高中数学题型全面归纳复数.docx

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第十五章复数本章知识结构图概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数复数几何意义复数与复平面内点（向量）的对应关系、模的几何意义运算加、减、乘、除、乘方考纲解读1.理解复数的基本概念 .2.理解复数相等的充要条件 .3.了解复数的代数表示方法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算 .5.了解复数代数的加、减运算的几何意义.命题趋势探究复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，考题难度为低档 .知识点讲解一、基本概念（ 1）i叫虚数单位，满足i21，当 k Z 时，i4k1, i 4 k 1i , i 4k 21,i 4k 3i .（ 2）形如a bi (a, b R) 的数叫复数，记作 a bi C .①复数 z a bi (a, b R) 与复平面上的点Z(a, b) 一一对应，a叫z的实部，b叫z 的虚部； b0z R, Z点组成实轴； b0, z叫虚数； b 0 且 a0 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.②两个复数 a bi , c di (a,b, c, da cR) 相等（两复数对应同一点）b d③复数的模：复数 a bi (a, b R) 的模，也就是向量OZ 的模，即有向线段OZ 的长度，其计算公式为| z | | a bi |a2b2，显然， | z| | a bi |a2b2 , z z a2b2.二、基本性质1.复数运算（1）( a bi ) (c di ) ( a c) (b d )i（ 2）(a bi ) (c di ) ( ac bd ) ( ad bc)i( a bi) (a bi )z z a2b2| z |2( 注意 z2| z |2 )z z2a其中 | z |a2b2，叫 z 的模；z a bi 是z a bi 的共轭复数(a, b R).（ 3）abi( a bi ) (c di )(ac bd )(bc ad )i (c2d20).c di(c di ) (c di )c2d 2实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数 .2.复数的几何意义（ 1）复数z a bi (a, b R) 对应平面内的点z(a,b) ；（ 2）复数z a bi (a, b R) 对应平面向量OZ ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数 .（ 4）复数z a bi (a, b R) 的模 | z |表示复平面内的点z(a, b) 到原点的距离.题型归纳与思路提示题型 190 复数概念及其代数运算思路提示无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.例 15.1（2017课标1，理3）设有下面四个命题p1：若复数z 满足1zR，则z R；p2：若复数z 满足z2R ，则z R；p3：若复数z1 , z2满足z1 z2R ，则z1z2；p4：若复数z R，则z R.其中的真命题为A. p1, p3B．p1, p4C．p2 , p3D．p2 , p4变式 1(2016 年北京卷9)设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

复数高考基础题型总结及解题技巧

复数高考基础题型总结及解题技巧近年来，随着我国高考改革的深入，考试内容也在不断地进行调整和优化。

其中，复数基础题型一直是考试中的一个重要组成部分。

针对这一主题，我们将就复数高考基础题型进行总结及解题技巧，帮助考生更好地掌握和应对这一考试难点。

一、基础概念总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i^2=-1）的乘积所构成的数，形如a+bi （a、b为实数，i为虚数单位）。

2. 复数的实部和虚部在复数a+bi中，a为实部，b为虚部。

3. 复数的四则运算复数的加法、减法、乘法和除法的运算规则，需要考生熟练掌握。

二、高考基础题型总结1. 复数的加减法复数的加减法考查考生对实部和虚部的分别以及相同部分的相加减的能力。

2. 复数的乘法复数的乘法需要考生掌握实部和虚部相乘的规则，同时避免常见错误。

3. 复数的除法复数的除法同样需要考生掌握实部和虚部相除的规则，以及如何处理除数为复数的情况。

4. 复数的平方和立方考生需要掌握复数的平方和立方的运算技巧，注意复数单位i的运算与化简。

三、解题技巧1. 完全掌握基础概念考生在准备复数基础题型时，首先要完全掌握复数的定义、实部和虚部的概念，以及四则运算的规则。

2. 多做练习题通过大量的练习，考生可以更好地掌握复数基础题型的解题技巧，提高解题速度和准确性。

3. 注意细节在做题过程中，考生需要特别注意运算过程中的细节，避免因计算错误导致最终答案错误。

4. 熟练掌握化简规则在复数的乘法、除法以及平方、立方运算中，化简是非常关键的一步，考生需熟练掌握化简的规则和技巧。

复数高考基础题型在考试中占据重要地位，对考生的基本数学能力和逻辑思维能力提出了很高的要求。

考生需要在复习时充分掌握基础概念，多做练习，并且注重细节和化简的技巧，从而更好地应对考试。

复数基础题型的掌握也对于后续学习和工作中的数学运用具有重要意义。

以上观点仅代表个人观点，仅供参考。

希望对复数高考基础题型的解题技巧和应试能力有所帮助！复数的基础题型总结及解题技巧是高考复习中不可或缺的一部分。

高中数学2-2复数总结(概念+例题)

一知识结构图二1、基本概念 ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—>形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—>当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—>当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—>当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.*若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2、复数与坐标、方程⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-.)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程.③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =--- 表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.3. 共轭复数的性质：z z =； 2121z z z z +=+；a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ）；22||||z z z z ==⋅；2121z z z z -=-；2121z z z z ⋅=⋅；2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ）；n n z z )(= 4、复数的四则运算若两个复数z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ；（2）减法：z 1－z 2=(a 1－a 2)+(b 1－b 2)i ；（3）乘法：z1·z 2=(a 1a 2－b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

）知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法，简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

全国通用2023高中数学必修二第七章复数题型总结及解题方法

全国通用2023高中数学必修二第七章复数题型总结及解题方法单选题1、若z(1+i3)=i，则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为z(1−i)=i，所以z=i1−i =i(1+i)2=−1+i2，故z对应的点位于复平面内第二象限．故选：B．2、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D3、设i为虚数单位，若z i=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z =√5−2i ，再求模长即可得解. 令z =a +b i ，z i=a i −b =2+√5i ，所以a =√5,b =−2，即z =√5−2i ，所以|z|=√5+4=3，故选：D4、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（） A ．2021+2i B ．2021+4i C ．2+2021i D ．4−2021i 答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得. 因为a +2021i =2−bi ，所以a =2，−b =2021，即a =2，b =−2021，所以a 2+bi =4−2021i ．故选：D ．5、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（） A ．−23B ．23C ．−32D ．32 答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32.故选：D.6、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是（）.A ．x 2−2x +2=0B ．x 2−2x +4=0C ．3x 2−2x +1D ．x 2+2x +4=0 答案：B分析：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，根据韦达定理分别将b,c 用a 表示，即可得出答案. 解：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，则x 1+x 2=−ba =2，所以b =−2a ， x 1x 2=ca =4，所以c =4a ，则方程为a (x 2−2x +4)=0(a ≠0)，故只有B 选项符合题意. 故选：B.7、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（） A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4，所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5. 故选：B.8、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（） A ．√13+2B ．2+√3 C ．√13+√2D ．√13+4 答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆． |z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离． ∵|CM|=√32+22=√13． ∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．9、若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则z的虚部为（）A．−√2i B．−√2C．−√22i D．−√22答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i)z=|1+i|=√2，得z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22.故选：D10、复数i2+i3+i2022=（）A．i B．−2−i C．−2+i D．−1答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i2+i3+i2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i．故选：B．填空题11、已知向量a⃗=(2，4)，b⃗⃗=(−1，2)，则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为________（用坐标表示）．答案：(−65,12 5)分析：先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量.因为a⃗=(2，4)，b⃗⃗=(−1，2)，则cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗|⋅|b⃗⃗|=2√5⋅√5=35，所以向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉⋅b⃗⃗|b⃗⃗|=2√5×35⋅√5(-65，125).所以答案是：(-65，125)12、已知(1+i)z=2i（i为虚数单位），则z=___________. 答案：1+i##i+1分析：根据复数代数的四则运算计算即可. ∵(1+i )z =2i ,∴z =2i 1+i=2i (1−i )(1+i )(1−i )=i (1−i )=1+i .所以答案是：z =1+i .13、设z =1−i1+i +3i ，则|z|=___________________ ．答案：2分析：根据复数的除法运算法则化简复数z ，再代入模长公式计算. z =1−i1+i +3i =1−2i+i 21−i 2+3i =−i +3i =2i ，所以|z|=2所以答案是：2 解答题14、设复数z =3cosθ+2i sinθ，求函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值．答案：当θ=arctan√62时，y 取得最大值arctan √612分析：根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可. 由z =3cosθ+2i sinθ，可得tan(argz)=2sinθ3cosθ=23tanθ， tany =tan(θ−argz)=tanθ−tan(argz)1+tanθ⋅tan(argz)=tanθ−23tanθ1+23tan 2θ=tanθ3+2tan 2θ=13tanθ+2tanθ,因为0<θ<π2，所以tanθ>0，于是3tanθ+2tanθ≥2√3tanθ⋅2tanθ=2√6，当且仅当3tanθ=2tanθ时取等号，则当tanθ=√62时取等号，即当θ=arctan√62时取等号，因此有tany ≤2√6=√612，因此函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值为arctan √612，此时θ=arctan√62. 15、已知i 是虚数单位，设复数z 满足|z −2|=2. （1）求|z +1−4i |的最小值与最大值；（2）若z +4z 为实数，求z 的值.答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi=x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y2)+(y −4y x 2+y 2)i ，因为z +4z 为实数，所以y −4yx 2+y 2=0，即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3 ，所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.。

高中数学复数专题知识点整理(K12教育文档)

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专题二复数【1】复数的基本概念（1)形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，)；复数的单位为i ，它的平方等于－1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；(4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；(象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++;（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

复数高考基础题型总结及解题技巧

复数高考基础题型总结及解题技巧复数高考基础题型总结及解题技巧一、概述复数在高考数学中是一个基础而重要的概念，涉及到代数、函数、方程等多个章节。

在高考中，复数的题型也是非常常见的，包括求模、共轭、乘法、除法、方程等多种类型。

了解复数的基础知识，并掌握解题技巧，对于高考数学的备考至关重要。

二、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式a+bi，也可以表示为三角形式r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。

3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法、除法与实数的运算类似，需要分别对实部和虚部进行运算。

三、常见高考基础题型及解题技巧1. 求复数的模题型：已知复数z=a+bi，求z的模|z|。

解题技巧：利用复数的定义，|z|=√(a^2+b^2)。

2. 求复数的共轭题型：已知复数z=a+bi，求z的共轭复数z*。

解题技巧：z*的实部和虚部分别与z相同，但虚部的符号相反，即z*=a-bi。

3. 复数的乘法题型：计算复数z1=a+bi和z2=c+di的乘积。

解题技巧：根据复数的乘法规则，进行实部和虚部的分配、合并、整理，得到结果。

4. 复数的除法题型：计算复数z1=a+bi除以z2=c+di的商。

解题技巧：利用复数的定义和除法运算规则，将分母有理化，然后进行分子分母同乘后整理得到商的实部和虚部。

5. 解复数方程题型：解方程z^2=a，其中a为实数。

解题技巧：化为二元一次方程组，利用求根公式解得复数解。

四、个人观点与总结复数作为数学中的一个重要概念，不仅在高考中频繁出现，而且在数学建模、物理等领域也有着广泛的应用。

对复数的基础知识和解题技巧进行深入的学习和掌握，对于数学学科的发展至关重要。

希望同学们能够在备考高考数学的过程中，认真对待复数的学习，多加练习，提高对复数的理解和运用能力。

高中数学复数专题 (含答案)

高考复数专题（1）姓名：1、若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = 02、设i 是虚数单位，则复数32i i-= i.3、若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z = 23i -4、设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= 15、若复数R ∈i1ai1＋－，则实数a ＝－16、复数()i 2i -= 12i +7、 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 i8、若复数z 满足1zi i =-，其中i 为虚数为单位，则z = 1i -9.设复数a +bi （a ，b ∈R，则（a +bi ）（a -bi ）=______3__.高考复数专题（1）作业姓名：10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 2- .11.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为12.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = 1i --13.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z12i + ． 14、复数3＋2i2－3i＝ i15、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 2＋4i16、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是－1和417已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于第二象限18、设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于第二象限高考复数专题（2）姓名：1、复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于第四象限2、已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b ∈R ，则实数x 的值为 83 3、设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z ＝ 1－i4、在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是 225、设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于 34＋i6 、若复数z ＝a ＋i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于 227、若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ________－18、若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．－25 9、如果复数2－bi1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________．－23高考复数专题（2）作业姓名：10、已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 32-11、复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是－3＋i12、已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=213、已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在．第四象限14、设复数z 满足关系i i z 431+-=⋅，那么z =__34i +_______,|z|=___54_______.15、设i 是虚数单位，复数=++iii 123 116、若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 117、已知复数11z i i=+-，则复数z 的模｜z ｜＝218、复数201511i i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝－i高考复数专题（3）姓名：1、复数21ii-等于－1＋i 2、复数i215+的共轭复数为 1+2i3、已知i 是虚数单位，则复数3(12)z i i =⋅-+的虚部为4、设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限5、若i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的实部与虚部之积为 34-6、纯虚数z 满足23z -=，则z 为7、设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = 一28、复平面内，复数2)31(i +对应的点位于第二象限9、已知复数13i z =+，21i z =-，则复数12zz 在复平面内对应的点位于第一象限高考复数专题（3）作业姓名：10、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12||||z z <，则实数a 的取值范围是 11<<-a11、已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 112、若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 43-13、设a 是实数，且211ii a +++是实数，则=a 114、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ 115、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 -616、已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是． 1017、复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =i -118、复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是－1－i高考复数专题（4）姓名：1、复数11i =+ 1122i -2、若复数i z +=1 （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为 03、复数z = i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 -1-i4、若i bi -+13= a+b i （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b =____________.35、设i 为虚数单位，则复数34ii+= 43i -6、复数（2+i ）2等于 3+4i7、在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 (1 ,3)8、i 是虚数单位，复数ii-+435= 1+i9、设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ．高考复数专题（4）作业姓名：10、计算：31ii-=+ i 21-（i 为虚数单位）11、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= 1i +12、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于第二象限13、复数31ii--等于 2i +14、复数8+15i 的模等于 1715、已知1iZ＋=2+i,则复数z= 1-3i16、i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是－317、i 是虚数单位，i(1+i)等于 -1+i18、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 1-高考复数专题（5）姓名：1、i 是虚数单位，52i i-= -1+2i2、复数 32(1)i i += 23、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a = 1-4、已知复数z=1－i, 则12-z z等于 25、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = 26、复数211i ii +-+的值是 07、i 是虚数单位，32i 1i=-（ 1i - ）8、已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = i ．9、复数322ii +的虚部为____45__．高考复数专题（5）姓名：10、31i i -的共轭复数是 3322i --11、复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为 2212、复数()2化简得到的结果是－l13、若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于 2 214、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 2π15、若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则a+b = －116、2(1)i i += -217、设i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛+20081i i 2100418、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = 4高考复数专题（6）姓名：1、复数312i i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的虚部为________. －12、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = 03、i i -210= -2+4i4、复数3223ii+=- i5、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 36、已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i )x －y 的值为－47、若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 3+5i8、已知i 是虚数单位，则31ii+-= 1+2i9、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限10、若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且i z -=21，则复数21z z = i 5453+-高考复数专题（6）姓名：11、已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 1712、设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 -113、若i3i34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i 2i 2(m m -+ 2 008的值为 114、设复数z 1=1－2i, z 2=1+i, 则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于第三象限15、若(a －2i)i = b －i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 516、 |1|11|1|i ii i +++++＝ 217、设复数z 1=1+i, z 2=x －i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 118、若复数z 满足 Z =i （2－z ）（i 是虚数单位），则z = . 1+i19、复数3ii)2i)(1(+--的共轭复数是 . －3+i20、若复数()()i 2ai 1＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于 21。

(完整版)高中数学复数

第1章：复数与复变函数 §1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。

实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。

记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。

复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。

设，复数的四则运算定义为加（减）法：乘法：除法：相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。

例设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ．分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。

于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。

如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3．复数的模与辐角向量的长度称为复数的模或绝对值，即：易知：(1)(2)(3)(4) 点与点的距离为实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：。

2023年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、已知为i 虚数单位，复数z =1+i1+2i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.z =1+i 1+2i =(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i 2=3−i 5=35−15i ， z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)，所以z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.2、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（）A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n 的值，进而得出复数z .由题意知（n 2＋mn ）＋2n i ＝－2－2i ，即{n 2+mn +2=02n +2=0 ，解得{m =3,n =−1 ，∴z =3−i 故选：B3、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A．2sinθ2(cosθ+π2+i sinθ+π2)B．2sinθ2(cosπ−θ2+isinπ−θ2)C．2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)D．2cosθ2(cosπ−θ2+i sinπ−θ2)答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C.4、设i为虚数单位，a∈R，“复数z=a22−i20201−i不是纯虚数“是“a≠1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：先化简z，求出a，再判断即可.z=a22−i20201−i=a22−11−i=a22−1+i(1−i)(1+i)=a22−12−12i，z不是纯虚数，则a22−12≠0，所以a2≠1，即a≠±1，所以a≠±1是a≠1的充分而不必要条件.故选：A.小提示：本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5、已知复数z=1+i，z是z的共轭复数，若z·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2答案：A分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z =1+i ，所以z =1−i ，因此z̅=2+bi a =2a +b a i =1−i ，所以2a =1且b a =−1,则a =2,b =−2.故选：A6、已知复数z 满足1−z z =1−i ，则z =（） A ．−25+15i B ．−25−15i C ．25+15i D ．25−15i答案：D分析：由已知条件求出复数z ，利用共轭复数的定义可得出结果.因为1−z z =1−i ，所以，z =12−i =2+i (2−i )(2+i )=25+15i ，因此，z =25−15i . 故选：D.7、复数z =|√3+i |的虚部是（） A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定. ∵z =|√3+i |=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ， ∴z 的虚部为−12，故选：A.8、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.9、在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.∵复数1+i的共轭复数为1−i，∴其对应的点(1,−1)位于第四象限.故选：D.小提示：本题考查复数的几何意义，属于基础题.10、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D11、设m∈R，则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C12、已知复数z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)的实部与虚部的和为12，则|z−5|=（）A．3B．4C．5D．6答案：C分析：先把已知z=(a−2i)(1+3i)(a∈R)化简，整理出复数z的实部与虚部，接下来去求|z−5|即可解决.z=(a−2i)(1+3i)=(a+6)+(3a−2)i，则有，a+6+3a−2=12，解得a=2，则z=8+4i，z−5=3+4i，故|z−5|=√32+42=5．故选：C双空题13、已知复数z满足z+1=2+3i(i为虚数单位)，则|z|=___________，复数z的共轭复数z̅在复平面内所对应的点z−i位于第___________象限.答案：2√55；四.分析：根据复数的四则运算求出z，由复数的模的计算公式求得|z|，由共轭复数的概念求得z̅，由复数的几何意义即可求解.由z+1z−i =2+3i，得z=2i−21+3i=(2i−2)(1−3i)10=25+45i，则|z|=2√55,z̅=25−45i，因此复数z的共轭复数z̅在复平面内所对应的点为(25,−45)，位于第四象限．所以答案是：①2√55；②四.14、已知复数z=(a−2)+(2a−1)i是纯虚数，其中a是实数，i为虚数单位，则a=__________.|z+1|=__________.答案： 2 √10解析：先根据复数是纯虚数得到a=2，即得解.因为复数z=(a−2)+(2a−1)i是纯虚数，所以a−2=0且2a−1≠0，所以a=2.所以|z+1|=|1+3i|=√10.所以答案是：2；√10.小提示：易错点睛：复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，不要漏了b≠0，否则容易出错.15、已知复数z满足(z−2)i=7−i，其中i为虚数单位，则|z|=_______，复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第_______象限．答案：5√2一分析：（1）首先设复数z=a+bi，利用等式两边相等，计算复数，再求模；（2）根据复数的几何意义直接求解.设z=a+bi(a,b∈R)，则(z−2)i=(a−2+bi)i=(a−2)i−b=7−i，因此{a −2=1−b =7 ，解得{a =1b =−7，所以a =1−7i ，故|z |=5√2，z =1+7i ，其在复数平面内对应点位于第一象限．所以答案是：5√2；一小提示：本题考查复数相等，模，共轭复数，以及复数的几何意义，属于基础题型.16、在复平面内，复数z 1=0，z 2=1+√2i ，z 3=√2+i （i 为虚数单位）对应的点分别为O 、A 、B ，则z 2⋅z 3=________；cos ∠AOB =________．答案： 3i 2√23分析：利用复数的乘法计算可得z 2⋅z 3的值；求出A 、B 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos∠AOB 的值.由已知可得z 2⋅z 3=(1+√2i )(√2+i )=√2+3i −√2=3i ，由复数的几何意义可得O (0,0)、A(1,√2)、B(√2,1)，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√2)，OB⃑⃑⃑⃑⃑ =(√2,1)，所以，cos ∠AOB =cos <OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ >=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√23. 所以答案是：3i ；2√23. 17、瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i 来表示-1的平方根，首创了用符号i 作为虚数的单位．若复数z =5−i 1+i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为________；|z |=_____．答案： −3 √13分析：利用复数的除法可计算z ，从而可求其虚部和模.z =5−i 1+i =(5−i )(1−i )(1+i )(1−i )=4−6i 2=2−3i ，故z 的虚部为−3，模为√4+9=13，故分别填−3,√13.小提示：本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.解答题18、已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i ，−2+i ，−1−2i ，求第四个顶点所对应的复数．答案：2−i分析：根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．设复数1+2i ，−2+i ，−1−2i 对应的点分别为A,B,C则A(1,2)，B(−2,1)，C(−1,−2)，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,−1),BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−3)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−3+3=0，所以∠ABC =90° 设第四个点为D(x,y)，则按照A,B,C,D 的顺序才能构成正方形，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(−3，−1)=(−1−x ，−2−y) 即{−1−x =−3−2−y =−1 ，解得{x =2y =−1，则D(2,−1)，对应的复数为2−i ，所以答案是：2−i19、（1）化简：1+i +i 2+i 3+⋯+i 2021；（2）方程x 2−px +k =0(p ∈R)有一个根为1+2i ，求实数k 的值．答案：（1）1+i ；（2）5．分析：（1）根据i n +i n+1+i n+2+i n+3=0,n ∈N ∗求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解（1）因为i n +i n+1+i n+2+i n+3=0,n ∈N ∗，所以1+i +i 2+i 3+⋯+i 2021，=1+i +i 2+i 3+(i 4+i 5+i 6+i 7)+(i 8+i 9+i 10+i 11)+⋯+(i 2016+i 2017+i 2018+i 2019)+i 2020+i 2021，=1+i .（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，故另一个根为1−2i ，∴k =(1+2i )(1−2i )=520、已知z 是复数，且z −i 和z 1−i 都是实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 和|z |；（2）若复数z +m +(m 2−m −3)i 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围. 答案：（1）z =−1+i ，|z |=√2；（2）(1−√172,−1).分析：（1）设z =a +b i （a ，b ∈R ），由复数的运算法则分别求出z −i 和z 1−i 的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；（2）根据复数的几何意义计算求解即可.（1）设z =a +b i （a ，b ∈R ），则z −i =a +(b −1)i ，∵z −i 为实数，∴b −1=0，即b =1，z1−i =a+b i 1−i =(a+b i )(1+i )(1−i )(1+i )=a−b 2+a+b 2i =a−12+a+12i ， ∵z 1−i 为实数，∴a +1=0，即a =−1，则z =−1+i ，|z |=√(−1)2+12=√2；（2）由（1）得z +m +(m 2−m −3)i =(m +1)+(m 2−m −4)i ，依题意得{m +1<0m 2−m −4<0，解得1−√172<m <−1，∴实数m 的取值范围是(1−√172,−1).。

高中数学必修二第七章复数重难点归纳(带答案)

高中数学必修二第七章复数重难点归纳单选题1、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（） A ．−2−i B ．2+i C ．1+2i D ．−1+2i 答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果. 由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)，故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i . 故选：D.2、设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．(x +1)2+y 2=1B ．(x −1)2+y 2=1C ．x 2+(y −1)2=1D ．x 2+(y +1)2=1 答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．z =x +yi,z −i =x +(y −1)i, |z −i |=√x 2+(y −1)2=1,则x 2+(y −1)2=1．故选C ．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3、复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|z −3|=|z −i |，则动点Z 的轨迹为（） A ．直线B ．线段C ．两条射线D ．圆答案：A分析：设出动点Z 坐标为(x,y )，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z 坐标为(x,y )，则z =x +y i ，所以|x +y i −3|=|x +y i −i |，即(x −3)2+y 2=x 2+(y −1)2，化简得：3x −y −4=0，故动点Z 的轨迹为直线.故选：A4、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.5、已知复数z=1+√2i（i为虚数单位），设z̅是z的共轭复数，则z̅的虚部是（）A．√2B．−√2C．√2i D．−√2i答案：B分析：先求出共轭复数，从而可求出其虚部由z=1+√2i，得z=1−√2i，所以z̅的虚部是−√2，故选：B6、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.7、已知z(1−2i)=i ，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的虚部为i5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限 C ．复数z 的共轭复数z =25−i5D ．|z |=15答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i=1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确. z =−25−i5，C 错误；|z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题． 8、设z =i(2+i)，则z̅= A ．1+2iB ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i 答案：D分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ． z =i(2+i)=2i +i 2=−1+2i ，所以z̅=−1−2i ，选D ．小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．多选题9、设复数z =1a+2i (a ∈R)，当a 变化时，下列结论正确的是（） A ．|z |=|z̅|恒成立B ．z 可能是纯虚数 C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12答案：ABD分析：首先根据题意得到z =aa 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可. z =1a+2i =a−2i(a+2i )(a−2i )=aa 2+4−2a 2+4i ，对选项A ，z̅=aa 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z̅|=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2，故A 正确. 对选项B ，z =a a 2+4−2a 2+4i ，当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确.对选项C ，z +1z =aa 2+4−2a 2+4i +a +2i =(aa 2+4+a)+(2−2a 2+4)i 令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号.所以|z |的最大值为12，故D 正确. 故选：ABD10、已知复数z 满足z(2−i )=i ( i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z̅，则（） A ．|z|=35B ．z̅=−1+2i 5C ．复数z 的实部为−1D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD分析：因为复数z 满足z(2−i )=i ，利用复数的除法运算化简为z =−15+25i ，再逐项验证判断. 因为复数z 满足z(2−i )=i ，所以z =i2−i =i(2+i)(2−i )(2+i)=−15+25i 所以|z |=√(−15)2+(25)2=√55，故A 错误；z =−15−25i ，故B 正确；复数z 的实部为−15 ，故C 错误；复数z对应复平面上的点(−15,25)在第二象限，故D正确.故选：BD小提示：本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.11、若复数z=√3−i，则下列说法错误的是（）.A．z在复平面内对应的点位于第二象限B．|z|=4C．z的共轭复数z=√3+iD．z2=4−2√3i答案：ABD分析：A选项，直接判断出z位于第四象限B选项，直接求出|z|；C选项，直接求出z；D选项，直接求出z2.A选项，z在复平面内对应的点为(√3，−1)，位于第四象限.故A错误；B选项，|z|=√(√3)2+(−1)2=2.故B错误；C选项，z=√3+i.故C正确D选项，z2=(√3−i)2=2−2√3i.故D错误；故选：ABD.填空题12、已知向量a⃗=(2，4)，b⃑⃗=(−1，2)，则向量a⃗在向量b⃑⃗上的投影向量为________（用坐标表示）．答案：(−65,12 5)分析：先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量a⃗在向量b⃑⃗上的投影向量.因为a⃗=(2，4)，b⃑⃗=(−1，2)，则cos〈a⃗，b⃑⃗〉=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗|⋅|b⃑⃗|=2√5⋅√5=35，所以向量a⃗在向量b⃑⃗上的投影向量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃑⃗〉⋅b⃑⃗|b⃑⃗|=2√5×35⋅√5(-65，125).所以答案是：(-65，125)13、设i 是虚数单位，若复数z =a 1+i+i (a ∈R )是实数，则a 的值为______．答案：2分析：根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可. 复数z =a1+i +i=a (1−i )(1+i )(1−i )+i =a2+(1−a 2)i 因为原复数是实数，故得到1−a2=0⇒a =2所以答案是：214、已知|z −1−i |=1，则|z +i |的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z +i |表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z +i |表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z +i |的取值范围是[√5−1,√5+1]. 所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −a −bi |表示复平面内点(x, y)与点(a, b)之间的距离，|z −a −bi |=r 表示以(a, b)为圆心，以r 为半径的圆上的点. 解答题15、已知点P(√3,1),Q (cos x,sin x ),O 为坐标原点，函数f (x )=OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QP ⃑⃑⃑⃑⃑ . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )=4,BC =3，求△ABC 周长的最大值.答案：(1)2π (2)3+2√3分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到f(x)=4−2sin(x +π3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(b +c)2−9=bc ，使用基本不等式求出b +c ≤2√3，进而得到△ABC 周长的最大值. (1)f(x)=OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅QP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√3,1)⋅(√3−cos x,1−sin x)=3−√3cosx +1−sinx =4−2sin(x +π3)故f(x)的最小正周期T =2π， (2)f(A)=4−2sin(A +π3)=4，解得：sin(A +π3)=0，而A ∈(0,π)，故A +π3∈(π3,4π3)，故A +π3=π，所以A =2π3；又BC =3，设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−92bc=−12，所以(b +c)2−9=bc ，又bc ≤(b+c)24，故(b +c)2−9≤(b+c)24，解得：b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时等号成立，故a +b +c ≤3+2√3，即△ABC 周长的最大值为3+2√3.。

高中数学集合、复数必做题型(含解析)

集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。

高中数学第七章复数知识点总结归纳(带答案)

高中数学第七章复数知识点总结归纳单选题1、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.故选：D.2、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z=z.则其中正确命题的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=√2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z=a,则z=a所以z=z,反之当z=z时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.3、若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则z的虚部为（）A．−√2i B．−√2C．−√22i D．−√22答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i )z =|1+i|=√2，得z =√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i ， ∴z 的虚部为 −√22. 故选：D4、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（）A ．2021+2iB ．2021+4iC ．2+2021iD ．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得.因为a +2021i =2−bi ，所以a =2，−b =2021，即a =2，b =−2021，所以a 2+bi =4−2021i ．故选：D ．5、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e 2i 在复平面内对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e 2i =cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e 2i 对应点所在象限.由题意知：e 2i =cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0,sin2>0，故e 2i 对应点在第二象限.故选：B6、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D7、下列命题正确的是（）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0，2i −m −mi +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误；对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +yi (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =yi ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)，(3,−2)=(−x,2x)+(y,−y)=(y−x,2x−y)，{y−x=32x−y=−2，解得：x=1，y=4，故x+y=5，故D错误．故选：C．8、复数a+bi(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）.A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2−b2+2abi为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+bi(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+bi(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D多选题9、下列说法正确的是（）A．若|z|=2，则z⋅z=4B．若复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等D．“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件答案：AD解析：由|z|求得z⋅z判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|=|z1−z2|时，不一定有z1z2=0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.若|z|=2，则z⋅z=|z|2=4，故A正确；设z1=a1+b1i(a1,b1∈R)，z2=a2+b2i(a2,b2∈R)由|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，可得|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2 则a 1a 2+b 1b 2=0，而z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+a 1b 2i +b 1a 2i =2a 1a 2+a 1b 2i +b 1a 2i 不一定为0，故B 错误；当z =1−i 时z 2=−2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数，则a 2−1≠0，即a ≠±1所以“a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD小提示：本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.10、已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z =1+i 1−i ，则z 30=−1B ．若复数z 满足|z −1|=|z −i |，则复平面内z 对应的点Z 在一条直线上C ．若(x 2−1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则实数x =±1D ．复数z =2−i 的虚部为−i答案：AB分析：根据复数的运算直接计算可知A ；由复数的模的公式化简可判断B ；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C ；由虚部概念可判断D.对于A ：因为z =1+i 1−i =(1+i )2(1−i )(1+i )=i ，所以z 30=i 30=i 4×7+2=i 2=−1，故A 正确；对于B ：设z =x +yi (x,y ∈R )，代入|z −1|=|z −i |，得√(x −1)2+y 2=√x 2+(y −1)2，整理得y =x ，即点Z 在直线y =x 上，故B 正确；对于C ：(x 2−1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则{x 2−1=0,x 2+3x +2≠0，即x =1，故C 错误；对于D ：复数z =2−i 的虚部为−1，故D 错误.故选：AB.11、已知复数z 1=−2+i （i 为虚数单位），复数z 2满足|z 2−1+2i |=2，z 2在复平面内对应的点为，则（） (),M x yA ．复数z 1在复平面内对应的点位于第二象限B ．1z 1=−25−15iC ．(x +1)2+(y −2)2=4D ．|z 2−z 1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A 选项；利用复数的除法运算可判断B 选项；利用复数的模长公式可判断C 选项；利用复数模长的三角不等式可判断D 选项.对于A 选项，复数z 1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A 对；对于B 选项，1z 1=1−2+i =−2−i (−2+i )(−2−i )=−25−15i ，B 对；对于C 选项，由题意可得z 2−1+2i =(x −1)+(y +2)i ，因为|z 2−1+2i |=2，则(x −1)2+(y +2)2=4，C 错；对于D 选项，z 1−1+2i =−3+3i ，则|z 1−1+2i |=√(−3)2+32=3√2，所以，|z 2−z 1|=|(z 2−1+2i )−(z 1−1+2i )|≤|z 2−1+2i |+|z 1−1+2i |=2+3√2，D 对.故选：ABD.12、已知a ，b ∈R ，(a −1)i −b =3−2i ，z =(1+i )a−b ，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部是2iB ．|z |=2C ．z =−2iD ．z 对应的点在第二象限答案：BC分析：根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.由复数相等可得{−b =3,a −1=−2,解得{a =−1,b =−3,所以z =(1+i)a−b =(1+i)2=2i ，对于A ，z 的虚部是2，故A 错误；对于B ，|z|=|2i|=2，故B 正确；对于C ，z =−2i ，故C 正确；对于D ，z 对应的点在虚轴上，故D 错误.故选：BC13、已知复数z 满足zi =(1−2i )2，则（）A ．z 的虚部为-3B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限C ．|z |=5D ．z 2+8z +7=0答案：BC分析：利用复数的乘除运算求解复数z ，根据复数z 的性质判断各项正误.解：由zi =(1−2i)2可得z =(1−2i)2i =−3−4i i =−4+3i ，故z 的虚部为3，A 错误；z 在复平面内对应的点为(−4,3)，位于第二象限，B 正确；|z|=√(−4)2+32=5，C 正确；z 2+8z +7=7−24i −32+24i +7=−18，故D 错误.故选：BC.填空题14、若实数x,y 满足x +yi =−1+(x −y)i ，则xy =_____________．答案：12#0.5分析：根据复数相等充要条件，列出方程组，求得x,y 的值，即可求解.因为x +yi =−1+(x −y)，可得{x =−1y =x −y，解得x =−1,y =−12，所以xy =12. 所以答案是：12 15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14，又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )；（2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z =1−2i （i 为虚数单位）.（1）若z ⋅z 0=2z +z 0，求复数z 0的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0一个虚根，求实数m 的值.答案：（1）2−i ；（2）2．分析：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1，求出z 0，即可得到z 0的共轭复数；（2）将z =1−2i 代入方程x 2−mx +5=0，根据复数相等可求求实数m 的值.详解：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1=2(1−2i )−2i =2+i ，所以复数z 0的共轭复数为2−i .（2）因为z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0的一个虚根，所以(1−2i )2−m (1−2i )+5=0，即(2−m )+(2m −4)i =0.又因为m 是实数，所以m =2.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．18、ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1+3i ，2i ，2+i ，z ，（1）求复数z ；（2）z 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值.答案：（1）z =3+2i ；（2）p =12,q =26.分析：（1）根据A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），利用AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 求解；（2）根据3+5i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.（1）复平面内A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），由于AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x ﹣1，y ﹣3）＝（2，﹣1），∴x ﹣1＝2，y ﹣3＝﹣1，解得x ＝3，y ＝2，故D （3，2），则点D 对应的复数z ＝3+2i ；（2）∵3+2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，∴3﹣2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的另一个根，则3+2i +3﹣2i ＝p 2，（3+2i ）（3﹣2i ）＝q 2，即p ＝12，q ＝26.。

数学教案高中复数题型总结

数学教案高中复数题型总结
一、复数的概念与性质
1. 什么是复数？
2. 复数的表示：a+bi形式和极坐标形式
3. 复数的加减乘除运算法则
4. 共轭复数及其性质
5. 模的定义和性质
二、复数方程的解法
1. 一元二次方程的复数解
2. 一元多次方程的复数解
3. 复数方程的解法
三、复数在几何学中的应用
1. 复数表示向量及运算
2. 复数在平面几何中的应用
3. 复数在解析几何中的应用
四、复数的幂和根
1. 复数的幂
2. 复数的根
3. 复数根的性质及求解方法
五、综合题型
1. 复数的运算综合题
2. 复数方程综合题
3. 复数在几何学中的应用综合题
4. 复数的幂和根综合题
以上为高中数学教案中关于复数题型的总结范本，具体内容可根据教学内容和学生水平进行调整和修改。

希望能对您的教学工作有所帮助。

(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点归纳超级精简版

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点归纳超级精简版单选题1、若复数5−3−i 的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（）A ．y =2xB ．y ＝x+12xC ．y =|x|D ．y =−2x 2−1答案：D分析：将复数化为z ＝a ＋b i 的形式即可求出A ，将A 的坐标代入选项的函数验证即可.因为5−3−i ＝=5(−3+i)(−3−i)(−3+i)＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12,−32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.2、设z =i(2+i)，则z̅=A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i答案：D分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．z =i(2+i)=2i +i 2=−1+2i ，所以z̅=−1−2i ，选D ．小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解. 根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.4、若复数z =21+i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i答案：B分析：复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i 故选：B.5、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为（） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =BP ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D6、设i为虚数单位，若z i=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+b i，z i=a i−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D7、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z−3|=|z−i|，则动点Z的轨迹为（）A．直线B．线段C．两条射线D．圆答案：A分析：设出动点Z坐标为(x,y)，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z坐标为(x,y)，则z=x+y i，所以|x+y i−3|=|x+y i−i|，即(x−3)2+y2=x2+(y−1)2，化简得：3x−y−4=0，故动点Z的轨迹为直线.故选：A8、已知复数z=2−i2017，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．复数z =2−i 20171+i=2−i 1+i =(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A9、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z̅=a 所以z =z̅,反之当z =z̅时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z̅是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.10、若z =−1+√3i ，则z zz̅−1=（）A ．−1+√3iB ．−1−√3iC ．−13+√33i D ．−13−√33i 答案：C分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.z̅=−1−√3i ,zz̅=(−1+√3i )(−1−√3i )=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C填空题11、若复数z=sin2α−(1−cos2α)i是纯虚数，α∈[0,2π)，则α=___________．答案：π2或3π2.分析：利用纯虚数的概念，以及三角函数求值即可. 由题意，sin2α=0,cos2α≠1，α∈[0,2π)，∴2α∈[0,4π)，2α=π，或2α=3π，∴α=π2或3π2；所以答案是：π2或3π2.12、i是虚数单位，复数2−i1+2i的共轭复数为______．答案：i分析：利用复数的除法化简复数2−i1+2i，利用共轭复数的定义可得出结果.∵2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，因此，复数2−i1+2i的共轭复数为i.所以答案是：i.13、△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中C为钝角，且c−b=2bcosA，那么cosA的范围是______.答案：(12,1)分析：先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到A=2B，再根据C为钝角，确定角A的范围，从而得出cosA的范围.在△ABC中，根据正弦定理，可将条件c−b=2bcosA化为sinC−sinB=2sinBcosA.把sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB代入整理得，sin(A−B)=sinB.所以A−B=B或A−B+B=π，解得A=2B或A=π(舍去). 又C为钝角，所以由{0<A<π2,0<B<π2,0<A+B<π2 A=2B ，解得0<A<π3.所以cosA的范围(12,1).所以答案是：(12,1).14、复数21−i的虚部为____________．答案：1解析：根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1+i，然后即可判断出复数的虚部.因为21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，所以复数的虚部为1，所以答案是：1.15、设复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=2，z1−z2=1+√2i，则|z1+z2|=________．答案：√7分析：由已知可得|z1−z2|=√3，进而由|z1−z2|2=(z1−z2)z1−z2可得z1z2+z2z1=2，从而有|z1+z2|2= |z1|2+|z2|2+z1z2+z2z1，故而可得答案.解：因为z1−z2=1+√2i，所以|z1−z2|=√12+(√2)2=√3，又|z1|=1，|z2|=2，所以|z1−z2|2=(z1−z2)z1−z2=z1z1+z2z2−z1z2−z2z1=|z1|2+|z2|2−z1z2−z2z1=3，所以z1z2+z2z1=2，所以|z1+z2|2=(z1+z2)z1+z2=|z1|2+|z2|2+z1z2+z2z1=7，所以|z1+z2|=√7，所以答案是：√7.解答题16、已知O 为坐标原点，向量OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ､OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a +(2a −5)i (a ∈R)，若z 1+z 2是实数.(1)求实数a 的值；(2)求以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积.答案：(1)a =3(2)118分析：（1）由已知结合z 1+z 2为实数求得a 的值，（2）求得OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的点的坐标，再由OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值计算夹角的正余弦，则可求面积．（1）由z 1=3a+5+(10−a 2)i ，得 z 1=3a+5−(10−a 2)i ，则z 1+z 2=3a+5+21−a +[(a 2−10)+(2a −5)]i 的虚部为0，∴a 2+2a −15=0．解得：a =−5或a =3．又∵a +5≠0，∴a =3．（2）由（1）可知z 1=38+i ，z 2=−1+i ． OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(38，1)，OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)．∴ OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =58．所以cos⟨OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=58√7364⋅√2=√146，所以sin⟨OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=√146，所以以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积S =|OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅sin⟨OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=11817、把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）4(cos π3+i sin π3)；（2）3(cos 5π4+i sin 5π4).答案：（1）2+2√3i （2）−3√22−3√22i 解析：（1）分别求出cos π3,sin π3 再整理为a +bi 的形式.（2）分别求出cos5π4,sin 5π4 再整理为a +bi 的形式. （1）4(cos π3+i sin π3)==4cos π3+(4sin π3)i =4×12+(4×√32)i =2+2√3i . （2）3(cos 5π4+i sin 5π4)=3cos 5π4+(3sin 5π4)i =3×(−√22)+3×(−√22)i =−3√22−3√22i . 小提示：本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18、已知复数z =2−i (i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程x 2+px +q =0根．（1）求p,q 的值；（2）复数w =p +q i ，求复数w 3−4i 的值．答案：（1）p =−4,q =5；（2）−3225−125i ．分析：（1）根据实系数方程x 2+px +q =0的虚根是互为共轭复数的，利用韦达定理即可求出答案；（2）根据复数的乘除法运算即可得出答案.解：（1）实系数方程x 2+px +q =0的虚根是互为共轭复数的，所以另一根是2+i ，根据韦达定理可得2+i + 2−i =−p,(2+i )(2−i )=q ，∴p =−4,q =5（2）由（1）得w =−4+5i则w 3−4i =−4+5i3−4i =(−4+5i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−32−i 25=−3225−125i .19、求实数m 取何值时，复数z =(2m 2−3m −2)+(m 2−m )i 在复平面内对应的点Z ；(1)位于第二象限；(2)位于第一或第三象限；(3)在直线x −y −1=0上．答案：(1)−12<m <0或1<m <2；(2)m <−12或0<m <1或m >2；(3)m =−1或3.分析：（1）可得点Z 的坐标为(2m 2−3m −2,m 2−m )，然后可得{2m 2−3m −2<0m 2−m >0，解出即可；（2）可得{2m 2−3m −2>0m 2−m >0 或{2m 2−3m −2<0m 2−m <0 ，解出即可；（3）将点Z 的坐标代入直线的方程求解即可.(1)复数z =(2m 2−3m −2)+(m 2−m )i 在复平面内对应的点Z 的坐标为(2m 2−3m −2,m 2−m )若点Z 位于第二象限，则{2m 2−3m −2<0m 2−m >0，解得−12<m <0或1<m <2 (2)若点Z 位于第一或第三象限，则{2m 2−3m −2>0m 2−m >0 或{2m 2−3m −2<0m 2−m <0解得m <−12或0<m <1或m >2(3)若点Z 在直线x −y −1=0上，则2m 2−3m −2−m 2+m −1=0 解得m =−1或3。

高中数学复数题型归纳总结

高中数学复数题型归纳总结一、复数概念复数是由实部和虚部构成的数，可以用形如a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，且i^2=-1。

二、常见运算法则1.加法和减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2.乘法：使用分配律展开，i^2=-1，进一步简化计算。

3.除法：用有理化的方法进行分子分母的有理化，并利用i^2=-1进行简化。

三、复数的表示形式1.代数形式：a+bi，a、b为实数。

2.三角形式：r(cosθ+isinθ)，r为复数的模，θ为辐角或幅角。

3.指数形式：re^(iθ)，r为复数的模，θ为辐角或幅角。

四、复数共轭对于复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，即共轭复数与原复数的虚部符号相反，即z*=a-bi。

五、复数的模对于复数z=a+bi，其模记为|z|，即模等于复数的实部与虚部构成的向量的长度，即|z|=√(a^2+b^2)。

六、复数的辐角或幅角对于复数z=a+bi，其辐角或幅角记为arg(z)，即辐角或幅角等于复数与实轴正方向形成的夹角。

七、复数的乘方对于复数z=a+bi，其乘方可以使用三角形式来计算，即z^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，这里r为模，θ为辐角或幅角。

八、复数的根式对于复数z=a+bi，其根式可以使用三角形式来计算，即z^(1/n)=r^(1/n)(cos(θ/n)+isin(θ/n))，这里r为模，θ为辐角或幅角。

九、复数的应用领域1.电学领域：交流电的分析与计算可以使用复数来表示。

2.物理领域：波函数等的计算与分析可以使用复数来表示。

3.工程领域：信号处理、图像处理等需要对信号进行计算与分析的领域中，复数也有着广泛的应用。

综上所述，复数是由实部和虚部构成的数，具有加法、减法、乘法、除法等运算法则。

复数可以用代数形式、三角形式和指数形式来表示，其中三角形式和指数形式可以方便地进行复数的乘法、除法、乘方和根式运算。

复数在电学、物理和工程等领域有着广泛的应用，是高中数学中重要的内容之一。

高中数学复数题型

高中数学复数题型
高中数学复数题型
1. 复数的定义和表示方法
•复数的定义：由实数和虚数单位i构成的数叫做复数。

•复数的表示方法：a+bi，其中a为实部，b为虚部。

2. 复数的运算
复数的加法
•纯虚数相加：两个纯虚数相加，实部为0，虚部相加。

•复数相加：实部相加，虚部相加。

复数的减法
•复数相减：实部相减，虚部相减。

复数的乘法
•复数相乘：按照分配律进行计算，并注意i的幂次运算。

复数的除法
•复数相除：一般将除数和被除数的虚部有理化，然后根据分子分母的形式，进行除法运算。

3. 复数的性质和应用
复数的模
•复数的模定义为复数到原点的距离，模的计算公式为：|a+bi|=√(a²+b²)。

共轭复数
•共轭复数的定义为：如果一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，那么z的共轭复数记作z，则z=a-bi。

复数的平方根
•复数的平方根有两个解，可用配方法进行计算。

应用：电路中的复数
•复数可以用来表示电路中的电阻、电容和电感等元件的阻抗。

4. 高中数学题例
1.已知复数z的模为3，求z的共轭复数。

2.已知复数z满足|z|=5，z的虚部为4，求z的实部。

3.已知复数z满足z-3+2i=2+5i，求z。

4.已知复数z满足z*(2+z)=10+5i，求z的实部和虚部。

以上为高中数学复数题型的相关内容，希望对大家的学习有所帮助！。

高中数学复数知识点总结

高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展，形式为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。

二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时，分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。

- 例如：`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。

2. 复数的乘法- 两个复数相乘时，使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。

- 例如：`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。

3. 复数的除法- 两个复数相除时，先将分母的复数取共轭，然后相乘，最后将结果化简。

- 例如：`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。

三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`，其中 `a` 是横坐标，`b` 是纵坐标。

这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。

四、复数的模和幅角1. 模（Magnitude）- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。

- 模表示复数在复平面上的长度。

2. 幅角（Argument）- 复数 `z = a + bi` 的幅角（或称为相位）是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。

- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角，取值范围为 `0` 到`2π`。

五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`，其中 `r` 是模，`θ` 是幅角。

高中数学复数专题学习知识点整理及总结计划人教版本.docx

一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：①i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对i 都成立。

⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2= i4n+3=⑶形如 ab的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－，+ i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b ；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 za 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1）加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2）减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3）乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z z a 2b 2 。

（4）除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二．例题分析】已知 z a 1b 4 i ，求【例 1（ 1）当 a, b 为何值时 z 为实数（ 2）当 a, b 为何值时 z 为纯虚数（ 3）当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4）当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标）已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1）求 z 1z 2 的值；（ 2）求 z 1 z 2 的值；（ 3）求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足z 2 i 1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1ai 2 是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .a 3ia R （i 为虚数单位），【例 5】若复数 z1 2i（ 1）若 z 为实数，求 a 的值（ 2）当 z 为纯虚，求 a 的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为（）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z4 3i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4 （ C ） 4（ D ）4553． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2＝ ( ) ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ． A 25B41 Ci 5 D．．．5．6.(2014北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,bR ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是.【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，32i（）1 iＡ 1iＢ 1 iＣ 1iＤ．1i【变式 5】 . （ 2011年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i =（）1iA2 i B2 i C 1 2i D 1 2i【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。

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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。