第八章贪心算法
数据结构与算法 贪婪法PPT课件
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把5子树的根与6子树的根用一条有向边相连成为一棵树，即完成两个 集合的合并，理解为原无向边 {1,3} 加入5子树。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
Union 操作规则： 考虑Find操作，如果树高越大，则Find操作的键比较次数就会增加。 上例Union操作没考虑这点，明显的缺点是Union后树高可能会变得 很大（想想：为什么？），最坏情况下树变成线性表（链表），Find 操作成为线性效率Ω(n)而非对数级。例如：集合{1}, {2}, {3}, {4}, {5} 的一种合并过程如图，最后得到一条线性链。需避免此种情况出现。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
3. 算法停止：全部顶点都包含于树中。 每次只扩展一个顶点，扩展次数 = |V|-1 = n-1
PrimMST (G) // 输入图 G = <V, E>，生成树 T = <VT, ET>
VT {v0 }
// 任选顶点v0 作为初始生成树
贪心算法的基本原理
贪心算法的基本原理贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常用的算法思想，它在求解最优化问题时通常能够得到较好的近似解。
贪心算法的基本原理是：每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
在实际应用中，贪心算法常常用于解决一些最优化问题，如最小生成树、最短路径、任务调度等。
一、贪心算法的特点贪心算法具有以下特点：1. 简单：贪心算法通常比较简单，易于实现和理解。
2. 高效：贪心算法的时间复杂度通常较低，能够在较短的时间内得到结果。
3. 局部最优：每一步都选择当前状态下的最优解，但不能保证最终能够得到全局最优解。
4. 适用范围：贪心算法适用于一些特定类型的问题，如无后效性、最优子结构等。
二、贪心算法的基本原理贪心算法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 初始状态：确定问题的初始状态，定义问题的输入和输出。
2. 状态转移：根据当前状态，选择局部最优解，并更新状态。
3. 筛选解：判断当前状态下是否满足问题的约束条件，若满足则保留该解，否则舍弃。
4. 终止条件：重复以上步骤，直至满足终止条件，得到最终解。
三、贪心算法的应用举例1. 找零钱：假设有 25、10、5、1 四种面额的硬币，需要找零 41 元，如何使得找零的硬币数量最少？贪心算法可以先选择面额最大的硬币，然后逐步选择面额较小的硬币，直至找零完毕。
2. 区间调度：给定一组区间，如何选择最多的互不重叠的区间？贪心算法可以先按照区间的结束时间排序，然后依次选择结束时间最早的区间，直至所有区间都被覆盖。
3. 最小生成树：在一个连通的带权无向图中，如何选择边使得生成树的权值最小？贪心算法可以按照边的权值从小到大排序，然后依次选择权值最小且不构成环的边，直至所有顶点都被连接。
四、贪心算法的优缺点1. 优点：贪心算法简单高效，适用于一些特定类型的问题，能够在较短的时间内得到近似最优解。
2. 缺点：贪心算法不能保证一定能够得到全局最优解，可能会出现局部最优解不是全局最优解的情况。
贪心算法程序设计
贪心算法程序设计贪心算法程序设计1. 什么是贪心算法贪心算法（Greedy Algorithm）是一种常见的算法思想，它在每一步选择中都采取当前状态下的最优选择，从而希望最终达到全局最优解。
贪心算法的核心思想是局部最优解能导致全局最优解。
2. 贪心算法的基本步骤贪心算法的基本步骤如下：1. 定义问题的优化目标。
2. 将问题分解成子问题。
3. 选择当前最优的子问题解，将子问题的解合并成原问题的解。
4. 检查是否达到了问题的优化目标，如果没有达到，则回到第二步，继续寻找下一个最优子问题解。
5. 在所有子问题解合并成原问题解后，得到问题的最优解。
3. 贪心算法的应用场景贪心算法的应用非常广泛，几乎可以用于解决各种优化问题。
以下几个常见的应用场景：1. 零钱找零问题：给定一定面额的纸币和硬币，如何找零使得所需纸币和硬币的数量最小？2. 区间调度问题：给定一些活动的开始时间和结束时间，如何安排活动使得可以办理的活动数量最大？3. 背包问题：给定一些具有重量和价值的物品，如何选择物品使得背包的总价值最大？4. 最小树问题：给定一个带权无向图，如何找到一棵树，使得它的边权之和最小？5. 哈夫曼编码问题：给定一组字符和相应的频率，如何构造一个满足最低编码长度限制的二进制编码？4. 贪心算法的优缺点贪心算法的优点是简单、高效，可以快速得到一个近似最优解。
而且对于一些问题，贪心算法能够得到全局最优解。
贪心算法的缺点在于它不一定能够得到全局最优解，因为在每一步只考虑局部最优解，无法回溯到之前的选择。
5. 贪心算法的程序设计在使用贪心算法进行程序设计时，通常需要以下几个步骤：1. 定义问题的优化目标。
2. 将问题分解成子问题，并设计子问题的解决方案。
3. 设计贪心选择策略，选择局部最优解。
4. 设计贪心算法的递推或迭代公式。
5. 判断贪心算法是否能够得到全局最优解。
6. 编写程序实现贪心算法。
6.贪心算法是一种常见的算法思想，它在每一步选择中都采取当前状态下的最优选择，从而希望最终达到全局最优解。
贪心算法的常用范围
贪心算法的常用范围一、什么是贪心算法？听我说，贪心算法其实就像你身边那些总是想着“现在最好的”那一类人。
啥意思呢？就是他们做事从来不考虑长远，只看眼前能捞多少，想法很简单，行动也特别直接。
比如说你去吃自助餐，眼前有一盘热腾腾的牛排，你只顾着夹那块，脑袋里想的就是“现在不吃，等下没了怎么办”。
这就有点像贪心算法，它在每一步选择中都追求局部的最优解。
问题是，这种做法能得出全局最优解吗？不一定哦。
所以，贪心算法适用的地方就有点挑剔，它只适合那些能通过局部最优解来推导出全局最优解的情况。
二、贪心算法的常见应用1. 活动安排问题咱们先来说个生活中常见的例子，活动安排问题。
假设你是一个忙碌的白领，今天有好多活动要参加，可惜你一整天的时间有限。
怎么安排才能把活动都参加个遍呢？如果你是那种贪心心态的家伙，你会选择哪个活动呢？肯定是选那些花费时间最少，能带来最大回报的活动嘛！简单粗暴的办法就像贪心算法一样，选择每一个最短时间的活动，把空余的时间都填满。
最终，你可能会发现，虽然你参加了很多活动，但并不一定能让你得到最大的收益。
所以说，这个问题就是一个典型的贪心算法的使用场景。
2. 找零问题还有个经典的例子是找零问题。
你去商店买东西，店员找给你零钱。
那如果你是商店的老板，应该怎么挑零钱呢？你肯定会选择把金额大的零钱先找给顾客吧，简单快捷又高效。
比如，顾客给你100块钱，你就找个50块、20块，再来几张5块，剩下的用1块来凑，最后一结账，顾客就满意地走了。
这个过程中，你是按照每次找最大的零钱进行选择，这就是贪心算法的一个典型应用。
找零问题背后就是一个在每一步都做出“局部最优选择”的过程，能够确保找到的零钱数量最少，操作也最为高效。
3. 最短路径问题再说个计算机里的例子，最短路径问题。
在一个图中，假如你是要从A点出发去B 点，你要怎么走才能最省力、最省时？这里的贪心算法会告诉你：每次从当前位置出发，选择一个最短的路径走，这样一步一步走下去，最后就能到达B点了。
贪心算法基本步骤
贪心算法基本步骤贪心算法是一种非常常用的算法思想，广泛应用于算法设计中。
本文将介绍贪心算法的基本步骤、实现方式、应用场景以及优缺点。
一、基本步骤贪心算法的基本步骤可概括为：定义最优解的性质->利用贪心策略获得局部最优解->将局部最优解合并成一个整体最优解。
具体来说，一般包括以下几个步骤：1. 确定问题的最优解性质：要知道问题的最优解应该具有怎样的性质或特征，这些性质可以用于判断一个解是否符合规则或结果是否符合要求。
2. 构造候选解集：根据最优解的性质，不断构造可行的候选解集合，并通过一定的方法筛选出其中的解。
3. 选择最优解：从候选解集中选择一个最优解。
4. 验证最优解：通过验证最优解是否合法（满足约束条件）以及是否为问题的最优解，来验证贪心策略的正确性。
二、实现方式贪心算法的实现方式是比较灵活的，有些问题可以通过贪心策略来解决，有些则不行。
一般而言，如果问题的最优解具有贪心选择性质（即每一步的局部最优解能导致全局最优解），则采用贪心策略是可行的。
对于一些场景，我们可以通过规律来得到贪心策略。
例如：1. 集合覆盖问题：从未被覆盖的地方中选择一个覆盖点集最大的点，并删除所有覆盖的集合；2. 分数背包问题：选择性价比最高的物品，先吸纳尽量多的物品，再考虑其他物品。
三、应用场景1. 背包问题：针对背包问题和其变种，常见的贪心策略有分数背包（与完全和01背包有区别）和完全背包问题；2. 活动安排问题：在一些课程、项目或活动间选择，使得能够安排最多活动；3. 区间选择问题：在一些区间间选择相互不重叠的区间，使得能够选出最大的区间数；4. 集合覆盖问题：在一些集合中选择最少的集合，使得能够覆盖所有元素。
四、优缺点优点：1. 算法简单：贪心算法通常比较简单，易于理解和实现；2. 运算速度快：其时间复杂度一般较低，运算速度很快；3. 可以作为其他算法的优化：贪心策略可以应用于其他算法的优化中。
缺点：1. 不一定能够得到最优解：贪心策略仅考虑当前的局部最优解，对于全局最优解可能产生影响；2. 单一性：贪心算法的结果是唯一的，难以应对变化条件的需要，一旦局部最优解不满足当前的情况，算法就会失去原先的效果；3. 实现困难：对于有些问题，贪心算法并不是很好实现，涉及到更多的问题分析和模型的构造。
贪心算法(陈鹏)
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2、贪心算法的特点
[贪心算法解题的一般步骤] 1、设计数据找规律 2、进行贪心猜想 3、正确性证明（严格证明和一般证明） ·严格证明：数学归纳和反证法 ·一般证明：列举反例 4、程序实现
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JSOI201——纪念品分组（NOIP2007普及组）
[输入输出样例] 输入： 输出： 100 6 9 90 20 20 30 50 60 70 80 90
若无法证明, 此步骤可缺省
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2、贪心算法的特点
[典型的贪心算法简介] 贪心策略在树和图论中有着极其重要的应用，Prim、 Kruskal、Huffman等体现“贪心”思想的算法更是广泛地 应用于树与图的处理。 下面介绍一种利用“贪心”思想的算法——哈夫曼 （Huffman）树。
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1、贪心概念
[求解这类问题的方法] 1、搜索 最原始的方法是搜索（穷举）法。当然，为了尽快搜 索出解，我们往往会利用限制条件进行可行性判断剪枝， 或利用目标函数的上界（或下界）进行分枝定界。 2、动态规划 第二种解决此类问题的方法是动态规划。当然，使用 动态规划必须要满足一些条件，如无后效性和最优子结构 等等。
贪心算法知识点总结
贪心算法知识点总结1. 基本原理贪心算法的基本原理是每一步都选择当前状态下的最优解，以期望最终得到全局最优解。
具体来说，贪心算法通常可以分为以下几个步骤：1）从问题的某个初始解出发2）采用一种迭代的方式，逐步将初始解进行优化3）每一步都是基于当前状态的最优选择来进行优化4）直到无法再进行优化，得到问题的最优解由于贪心算法每一步都要选择局部最优解，因此贪心算法通常具有高效性。
然而，贪心算法并不适用于所有问题，其结果不一定是全局最优解。
因此，在使用贪心算法时需要注意问题的特性和约束条件，以免得到错误的结果。
2. 适用情况贪心算法通常适用于满足以下条件的问题：1）问题的最优解满足“最优子结构”性质：即问题的最优解包含了其子问题的最优解2）问题的求解过程具有“贪心选择性”：即每一步都选择当前状态下的最优解，并不需要考虑未来的后果3）问题的约束条件可以通过局部最优选择满足全局最优解：即问题的解空间中存在一些局部最优解，可以通过一系列的局部最优解构建全局最优解在实际应用中，贪心算法通常用于求解最优化问题，如最小生成树、最短路径、任务调度等问题。
由于贪心算法的高效性，它通常能够在较短的时间内得到较为接近最优解的结果。
然而，贪心算法并不适用于所有问题，对于一些问题，贪心算法将得到错误的结果。
因此，在使用贪心算法时需要谨慎选择问题类型和约束条件，以避免错误的结果。
3. 贪心算法实例在下面的部分，我们将介绍一些常见的贪心算法实例，包括背包问题、活动安排问题、霍夫曼编码等。
3.1 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，它包括0-1背包问题、分数背包问题等多种类型。
在0-1背包问题中，给定n种物品和一个容量为C的背包，每种物品i的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的情况下，如何选择物品放入背包，可以使得背包中的总价值最大。
对于0-1背包问题，贪心算法通常不能得到最优解。
然而，在分数背包问题中，贪心算法通常可以得到近似的最优解。
贪心算法的概念和适用条件
贪心算法的概念和适用条件什么是贪心算法？贪心算法（Greedy Algorithm）是一种以局部最优解为导向的算法思想，通过每一步选择当前状态下的最佳操作来达到整体最优解的目标。
贪心算法的核心思想是每次都做出当前看来最优的选择，以期望能够达到整体的最优解。
贪心算法通常用于一些问题中，即每一步的选择只依赖于当前状态，而不考虑将来可能出现的情况。
贪心算法的适用条件：1. 贪心选择性质：贪心算法每一步都选择一个当前的最优解，此处的“最优”指的是局部最优。
这种最优选择可以确保问题能够被拆解，并且进行下一步求解。
2. 最优子结构性质：当问题的整体最优解能够通过局部最优解得到时，可以采用贪心算法求解。
这种情况下，问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 无后效性：贪心算法选择某一步操作时，只考虑当前状态，不会改变以前的操作，并且不关心未来的操作。
这种无后效性使得贪心算法在实际应用中操作简单、效率高。
贪心算法的基本步骤：1. 确定问题的局部最优解：贪心算法的核心是每一步都选择在当前情况下的最优解。
因此，需要确定问题如何拆解以及如何进行局部最优选择。
2. 定义问题的子问题：根据问题的最优子结构性质，将问题拆解为较小规模的子问题。
子问题应该是原问题的一个更小、更简单的实例。
3. 定义贪心选择策略：根据问题的特性，确定当前步骤下的最优选择策略。
这个选择应该是局部最优的，可以在不考虑子问题和整体未来状态的情况下得出。
4. 重复执行步骤2和3，直至求解出全局最优解。
贪心算法的优缺点：贪心算法具有简单易懂、快速高效的特点，适用于许多实际问题。
它可以避免穷举所有可能性，节省了计算时间。
此外，贪心算法常常能够找到近似最优解，尽管不一定能够保证全局最优解。
在实际问题中，近似最优解也往往可以满足实际需求。
然而，贪心算法并非适用于所有问题。
由于贪心算法只考虑当前状态的最优选择，而不考虑未来的影响，因此可能会导致局部最优解与全局最优解不一致。
贪 心 算 法
贪心算法及几个常用的例题贪心算法：一、基本概念：所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。
必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。
二、贪心算法的基本思路：1.建立数学模型来描述问题。
2.把求解的问题分成若干个子问题。
3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
三、贪心算法适用的问题贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。
实际上，贪心算法适用的情况很少。
一般，对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可做出判断。
四、贪心算法的实现框架从问题的某一初始解出发；while （能朝给定总目标前进一步）利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；由所有解元素组合成问题的一个可行解；五、贪心策略的选择因为用贪心算法只能通过解局部最优解的策略来达到全局最优解，因此，一定要注意判断问题是否适合采用贪心算法策略，找到的解是否一定是问题的最优解。
几个经典的例子：一、定义什么是贪心算法呢？所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来最好的选择。
也就是说，不从整体最优解出发来考虑，它所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题都能产生整体最优解或整体最优解的近似解。
贪心算法的基本思路如下：1. .建立数学模型来描述问题。
2. 把求解的问题分成若干个子问题。
3. 对每个子问题求解，得到每个子问题的局部最优解。
4. 把每个子问题的局部最优解合成为原来问题的一个解。
贪心算法及其应用
贪心算法及其应用近年来，随着科技的发展和数据的爆炸式增长，优化问题成为了研究的热点。
在高效解决各种优化问题中，贪心算法发挥了重要作用。
本文将介绍贪心算法的定义、特点、优缺点及其常见应用。
一、什么是贪心算法贪心算法是一种常见的算法方法，通过贪心策略来求解问题的最优解。
其思想是在每一个阶段上，选择当前最优解的策略，最终得到的就是问题的最优解。
二、贪心算法的特点贪心算法具有以下特点：1、局部最优解一定是全局最优解的一个组成部分；2、求解过程中不需要回溯；3、贪心算法具有高效性，时间复杂度低。
三、贪心算法的优缺点1、优点贪心算法具有简单、高效等优点。
对于那些没有明确要求最优解的问题，贪心算法是一个不错的选择。
2、缺点贪心算法的局限性在于，有些问题不能用贪心策略求得最优解。
因为每一步选择的最优解并不一定能导致全局最优解。
此外，贪心算法需要注意到问题的结构性质，否则可能做出错误决策。
四、贪心算法的应用1、背包问题背包问题是一个最经典的贪心算法应用场景。
在这个问题中，我们需要将一组物品放到一个容器中。
每个物品有一个权值和一个体积。
容器有一个最大承载体积，求容器可以承载的最大权值。
使用贪心算法在背包问题中是具有局限性的。
但是，在有些情况下，贪心策略是可行的。
例如在只考虑单个维度时，贪心算法以效率极高的速度求得其最优解。
2、最小生成树最小生成树问题是一个常见的求解问题。
其问题的目标是在一张图中找到一棵生成树，该树的所有边权之和最小。
在这个问题中，我们采用贪心策略选择当前最优边并添加到生成树中，以此来求得最优解。
3、哈夫曼编码哈夫曼编码是一种广泛应用的数据压缩算法。
其通过根据字符出现频率选择具有最小权值的二叉树节点，最终构建出哈夫曼树，以此来表示字符的编码信息。
使用哈夫曼编码可以实现对数据的高效压缩和解压缩。
4、调度问题在调度问题中，我们需要找到一种方案，让若干任务在满足约束条件的前提下，以最短的时间完成。
例如，在机器调度问题中，我们需要为不同机器安排任务以最小化整体完成时间。
贪心算法的原理是
贪心算法的原理是
贪心算法是一种求解最优问题的常用算法思想，其基本原理是在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望最终得到全局最优解。
贪心算法的主要特点是局部最优策略同时也是全局最优策略。
贪心算法通常包含以下步骤：
1. 确定问题的最优子结构：即问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解来达到。
这是贪心算法的基础，也是保证贪心选择性质的关键。
2. 构造贪心选择：通过局部最优策略来构造每一步的最优解，不考虑前面步骤的选择是否能够达到全局最优。
3. 解决子问题：将子问题缩小，通过递归或迭代的方式求解。
4. 合并子问题的解：将子问题的解合并起来，形成原问题的解。
贪心算法的正确性依赖于贪心选择性质和最优子结构性质。
贪心选择性质指的是，通过局部最优解就可以推导出全局最优解。
最优子结构性质指的是，问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解来达到。
贪心算法的应用广泛，常见的问题包括：
1. 找零钱问题：给定一些面额不同的硬币和一个总金额，如何用最少数量的硬币凑出总金额。
2. 区间调度问题：给定一些活动的开始时间和结束时间，如何安排活动使得参加的活动数量最多。
3. Huffman编码问题：如何用最短的编码长度来表示一个给定概率分布的字符集。
虽然贪心算法通常能够在很短的时间内找到一个解，但并不是所有问题都适合使用贪心算法。
贪心算法不能保证得到最优解，只能保证得到一个近似最优解。
因此，在使用贪心算法解决问题时需要根据具体问题的特性来判断是否适合使用贪心算法。
贪心算法的应用
贪心算法的应用贪心算法是一种经典的算法思想，它在解决一些优化问题时具有很高的效率和实用性。
本文将介绍贪心算法的原理和应用，并以实际场景为例，详细讲解贪心算法的实施过程。
一、贪心算法简介贪心算法是一种基于贪心策略的算法思想，即每一步都选择当前最优解，以期望最终能够达到全局最优解。
它的核心思想是通过不断地做出局部最优选择，从而达到全局最优。
贪心算法通常适用于满足“最有子结构性质”的问题，即通过局部最优解来推导出全局最优解。
二、贪心算法的应用场景贪心算法的应用非常广泛，以下将介绍几个常见的应用场景。
1. 零钱找零问题假设我们需要找零n元，而手上只有面额为1元、2元、5元的硬币若干。
为了找零的硬币数量最少，我们可以采用贪心算法的思想：每一步选择面额最大的硬币，再找零，直到找够n元为止。
2. 区间调度问题给定一个由n个区间组成的集合，每个区间都有一个起始时间和结束时间，我们的目标是在不重叠的前提下，尽量多地选择区间。
解决这个问题的贪心策略是选择结束时间最早的区间，再继续选择剩余区间中结束时间最早的区间，依次类推。
3. 最优装载问题假设有一批货物和一个固定容积的仓库，每个货物有自己的体积和价值。
我们的目标是在仓库容积有限的情况下，选择部分货物使得总价值最大化。
贪心算法可以通过按单位价值排序，每次选择价值最高的货物进行装载，直到仓库容量不足为止。
三、贪心算法的实施过程以区间调度问题为例，介绍贪心算法的实施过程。
1. 首先，将所有区间按照结束时间进行排序。
2. 初始化一个空的结果集res，将第一个区间加入res中。
3. 从第二个区间开始遍历，若当前区间的起始时间大于等于res中最后一个区间的结束时间，则将该区间加入res中。
4. 遍历完所有区间后，res中存放的就是最优解。
通过上述过程，我们可以得到最大化选择的不重叠区间集合，从而解决了区间调度问题。
四、贪心算法的优缺点贪心算法的优点是简单、高效，可以快速地得到一个近似最优解。
贪心算法设计及其实际应用研究
哈尔滨师范大学学年论文题目关于贪心算法研究学生***指导教师年级2009级专业计算机科学与技术系别计算机科学与技术学院计算机科学与信息工程学院哈尔滨师范大学年月论文提要为满足人们对大数据量信息处理的渴望，解决各种实际问题，计算机算法学得到了飞速的发展。
设计一个好的求解算法更像是一门艺术而不像是技术。
当一个问题具有最优子结构性质和贪心选择性质时，贪心算法通常会给出一个简单、直观、高效的解法。
贪心算法通过一系列的选择来得到一个问题的解。
它所作的每一个选择都是在当前状态下具有某种意义的最好选择，即贪心选择；并且每次贪心选择都能将问题化简为一个更小的与原问题具有相同形式的子问题。
尽管贪心算法对许多问题不能总是产生整体最优解，但对诸如最短路径问题、最小生成树问题，以及哈夫曼编码问题等具有最优子结构和贪心选择性质的问题却可以获得整体最优解。
而且所给出的算法一般比动态规划算法更加简单、直观和高效。
贪心算法设计及其实际应用研究***摘要：在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。
从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。
贪心算法所作的选择可以依赖于以往所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解，因此贪心算法与其它算法相比具有一定的速度优势。
如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。
本文讲述了贪心算法的含义、基本思路及实现过程，贪心算法的核心、基本性质、特点及其存在的问题。
并通过贪心算法的特点举例列出了以往研究过的几个经典问题，对于实际应用中的问题，也希望通过贪心算法的特点来解决。
关键词：贪心算法；哈夫曼编码；最小生成树；多处最优服务次序问题；删数问题一、贪心算法的基本知识概述（一）贪心算法的核心贪心算法的核心问题是选择能产生问题最优解的最优度量标准，即具体的贪心策略。
贪心算法
6.贪心方法模型
a.工程计划模型 b.部分背包与每步最优 c.构造贪心算法
a.工程计划模型
我们常常碰到这样的问题：完成一个工程需
要若干个步骤，每个步骤都有若干种方法， 图示—— 步骤a 步骤b 步骤c ... 步骤n 方法b1 方法c1 方法a1 方法b2 方法c2 方法n1 方法a2 方法b3 方法c3 方法c4
种树问题：一条街道分为n个区域（按1-n编号）， 每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区 域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要 求且种树最少的方案。 算法构造： 1.对于要求，以区间右端（升序）为首要关键字， 左端（升序）为次要关键字排序。 2.按排好的序依次考察这些要求，若未满足，则在 其最右端的区域种树，这时可能会满足多个要求。 证明思路：解法并不唯一，关键是证明没有比该解 法更好的解法。按步骤1排序之后，会发现对于每 个要求，在最右边的区域内种树所得的结果总不会 差于在其他区域种树。至于为什么这样排序，留给 你——读者们思考吧。
每个方法有一个权值（如效率、质量），其大小往 往和其他步骤中选取的方法有关。有些时候权值无 意义，表示方法不可选择。要求给出一个方法组合， 是权值和最大。 在这里，暂且把它称作“工程计划”。很多实际问 题都可以归纳为这个模型。 对于不同形式的工程计划，我们有不同的解法。 若权值与整个过程或前后步骤的方法选择都有关， 我们使用搜索算法——时间复杂度高得吓人。 若每个权值只与上（或下）一步或少数几步的方法 选择都有关，我们使用动态规划——有比较高的效 率，在下一章会讲到。 若每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系，我 们使用贪心方法。
算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n）， v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。 我们用贪心算法，按照从左到右的顺序移动纸牌。 如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s 加1），分两种情况移动： 1．若a[i]>v，则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆； 2．若a[i]<v，则将v-a[i]张从第I+1堆移动到第I堆。 为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将 a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v. 在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出 现第I+1堆的纸牌小于零的情况。
算法导论-贪心算法
算法导论——贪心算法求解最优化问题的算法通常需要经过一系列的步骤，在每个步骤都面临多种选择。
对于许多最优化问题，使用动态规划算法来求最优解有些杀鸡用牛刀了，可以使用更简单、更高效的算法。
贪心算法(greedy algorithm)就是这样的算法，它在每一步都做出当时看起来最佳的选择。
也就是说，它总是做出局部最优的选择，寄希望这样的选择能导致全局最优解。
本章介绍一些贪心算法能找到最优解的最优化问题。
贪心算法并不保证得到最优解，但对很多问题确实可以求得最优解。
我们首先在16.1节介绍一个简单但非平凡的问题—活动选择问题，这是一个可以用贪心算法求得最优解的问题。
首先考虑用动态规划方法解决这个问题，然后证明一直做出贪心选择就可以得到最优解，从而得到一个贪心算法。
16. 2节会回顾贪心方法的基本要素，并给出一个直接的方法，可用来证明贪心算法的正确性。
16. 3节提出贪心技术的一个重要应用:设计数据压缩编码(Huffman编码)。
在16. 4节中，我们讨论一种称为“拟阵"(matroid)的组合结构的理论基础，贪心算法总是能获得这种结构的最优解。
最后，16. 5节将拟阵应用于单位时间任务调度问题，每个任务均有截止时间和超时惩罚。
贪心方法是一种强有力的算法设计方法，可以很好地解决很多问题。
在后面的章节中，我们会提出很多利用贪心策略设计的算法，包括最小生成树(minimum-spanning-tree)算法(第23章)、单源最短路径的djikstra算法(第24章)，以及集合覆盖问题的Chvatal贪心启发式算法(第35章)。
最小生成树算法提供了一个经典的贪心方法的例子。
16.1 贪心选择假如我们无需求解所有子问题就可以选择出一个活动加人到最优解，将会怎样?这将使我们省去递归式(16. 2)中固有的考查所有选择的过程。
实际上，对于活动选择问题，我们只需考虑一个选择:贪心选择。
对于活动选择问题，什么是贪心选择?直观上，我们应该选择这样一个活动，选出它后剩下的资源应能被尽量多的其他任务所用。
贪心算法-例题讲解
贪⼼算法-例题讲解前⾔：此博客在写作过程中参考了⼤量资料和博客，不能⼀⼀列举，还请见谅。
概述贪⼼法：从问题的某⼀个初始状态出发，逐步构造最优解从⽽向⽬标前进，并期望通过这种⽅法产⽣出⼀个全局最优解的⽅法贪⼼是⼀种解题策略，也是⼀种解题思想，⽽不是算法贪⼼策略与其他算法的区别贪⼼与递推：贪⼼法推进每⼀步不依据某⼀固定的递推式，⽽是当前看似最佳的贪⼼决策，不断的将问题归纳为更加⼩的相似的⼦问题贪⼼与动态规划：贪⼼是“⿏⽬⼨光”；动态规划是“统揽全局”贪⼼法的优缺点优点：思维复杂度低、代码量⼩、运⾏效率⾼、空间复杂度低等缺点：很难找到⼀个简单可⾏并且保证正确的贪⼼思路贪⼼算法的应⽤贪⼼算法的常⽤范围有明显的贪⼼可证明贪⼼策略的贪⼼(最常见的)贪⼼数据结构:堆/Kruskal/Prim/Dijkstra博弈/游戏策略，这些策略⼤多是贪⼼求较优解或多次逼近求最优解⼏个简单的贪⼼例⼦最优装载问题：给n个物体，第i个物体重量为wi，选择尽量多的物体，使得总重量不超过C贪⼼策略：先拿轻的部分背包问题：有n个物体，第i个物体的重量为wi，价值为vi，在总重量不超过C的情况下让总价值尽量⾼。
每⼀个物体可以只取⾛⼀部分，价值和重量按⽐例计算贪⼼策略：先拿性价⽐⾼的乘船问题：有n个⼈，第i个⼈重量为wi。
每艘船的载重量均为C，最多乘两个⼈。
⽤最少的船装载所有⼈贪⼼策略：最轻的⼈和最重的⼈配对例题(基础)1.删数问题-【问题描述】键盘输⼊⼀个⾼精度的正整数n（n<=240位）,去掉其中任意s个数字后剩下的数字按照原来的次序将组成⼀个新的正整数。
编程对给定的n和s,寻求⼀种⽅案,使得剩下组成的新数最⼩。
贪⼼策略为：每⼀步总是选择⼀个使剩下的数最⼩的数字删去，即按⾼位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删除最后⼀个数字，否则删除第⼀个递减区间的⾸字符。
然后回到串⾸，按上述规则再删除下⼀个数字。
重复以上过程s次，剩下的数字串便是问题的解了。
贪心算法的实验原理
贪心算法的实验原理贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它在每个步骤中选择局部最优解，最终希望得到全局最优解。
因为贪心算法只关注当前局部最优解，而不考虑未来可能发生的变化，因此不一定能够得到全局最优解。
贪心算法的实验原理是通过对每个部分的最优或局部最优解做出选择，最终以得到全局最优解为目的进行优化的算法。
它在每个步骤中都尽可能地选取当前最优的选择，希望通过每一步的最优选择，实现最终结果的最优化。
在实现贪心算法时，需要明确贪心策略以及贪心策略的正确性，以保证算法能够得出正确的结果。
贪心算法的正确性可以通过以下几个方面来分析：1. 子问题的最优解能够推出原问题的最优解。
这意味着每个子问题都是局部最优解，并且子问题之间相互独立，不会互相影响。
2. 贪心策略能够保证每个步骤选取的局部最优解是全局最优解的一部分。
具体来说，每个步骤的最优解都应该满足贪心选择性质和最优子结构性质。
3. 贪心算法的选择性质和最优子结构性质都可以通过归纳法来证明。
对于选择性质，假设最终结果不是局部最优解的组合，而是由不同的选择组成的组合。
我们可以证明，将任意一个非局部最优选择替换为其局部最优选择，最终结果仍然是全局最优解。
对于最优子结构性质，假设设子问题的最优解可以推导出原问题的最优解。
我们可以证明，当我们将一个子问题的最优解与另一个子问题的最优解组合在一起时，可以得到原问题的最优解。
贪心算法与动态规划算法都可以用于求解优化问题。
与动态规划算法相比，贪心算法常常更快、更简单，但其结果有时并不一定是最优的。
对于某些优化问题，贪心算法可以得到与动态规划算法相近甚至相等的结果，但对于某些问题，贪心算法则难以得到全局最优解。
贪心算法
max vi xi
i 1
n
于是，背包问题归结为寻找一个满足约束条 件式，并使目标函数式达到最大的解向量X=(x1, x2, …, xn)。
至少有三种看似合理的贪心策略： （1）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快 地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得 了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得 太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保 证目标函数达到最大。 （2）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可 能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然 每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价 值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达 到最大。 （3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值 增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。
算法
main( ) { int i,j,n,GZ,A； int B[8]={0,100,50,20,10,5,2,1},S[8]; input(n); for(i=1;i<=n;i++) { input(GZ); for(j=1,j<=7;j++) { A=GZ/B[j]; S[j]=S[j]+A; GZ=GZ-A*B[j];} } for(i=1;i<=7;i++) print(B[i], “----”, S[i]); }
∞ b 4 0 a 8 h ∞ 4 b 4 0 a 8 h 8 11 7 11 7
8 ∞ i 6 1 2
∞ c
7
∞ d 14 9 e ∞ 10
4 g ∞
2
f ∞
(a)
8 ∞ i 6 1 g ∞ 2 4 f ∞ ∞ c 7 ∞ d 14 9 e ∞ 10 2
贪心法求解活动安排问题的关键是如何选择贪心策略，使 得按照一定的顺序选择相容活动，并能安排尽量多的活动。至 少有两种看似合理的贪心策略： （1）最早开始时间：这样可以增大资源的利用率。 （2）最早结束时间：这样可以使下一个活动尽早开始。
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求节点1到节点6的最短路径。用贪心法得19，而实际为17。
显然贪心算法不能对所有问题都能得到最优解,但是对很多问题(包括很多著名的问题）都能产生整体最优解。例如，我们今天要讲的图的单元最短路径问题、最小生成树问题。在有些情况下,算法不能得到整体最优解,但是结果确是最优解的很好近似。
8．1.２贪心选择性质
对于任意一个顶点 ，假如我们使用 表示源顶点到顶点 的最短路径，最后，我们可以证明上述的贪心法结束后有 。
三、算法DIJＫSTRA
输入:含权有向图G＝(V，Ｅ)， V＝{1，２,…ｎ}
输出:Ｇ中顶点1到其他顶点的距离
1. ; ；
２. For y←2 to n
If y相邻于１ tｈen
Eｌsｅ ;
End if
√对于情形(Ａ)，
算法要求
归纳假设
二、算法思想
开始时，我们将所有的顶点划分为两个集合 。所有已经计算好的顶点存放在 中, 中表示还没有计算好的。 中的每个顶点 有一个对应的量 ，该值是从源顶点到 （并且只经由 中的顶点)的最短路径值。
（1）下面就是选择一个 最小顶点 ,并将其ห้องสมุดไป่ตู้动到 中。
（2）一旦 被从 移动到 中， 中每个和 相邻的顶点 的 都要更新：表示经由 到 的一条更短的路径被发现了。
（手工解该题目）
算法的详细实现:
（1）有向图用邻接表来表示 如图
（2）假设每条边是非负的
（3）Ｘ和Y集合用两个向量来表示X［１..n] ,Ｙ［1..n]。初始时X[1]=1,Y［１]＝0.并且对于２<=i<＝ｎ, X[i］=0,Y[i］=1. 因此，执行 的操作,就是X［y]=1, 的操作就是,Y[y］=0。
五、证明
下面来证明，使用该DIＪKＳTRＡ方法得到的是最优解,也就是 。其中， 表示源顶点到顶点 的最短路径； 是从源顶点到 （并且只经由 中的顶点)的最短路径值。
证明: 归纳法
（1）显然
（2）假设,当前将 移动到 中，并且在 之前移动到 中的任何一个顶点 ，都有 。由于 是有限的,也就是说必定存在一条从１到 路径,长度为 (我们需要来证明 ）。
那么这条路径总可以写作：
:1→[ ］→[ ]→。。。→［ ]→[ ]→[ ]→ｙ
在上述序列中，我们总是可以找到一个顶点,不妨称之为 （ ),使得 之后的顶点均属于 ,并且x是在y前最迟离开Ｙ的顶点。所以有以下两种情形:
1→[ ]→［ ]→。。。→［ ]→[x ]→y (A)
或是
1→[ ]→[ ]→。。。→[ｘ ]→[ ]…→y (B)
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来达到,即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素．也是贪心算法与动态规划算法的主要区别：
动态规划算法：每步所做出的选样往往依赖于相关子问题的解,因而只有在解出相关子问题后．才能做出选择。
贪心算法：仅在当前状态下做出最好选样，即局部最优选则。然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。贪心算法所做出的贪心选则可以依赖于以往做过的选则，但决不依赖于将来所做的选样,也不依赖于子问题的解。
８.3单源最短路径问题(狄斯奎诺Ｄijkstrａ’ｓ算法)
一、问题描述
是一个有向图，每条边上有一个非负整数表示长度值，其中有一个顶点 称为源节点。所谓的单源最短路径问题就是:求解该源节点到所有其它节点的最短路径值。不失去一般性，我们假设 并且 ＝1。那么该问题可以使用Dｉjｋｓｔrａ’s算法来求解，该算法是一种贪心算法，并且能求得最优解。
6. ｅｎd for
7. for ｊ←1 tｏ n-1
8. 令 ，找到最小
9. Ｘ←Ｘ∪{y} ／*将 从 移动到 中
10 Y←Ｙ-{y}
For 每条边{y，ｗ}
If w∈Ｙ and +lengｔh[y，w]＜ then
/＊更新 中和 相邻顶点的 值
14.enｄfor
15.end ｆor
四、举例说明:
通常是：先拿两个2角5分的＋1个一角+3个一分
这种找法所拿出的硬币个数最少。这种算法其实就是贪心算法。顾名思义:该算法总是作出在当前看来最好的选择,并且不从整体上考虑最优问题,所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。
上面的解法得到的恰好也是最优解。因此，贪心方法的效率往往是很高的。
假如，面值有一角一分、五分和一分，要找给顾客一角五分。如果还是使用上述贪心算法,得到的解是：一个一角一分+4个一分。而最优解是3个５分。
动态规划：是自底向上的方法解各子问题；
贪心算法:是自顶向下的方法。每做出一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题.
使用贪心法的难点在于:证明所设计的算法确实能够正确解决所求解的问题。即对于一个具体的问题，必须证明每一步所做出的贪心选择最终导致问题的整体最优解。
首先,考察问题的一个整体最优解，并证明可修改这个最优解,使其以贪心选择开始。做出贪心选择后.原问题简化为规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法证明、通过每一步做贪心选择.最终可得到问题的整体最优解。
第八章－贪心算法
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ﻩ
第8章 贪心算法
８.1简介
８．1.1例子
例子: 有4种硬币，面值分别为2角5分、一角、五分和一分。现在要求以最少的硬币个数找给顾客６角三分。
背包问题：
给定ｎ种物品 和一个背包,物品i的体积为 ，价值为 。已经知道背包的承重量为C。
假设 是物体i被装入背包的部分， ；要求装满背包且背包内物体价值最大。
mａx
选择方法：目标函数的值增加最快，而包载容量的消耗较慢的物体装入包中。故优先选择价值体积比最大的物体装入背包。
背包与０-1背包的区别：
结论0-1背包问题能用动态规划法解,但不能用贪心法解。
其中，证明贪心选择后的问题简化为规模最小的类似子问题的关键在于利用该问题的最优子结构性质。
最优子结构性质:当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时,称此问题具有最优子结构性质。
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质,这是两类算法的一个共同点。但是都具有最优子结构的问题该选则贪心法还是动态规划算法求解?是否能用动态规划法的也能用贪心算法解？