等等。
状态具有两个性质：最优子结构和无后效性。
其次，我们需要确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
状态转移方程描述了一个状态如何从其前一个状态转移到后一个状态。
状态转移方程是问题求解的核心，通过它可以得到问题的最优解。
最后，我们需要确定初始条件，即问题的边界条件或者初始状态。
初始条件提供了问题的起始状态，是递推过程的终止条件。
动态规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即将原问题划分为多个子问题，并定义每个子问题的状态。
2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，确定状态之间的转移关系，即状态转移方程。
3. 确定初始条件：确定问题的边界条件或者初始状态，提供递推过程的终止条件。
4. 设计算法：根据状态转移方程和初始条件，设计算法求解问题。
5. 检验结果：检验算法的正确性和有效性，确保得到的结果是问题的最优解。
动态规划模型的求解过程通常采用自底向上（bottom-up）的方法，即从最小的子问题开始求解，逐步通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在求解过程中，将子问题的最优解存储起来，避免重复计算，提高求解效率。
总之，动态规划模型是一种有效的求解优化问题的方法，通过将原问题划分为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
离散确定型动态规划问题
5.2 离散确定型动态规划问题1.背包问题设背包可携带物品重量的限度为公斤。
有种物品可供选择装入背包中，已知第种物品每件重量为公斤，其价值是携带数量的函数。
问应如何选择携带物品（各几件），使总价值最大。
设为物品的装入件数，则问题的静态规划模型为：∑==ni i i x c f 1)(max 10且为整数，i=1,2,,nni i ii w x ax =≤≥∑若每件物品最多只能放一件，则为0-1背包问题．a ni i w i x i i c (x )i x i这类问题的动态规划模型为：(1)分阶段：按可装入物品种类划分为个阶段．(2)设变量状态变量：第阶段初背包拥有的装载量。
决策变量：第种物品的装入件数。
允许决策集合为(3)状态转移方程：(4)指标函数：(5)指标递推方程⎩⎨⎧==+=++++0)(,...,2,1 )},()(max{)(1111n n k k k k k k S f n k S f x c S f n k k (){}k k D x |0[/]且为整数=≤≤k k k k x x S w k S k x k+1k k k S = S - w x k k k k k d (S x ) = c (x )，例某车辆的有效载重为10吨，现有3种物品需要运输，相应的重量和价值如表。
问如何选择物品运输，才能使所运物品的价值最大？物品ＩII III重量w345i价值c456i解该问题的静态(线性规划)模型为max f = 4x 1+ 5x2+ 6x33x 1+ 4x2+ 5x3≤10x i≥0 且为整数现用动态规划方法来解．k = 2时S 3x 3f 3(S 3)= c 3 x 30-45-9100120612S 2f 2(S 2)= c 2 x 2+ f 3(S 3)x 2*f 2(S 2)x 2=0x 2=1x 2=2147100+0000+05+0150+65+0060+125+610+012***k = 3 时的允许决策集合为{0, 1, 2}，可分为三个区间．3x 3Sk = 1时S 1f 1(S 1)= c 1 x 1+ f 2(S 2)x 1*f 1(S 1)x 1=0x 1=1x 1=2x 1=3100+124+68+512+0最优方案为，最大价值为13．213*123x 2,1,0===x x◆资源分配问题有某种资源，总数为，分配给个使用者。
动态规划问题求解步骤
动态规划问题求解步骤动态规划问题是指在具有重叠子问题和最优子结构特性的问题中，通过将问题分解成更小的子问题，利用已解决的子问题的解来求解原问题。
动态规划问题的求解过程可分为以下几个步骤。
1. 定义状态：首先，我们需要明确问题的状态。
状态是指问题的子问题所依赖的变量或参数，即决定子问题解的输入。
状态可以是多个变量组成的元组，也可以是一个单一的变量。
定义好状态有助于我们更好地理解问题的本质，并能够将问题分解成更小的子问题。
2. 定义初始状态：在动态规划问题中，初始状态是问题的边界条件或者基本情况。
我们需要确定初始状态的值，并将其作为问题求解的起点。
初始状态的设置应符合问题的需求，并满足问题求解的逻辑。
3. 确定状态转移方程：状态转移方程是动态规划问题的核心。
通过定义状态之间的转移关系，我们可以将原问题分解为一系列的子问题，并通过已解决的子问题的解来求解当前问题的解。
状态转移方程的推导需要通过分析子问题间的关联关系，并根据问题的特点来定义。
状态转移方程应具备递推性，即当前问题的解可以通过之前子问题的解得到。
4. 确定计算顺序：在确定了状态转移方程后，我们需要确定求解问题的顺序。
一般来说，动态规划问题可以采用自底向上或自顶向下的方式进行求解。
自底向上的求解方式从初始状态开始，按照计算顺序逐步求解，直至得到最终问题的解；而自顶向下的求解方式则从最终问题的解开始，通过递归或备忘录等方式来求解子问题，最终得到初始状态的解。
5. 计算最优解：在得到了问题的所有状态和状态转移方程后，我们可以利用动态规划的思想来计算最优解。
根据计算顺序，我们先计算出初始状态的值，然后按照状态转移方程逐步计算，直到得到最终问题的解。
在计算的过程中，我们可以使用辅助数组或表格来存储和更新中间状态的值，以便于后续的计算，并最终得到问题的最优解。
通过以上步骤，我们可以较为系统地解决动态规划问题。
这种求解方法具有重用已解决子问题的解、减少重复计算和提高时间效率等优势，适用于诸如最优路径、最长子序列、最大连续子数组和背包问题等多种场景。
动态规划离散
（6-25）
（6-26）
再考虑倒数第二步，即从 x(0) 到 x(1) 。这时有
x(1) x(0) u (0) 1 2 c x 2 (1) 1 2 c 2 * J J 0 J1 u (0) u (0) x(0) u(0) 2 2 1 c 2 2(1 c)
例6-2 系统方程为
x(k 1) 2x(k ) u(k ), x(0) 1
J [ x (k ) u (k )]
2 2 k 0
2
要求用动态规划寻找最优控制序列 u(0) , u(1)
以及 u (2) 使J最小。
例6.1 设一阶离散系统，状态方程和初始条件为
xk 1 xk uk , xk
N 1 k 0
k 0
x0
N 2
性能指标
2 2 2 J xN ( xk uk )
求使 J 有最小值的最优决策序列和最优轨线序列
指标可写为
2 2 J x0 u0 x12 u12 ( x1 u1 )2
求 u (0) 使 J 最小，得
J c u (0) x(0) u (0) 0 u (0) 1 c cx(0) u (0) 1 2c
（6-27）
于是最优性能指标与最优状态转移为
cx (0) J 2(1 2c)
2
1 c x(1) x(0) u (0) x(0) 1 2c
用动规划求离散最优控制
离散系统的状态方程为
x(k 1) f x(k ), u(k ) k 0,1, N 1
性能指标为
（6-21）
J J k x(k ), u (k )
k 0
8.4离散动态规划建模与求解
H ○ I ○
5
E ○
8 9 F 6 ○
G ○
河北
6 1
山西
8.3.3 离散动态规划举例—正向求解
第二步 求解
3. 求 f3 (s4 ) 即求 f3 ( H ), f2 ( I )
利用公式 f3 (s4 ) min f2 (s3 ) V3 (u3 , s3 )
当s4 I时,从s3到s4有三条路径, 即 E I , F I 和G I 当u3 E I时,V3 (u3 , s3 ) 8 当u3 F I时,V3 (u3 , s3 ) 6 当u G I时,V (u , s ) 6 3 3 3 3 则 f3 ( I ) min{ f 2 ( E ) 8, f 2 ( F ) 6, f 2 (G ) 6} min{8 8, 6 6,9 6} 12
利用公式 f1 (s2 ) min V1 (u1, s1 )
故f1 ( s2 B) 4 故f1 ( s2 C ) 2 故f1 ( s2 D) 3
动态规划模型的建立与求解步骤
量值系列)和最优状态变化路线。
• 状态变量应当满足无后效性要求。 • 明确指标函数，给出最优函数递推方程，
递推方程的形式应当与递推顺序一致。
运筹学
二、动态规划的求解步骤
• 正确划分阶段。 • 确定状态变量和决策变量，并给出状态变
量和决策变量的可行集合。 • 确定求解的递推顺序，给出状态转移方程。 • 确定阶段、子过程(子策略)的指标函数，确
运筹学
§3.2 动态规划建模与求解步骤
• 建立动态规划模型的基本要求 • 动态规划的求解步骤
运筹学
一、建立动态规划模型的基本要求
• 将问题划分成若干阶段。有的问题的阶 段性很明显，有的则不明显，需要分析 后人为假设。
• 确定各阶段的状态变量，并给出状态转 移方程，状态转移方程的形式应当与递 推顺序一致。
实用运筹学——5.3 动态规划的模型及求解方法
min 1
6
min
7
7
v 2(B3,C 3 ) f3(C 3 )
5 12
17
即从点 B3 到终点 E 的最短路线为B 3 C 2 D 2 E ，最短距离为 7．
第一阶段，从始点 A 到终点 E 的最优决策为
v 1(A,B1) f2(B1)
2 10
12
f1(A) minv 1(A,B2 ) f2(B2 ) min5 13 min18 8
f4(D f4(D
12))
min45
5 2
min160
6
从点 C2 到终点 E 的最优路线为C 2 D 2 E ，最短距离为 6．
如果从点 C3 出发，则最优决策为
f3(C 3 )
minvv33((CC
3,D1 3,D2
) )
f4(D 1 ) f4(D2 )
min180
5 2
min1123
v 1(A,B3 ) f2(B3 )
1
7
8
即从始点 A 到终点 E 的最短路线为 A B 3 C 2 D 2 E ，最短距离
为 8．
6 12
18
即从点 B1 到终点 E 的最短路线为 B 1 C 2 D 2 E ，最短距离为 10．
从点 B2 到终点 E 的最优决策为
v 2(B 2,C 1) f3(C 1)
6 7
13
f2(B2 ) minv 2(B2,C 2 ) f3(C 2 ) min10 6 min16 13
❖ 下面通过求解例5.1.4，阐明逆序递推法的基本思路．
❖ 第四阶段，由点D1到终点E只有一条路线，其长度 f4(D1)=5，同理f4(D2)=2．
动态规划模型及求解方法
dh2 dx2
2x2 s2 3x22
0
解得：
2 x2 3 s2
x2=0（舍）
d 2h2 dx22
2s2
6x2
d 2h2 dx22
x2
2 3
s2
是极大值点。
x2
2 3
s2
2s2
0
f2
(s2
)
(2 3
s2
)2 (s2
2 3
s2 )
4 27
s
3 2
x2*
2 3
s2
k=1时，
f1 (s1 )
max
k=3时，
f3 (s3 )
max
x3D3 (s3
)[v3
(
x3
)
f4 (s4 )]
max(
x3 s3
x3
)
s3
k=2时，
x3*=s3
f2 (s2 )
max
x2D2 (s2
)[v2
(
x2
)
f3 (s3 )]
max
0x2 s2
(
x22
s3 )
max [
0x2 s2
x22
(s2
x2 )]
令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）
运筹学
动态规划模型及求解方法
一、动态规划的数学模型
1. 动态规划的基本方程
设第k阶段处于状态sk，决策是uk（sk），状态转移方程为 sk+1=Tk（sk，uk），k阶段和k+1阶段的递推关系式可写为：
fk
(sk
)
opt [vk
uk Dk ( sk )
(sk
,uk
动态规划模型的建立与求解步骤
动态规划模型的建立与求解步骤动态规划（Dynamic Programming）是一种通过分解复杂问题为简单的子问题，并将其结果保存起来以便重复使用的方法。
其基本思想是从问题的边界条件开始，通过递推式逐步求解更大规模的子问题，直到最终解决整个问题。
动态规划常见的应用包括路径规划、背包问题、字符串匹配等。
下面将介绍动态规划模型的建立与求解步骤，以了解如何使用动态规划解决实际问题。
一、确定状态：在使用动态规划解决问题之前，首先需要确定问题的状态。
状态就是问题需要求解的子问题的集合，每个状态都对应一个解。
二、确定初始条件：初始条件是指在递推关系中最小的、无需依赖于其他状态的子问题的解。
它们可以给出问题的边界，为递推过程提供起点。
三、确定状态转移方程：状态转移方程是把大问题分解为小问题的规律。
通过观察和思考，可以找出问题的递推关系，即大问题如何由小问题组成。
四、确定计算顺序：确定计算顺序是指确定问题的求解顺序，通常是按照自底向上或自顶向下的顺序进行计算。
自底向上是从初始条件开始，逐步计算直到求解整个问题；自顶向下是从大问题开始逐步分解为小问题，直到达到初始条件。
五、实现状态转移方程：通过编程实现状态转移方程，并根据计算顺序逐步求解子问题。
可以使用递归或循环的方法进行实现。
六、求解最优解：根据问题的定义和要求，确定如何从求解的子问题中得到最优解。
通常最优解是基于一些目标函数或约束条件来定义的。
七、分析复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以确定算法的效率和可行性。
综上所述，建立和求解动态规划模型的步骤可以概括为以下几个阶段：确定状态、确定初始条件、确定状态转移方程、确定计算顺序、实现状态转移方程、求解最优解和分析复杂度。
根据具体问题的特点和要求，可以灵活选择和调整这些步骤，以得到最优的解决方案。
第四讲动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。
随机动态规划ppt课件.ppt
8、随机动态方程：
fk（sk）= max {（2/3） fk+1（ sk + uk ）+（1/3） fk+1（ sk - uk ）}
uk =0，1，…，sk
k = 3，2，1
f4（s4）△= 0 1
s4 5
s4 ≥ 5
5
动态规划 Dynamic Programming（DP）
fk（sk）= max {（2/3） fk+1（ sk + uk ）+（1/3） fk+1（ sk - uk ）}
u*2
0
0
…
0
0
0
…
0
4/9 4/9
4/9
1，2
2/3 4/9 2/3 2/3
2/3
0，2，3
2/3 8/9 2/3 2/3 2/3 8/9
1
1
1
0， ≤ s3 - 57
动态规划 Dynamic Programming（DP）
u2 s2
0 1 2 3 4 ≥5
（2/3） f3（ s2 + u2 ）+（1/3） f3（ s2 - u2 ）
s3
0
1
2
3
4
f3（s3） 0
0
0
2/3
2/3
u*3 … … … 2，3 1，2，3，4
k = 2 s2 = 0，1，2，3，4，5，6
≥5 1 0，≤ s3 - 5
u2 s2
0 1 2 3 4 ≥5
（2/3） f3（ s2 + u2 ）+（1/3） f3（ s2 - u2 ）
0
1
2
3
4
动态离散选择模型 贝尔曼公式
动态离散选择模型贝尔曼公式
动态离散选择模型通常指的是使用离散选择模型来处理时间序列数据中的动态选择问题。
这种模型通常用于预测在给定一系列选项（例如，不同产品或服务）中，决策者在不同时间点上的选择行为。
至于贝尔曼公式，它是以理查·贝尔曼（Richard E. Bellman）的名字命名的，是数值最优化方法中的一个必要条件，也被称为动态规划。
贝尔曼公式以一些初始选择的收益以及根据这些初始选择的结果导致的之后的决策问题的“值”，来给出一个决策问题在某一个时间点的“值”。
这样可以把一个动态规划问题离散成一系列的更简单的子问题，这就是贝尔曼优化准则。
因此，动态离散选择模型和贝尔曼公式都涉及到对时间序列数据的分析和预测，但是它们的关注点和应用领域略有不同。
动态离散选择模型主要关注决策者在给定选项下的选择行为，而贝尔曼公式则更侧重于通过一系列的子问题来求解最优解。
第四节离散随机性动态规划模型求解
00
00
1 1500 1350 1117 994 946 948 946 4
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
9
当k=2时，
表8-11
x2 c(x2)+(2/3) ×946
s2
01
2
3
f2(s2) x2* 4
0
0
0
0
1
946 981 870 830 837 830 3
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
《运筹学》
1
第四节 离散随机性动态规划模型求解
◆掌握离散随机性动态规划模型的求解
2010年5月
管理工程学院
结构
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
3
二、基本方程
fk sk
max E
xk Dk sk
v
sk , xk
fk1 sk1
(8.14)
其中E{}表示括弧内数量的期望值。
fk 1
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k
1
1
1
2 3
xk
f k 1 0
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k
1
1
(8.16)
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
8
当k=3时，
表8-10
x3 c(x3)+(2/3) ×1500 s3 0 1 2 3
f3(s3) x3* 45
Dk(sk)={0} (当sk =0时)。
用逆序解法求解离散确定性的动态规划模型
(1)设给定阶段数为n， 其编号为k=O, 1, ---n- 1; (2) 以X 表示初始状态， O X k表示 k 段状态变量， X k表示k 段可达 状态集合; (3) N uk表示k 段决策变量，k )表示k 段允许决策集合; D (xk
(推论)若允许策略硫_ 是最优策略， ， 则对任意的k e A n- 1),它的
2.动态规划方法和基本方程。
设P o,.-1为最优策略 ，则
= n l沁
V ...-,(-o ，) 、
为 . ， 几。 。 」
V , (-a,Po ) . ,-1
一 a- l o-, 、p x ,m
丫 于k至。 段 它 指 函 取 于X 对 1阶 ， 的 标 数 诀 kf助k.-,
又 丫 k O A .k X由 PO_f4定
为 一 略，krE由ofa .k 确 任 策 X7 X po -1 定的k 阶 初 状 则 段 始 态， 有
诚一 Yk"o +一kt7m o1 P')%xP-} a x x 一 {, (k x
fl(X ， ; PI )=o ,.任uk,P}t..) k卜二F k.仓 - pt7F -
一 V ,,-k '1 k ) 。 k /+A (X 黑J (X rl)
是最优策略。
证 : 假 Pkx 不 最 策 ， 、 明 设 -，是 优 略 则
合 P.-i(X ( (X" -7 二 u ( ., )) 表 由 到 -1段 一 ; k k -k k -k (、) ., x )= ) ， 示 k段 。 的
个子策略; (6) }a..-1 f 吃_ 表示分别定义在过程序列(xa,ua,ahu} a : ,......u,-1,动
【优选】离散确定性动态规划模型的求解PPT资料
s2
2
3
4
8
8
38+49 35+55 31+58 87 2
9
38+47 35+49 31+55 84 3
10 38+46 35+47 31+49 80 4
④联合考虑A、B、C、D四部位派巡逻队，即k=1
(7)边界条件为 f5(s5)=0。
④联合考虑A、B、C、D四部位派巡逻队，即k=1
第三节离散确定性动态规划模型的求解
s3
2
3
4
f3(s3) x3*
4
24+34
58
2
5
24+31 22+34
55
2
6
24+25 22+31 21+34 49
2
7
24+25 22+25 21+31 47
3
8
24+25 22+25 21+25 46
4
③联合考虑B、C、D三部位派巡逻队
表8-4
x2 p2(x2)+ f3(s2-x2)
f2(s2) x2*
s12x p218(表+x88)0+-5f 31(s4+-x84) 410+87 f97(s ) x4 ④②②第p③④①(④解◆(解(③解第①(②p④277112))))联联联三联联采联：x：联：三采联联((各 边 边 状xx121合 合 合 节 合 合 用 合 ((合 (节 用 合 合*阶界界态表表表=))++考考考离考考逆考考离逆考考4段条条变格格格，ff32虑虑虑散虑虑序虑虑散序虑虑的件件量法法法((xssACC确BA法AB确法CA2决为为s)))21*把把把、、、、、、、、k、--定，定，=策表xxff2111BCBBCBDDD1255性先性先，变222示))、、、、((、、两两两ss支支支动考动考x55量每CCCCDD部部部3))巡巡巡态虑态虑、、、、==三 三*就个1位 位 位=00逻逻逻规给规给DDDD部部2。。是阶派派派，队队队四四四四划划DD位位对段1巡巡巡部部x往往往部部部部模模派派各初4逻逻逻位位位位位444位*型型巡巡=部拥个个个队队队派派4派派派派的的逻逻位有。部部部巡巡巡巡巡巡求求队队派的位位位逻逻逻逻逻逻解解1出可派派派队队队队队队的派遣遣遣即即，，，，巡遣看看看1kk即即即即逻的==作作作kkkk44队巡====依依依1111数逻次次次2，队分分分用数四四四1，x个个个k表是阶阶阶示前1段段段。面(((用用用阶kkk表表表段示示示决，，，策kkk结===果111,,,222，,,,333是,,,444本)))。。。阶1段决1策依据。
4动态规划
描述决策的变量，称为决策变量uk(xk)。决策变量 是状态变量的函数。可用一个数、一组数或一向量 （多维情形）来描述。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内， 此范围称为允许决策集合。 4、策略：
决策序列就叫策略。策略有全过程策略和k子策略之分。全过程策略是整个n段决策过程中 依次进行的n个阶段决策构成的决策序列，简称 策略，表示为： u1 , u 2 ,, u n 从阶段k到阶段n依次进行的阶段决策构成的决 策序列称为k-子策略，表示为： u , u ,, u
②“维数障碍”：当变量个数太多时，由于计算机内存和速度 的限制导致问题无法解决。有些问题由于涉及的函数没有理想的 性质使问题只能用动态规划描述，而不能用动态规划方法求解。
状态变量维数不能太高，一般要求小于6。
2、静态决策问题的动态处理
不包含时间因素的决策问题称为静态决策 问题，是一次性决策（如线性规划）。但若 能恰当地人为引入“时段”概念，就可以把 问题转化成一个多阶段决策问题，这样就能 用动态规划去处理了。 这样的例子是大量的（如最短路线问题， 资源分配问题等等）。
多阶段决策过程关于目标函数的总效应是由各阶段的阶段
效应累积形成。适于动态规划求解的问题的目标，必需具
有关于阶段效应的可分离形式、递推性和对于变元RK+1的
严格单调性。k-子过程的目标函数可以表示为:
R k R(x k , u k , x k 1 , u k 1 , , x n , u n ) rk (x k , u k ) rk 1` (x k 1 , u k 1 ) rn (x n , u n )
多阶段决策问题的典型例子：
企业在生产过程中，由于需求是随着时间变 化的因素，因此企业为了获得全年最佳经济效 益，就要在整个生产过程中逐月或逐季的根据 库存和需求决定生产计划。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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Dk(sk)={0} (当sk =0时)。
2010年5月
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《运筹学》
(4)状态转移律为：
(5)第k阶段的费用支出为c(uk)，有
cxk 25 0 1 00 xk0xkx k 00
2010年5月
《运筹学》
1
第四节 离散随机性动态规划模型求解
◆掌握离散随机性动态规划模型的求解
2010年5月
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《运筹学》
2
一、随机性动态规划基本结构
2010年5月
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《运筹学》
3
二、基本方程
f k s k x k m D k s k E v a s k ,x k x f k 1 s k 1 (8.14)
8
当k=3时，
表8-10
x3 c(x3)+(2/3) ×1500 s3 0 1 2 3
f3(s3) x3* 45
00
00
1 1500 1350 1117 994 946 948 946 4
2010年5月
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《运筹学》
9
当k=2时，
表8-11
x2 c(x2)+(2/3) ×946
s2
01
2
3
其中E{}表示括弧内数量的期望值。
2010年5月
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2010年5月
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5
解：(1)合同期为三个月，投产一批的周期为一个月， 故可将整个合同期划分为三个阶段。
(2)状态变量sk。假定尚没一台合格品时sk =1，已得到 一台以上合格品时sk =0。故签订合同时只有一种情况 s1 =1。
6 (8.15)
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7
(6)设fk(sk)为从状态sk、决策xk出发的k阶段以后的最小 期望费用。因有fk(0)=0，故有
fk1xkm Dkiskncxk32xk
fk11132xk
fk10
xkm Dkiskncxk
2xk 3
fk11
(8.16)
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f2(s2) x2* 40000
1
946 981 870 830 837 830 3
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10
当k=1时， 表8-12
x1 s1 0
1 830
c(x1)+(2/3) ×830 1234 903 819 796 814
f1(s1) x1* 796 3
◆该公司的最优决策为第一批投产3台；如果无合格品，第二批再 投产3台；如果仍全部不合格，第三批投产4台。这样使总的期望 研制费用(包括三批均不合格时的赔偿费)为最小，共计796元。
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