26_指数与指数函数

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《指数函数》课件

应用广泛
指数函数是数学、物理、金融、生物、化学等领域中的重要概念，可应用于许多实际问题。
引领未来
了解和熟练掌握指数函数是探索自然、认识世界和关注未来的重要个人能力。
指数函数的导数可以通过导数公式进行易解，使得它在实际应用中更加方便。
指数函数和常见函数的比较
对数函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们在实际应用中经常一同出现。
幂函数
幂函数是与指数函数类似的一般形式函数，但其中自变量与常数的次数可以不相等。
三角函数
三角函数是解析几何和物理学中不可缺少的一部分，它们与指数函数密切相关的。
指数增长可以应用于股票、金融市场的分析，为财务规划和决策提供参考。
人口增长中的指数增长
应用于人口、社会发展的研究，探索城市规划、资源分配等关键问题。
指数函数的特性
1 指数增长特性
指数函数的特殊增长和减小特性使得它在许多现象中都有着广泛的应用。
2 图像特性
3 求导特性
指数函数的图像特性是理解和应用指数函数的关键，因此必须加以理解。
指数函数PPT课件
欢迎来到《指数函数》PPT课件，我们将探讨指数函数的定义、性质和应用。让我们开始吧！
指数函数是什么？
定义
指数函数的数学表达式是 $f(x)=a^x$，其中$a$是常数， $x$是自变量，$a>0$且 $a≠1$。
图像
当$a>1$时，函数增长迅速，当$0<a<1$时，函数递减，特殊情况：$a=1$时，函数值恒为1。
基于指数函数的优化算法可以在数学和计算机应用领域中得到广泛应用。
梯度下降算法
梯度下降算法是使用最广泛的优化算法之一，它可以运用于指数函数的数据建模。

指数函数课件

通过判断指数函数在某一点处的左极限、右极限及该点处的函数值是否相等，来确定该函数在该点处是否连续。
03
指数函数的应用举例
指数函数在经济学中的应用
01
02
03
复利计算
指数函数可以描述资金在固定利率下的复利增长情况，用于计算投资回报和贷款利息。
经济增长模型
指数函数可以模拟经济增长的趋势，如GDP、人口增长等。
指数函数和对数函数是互逆的，即如果$y = a^x$，那么$x = log_a y$。这种关系在解决某些问题时非常有用，可以将指数方程转化为对数方程进行求解。
指数函数与对数函数的图像关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线$y = x$对称。这意味着，如果我们知道一个函数的图像，就可以通过关于直线$y = x$作对称图形来得到另一个函数的图像。
解法
通过常数变易法或积分因子法求解一阶线性微分方程。对于一阶非齐次线性微分方程，可以先求出对应的齐次方程的通解，再利用常数变易法求出特解。
应用在物理学、工程学等领域中，许多问题都可以转化为一阶线性微分方程进行求解，如电路分析、热力学等。
THANK YOU
感谢聆听
除法运算
同底数的指数函数相除时，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)，同时需注意除数不能为0。
指数函数的复合运算
80%
复合函数的定义
指数函数与其他函数复合而成的函数，如f(g(x))，其中f(x)和g(x)均为指数函数。
100%
复合函数的运算规则
根据复合函数的定义，遵循“由内到外”的运算顺序，先计算内层函数值，再将其代入外层函数中计算。
03
定点
指数函数的图像都经过点 $(0,1)$。

备战2025年高考文科数学考点一遍过：指数与指数函数

指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n 次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)mnaa m n n =>∈>N 且.于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质：①(0,,)r sr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ；③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q .（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.二、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质01a <<1a >图象定义域R值域(0,)+∞奇偶性非奇非偶函数对称性函数y =a −x 与y =a x 的图象关于y 轴对称过定点过定点(0,1)，即0x =时，1y =单调性在R 上是减函数在R 上是增函数函数值的变化情况当0x <时，1y >；当0x >时，01y <<当0x >时，1y >；当0x <时，01y <<底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数u y a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1化简并求值：（1）29334825125-⨯（23232411113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab.【解析】（1）)922923343103343221825255252125----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（211223233543232331411271111233333342a b a b a b ab a b a ab b ab a b a b a b a b ---⎛⎫⋅ ⎪⋅⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭.【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．()2213021273(2)2=482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．考向二与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x －a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2．函数()2ex x f x -=的图像是A ．B ．C ．D ．考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】A【解析】对于函数2(5xy =，在其定义域上是减函数，3255> ，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <.在同一平面直角坐标系中画出函数3()5xy =和函数2()5xy =的图象，a c >.从而b c a <<.故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设110e a =，ln 2b =，1lg ec =（其中e 2.71828= 是自然对数的底数），则A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b>>D ．b a c>>典例4设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1(712a-<，即1()82a<，解得30a -<<；当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-.故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值范围，最后综合即可得出结果．4．若221m n>>，则A ．11m n>B ．1122log log m n>C ．()ln 0m n ->D ．π1m n->考向四指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论．2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5已知函数()11e 12x f x =-+，则是A ．奇函数，且在上是增函数B ．偶函数，且在0,+∞上是增函数C ．奇函数，且在上是减函数D ．偶函数，且在0,+∞上是减函数【答案】C【解析】易知函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()11e 1e 12e 12x x x f x --=-=-++，则()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，显然函数()11e 12xf x =-+是减函数.故选C ．5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝2222x x --=，单调递减，∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增，若满足题意，只需()2log 1x a +≥恒成立，即2x a +≥恒成立，∴max (2)a x ≥-，∴a ≥0.故选D ．典例7函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1(2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x+2．若函数op =2,<1−log 2s≥1，则函数op 的值域是A ．(−∞,2)B ．[0,+∞)C ．(−∞,0)∪(0,2)D ．(−∞,2]3．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12B ．13C ．14D ．237．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+C ．11x y>D ．33x y>8．已知函数()283640f x x x =-+-在[1,2)上的值域为A ，函数()2xg x a =+在[1,2)上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞9．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f 21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为A ．)41,41(-B ．21,21(-C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．函数op =log 2+1与op =2−K1在同一平面直角坐标系下的图象大致是A．B．C ．D ．11．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N<D ．M N>12．定义新运算⊗：当≥时，⊗=；当<时，⊗=.设函数=2⊗2−1⊗log 2⋅2，则在0,2上的值域为A ．0,12B ．0,12C ．1,12D ．1,1213．设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,714．已知函数2()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，则点P 的坐标为_______.15．已知13a a-+=，则1122a a -+=__________.16．已知函数y =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________．17．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．18．已知14742abc===，则111a b c-+=__________．19．若不等式−2+2+3≤21−3对任意实数都成立，则实数的最大值为________.20．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．21．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则ba =__________．22．（1）1423161)9--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）2log 351log lg ln 210025++.23．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m =，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数()242x xa af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <0，且a ≠1)的图象可能是4．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）5．（2018年高考天津卷文科）已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>6．（2018年高考新课标I 卷文科）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，7．（2017年高考北京卷）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数8．(2016年高考新课标Ⅲ卷文科)已知4213332,3,25a b c ===，则A ．b a c<-f f a ，则a 的取值范围是A ．)21,(-∞B ．),23()21,(+∞-∞ C ．)23,21(D ．),23(+∞10．（2017年高考新课标Ⅲ卷文科）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是.变式拓展1．【答案】12【解析】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：()2213021273(2)2482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2321322333=[()]2222--⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦344112992=--+=，故答案为12.2．【答案】A【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ，故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．【答案】B【解析】由题得1010ee 1a =>=，ln ln e 1,b =<=且b >0，1lg lg10ec =<=，所以a b c >>.故选B.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4．【答案】D【解析】因为221mn>>，所以由指数函数的单调性可得m n >，因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断π1m n->正确.故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5．【答案】D【解析】因为f (－x )=3－x ＋3x =f (x )，g (－x )=3－x －3x =－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数.故选D.6．【答案】B【解析】由题得1222xxa <⋅-在（0,1）上恒成立，设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=.故选B ．专题冲关1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.故选D.2．【答案】A【解析】因为<1时，2<2；≥1时，−log 2≤0，所以函数的值域是−∞,2.故选A ．3．【答案】B 【解析】由0.6x y =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<=，又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>.故选B.4．【答案】B 【解析】由函数op =(12)2−2，结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为=2−2的增区间．由二次函数的性质可得=2−2的增区间为(1,+∞).故选B ．5．【答案】A 【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞ ．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ；又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ．故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点：（1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除；（3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断．6．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，），则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--故选B ．7．【答案】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔>，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y >，但tan tan x y >不成立．对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y >成立，当11x y ==-，时，满足x y >，但22x y >不成立．对于C ，当32x y ==，时，满足x y >，但11x y>不成立．对于D ，当x y >时，33x y >恒成立.故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．8．【答案】B 【解析】因为()f x 在[1,2)上单调递增，所以[)12,0A =-，又函数()2xg x a =+在[1,2)上单调递增，于是[)2,4B a a =++.因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，故有21240a a +≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），得[]14,4a ∈--.故选B ．9．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，xx f 21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<；又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2x f x =，则不等式21)(>x f ，即122x>，解得10x -<<，所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<.故选D ．10．【答案】D 【解析】()+11122x x g x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，由指数函数的图象知，将函数=(12)的图象向左平移一个单位，即可得到op 的图象，从而排除选项A,C ；将函数=log 2的图象向上平移一个单位，即可得到op =log 2+1的图象，从而排除选项B.故选D ．11．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >，所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >.故选D ．12．【答案】C 【解析】由题意得，函数=2⊗2−1⊗log 2⋅2=2，0<<122−2，1≤<2，当∈0,1时，=2∈1,2；当∈1,2时，=22−2，令=2∈2,4，则2≤2−<12，故在0,2上的值域为1,12.故选C.13．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b+=．结合图象可得45c <<，故16232c<<．∴1822234abc<++<．故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222ab+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c<<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．14．【答案】(2,2)【解析】由题意，令2x =，可得22()12f x a -=+=，所以函数2(2)1x f a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(2,2)P .15【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a-+> ，∴16．【答案】0a ≤【解析】函数y =的定义域为R ，∴20x a -≥恒成立，即2x a ≤恒成立，20x > ，0a ∴≤，故答案为0a ≤.17．【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==，∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，又0,a >则a ．.18．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24abc===，则1121472a b-=÷=，即111113222422a ba b c--+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=.故答案为3.19．【答案】−13【解析】设op =−2+2+3，不等式−2+2+3≤21−3对任意实数都成立，只需满足op max ≤21−3即可，op =−2+2+3=−(−1)2+4⇒op max =4，所以4≤21−3⇒≤−13，因此实数的最大值为−13.20．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即b a -=，∴0a b +=．在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3．21．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1,−1)和点(0,0)，所以110a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解；当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0,−1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =．22．【答案】（1）2；（2）72【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得142316311)12944--⎛⎫-++=++= ⎪⎝⎭.（2）根据对数的运算性质，可得2log 351log lg ln 21725=212002+32-++=+．23．【答案】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340x x x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0x x -+=，30x >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈- ，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立，44tt +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值范围为4(,3-∞.24．【答案】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++，∴函数()f x 在R 上单调递增，又211x+>，∴22021x -<-<+，∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x x f x -=>+．由题意得()212221x x x mf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立，∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数，∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.∴103m ≥.故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．直通高考1．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=，331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<.故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断.3．【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.4．【答案】C【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log (log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．5．【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>.故本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．【答案】D【解析】将函数()f x的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D ．【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.7．【答案】B【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数.8．【答案】A 【解析】因为423324a ==，1233255c ==，所以根据同一坐标系中指数函数的性质可得222333345<<，即b a c <<，故选A ．（本题也可利用函数23y x =在[0,)+∞上是增函数来判断）【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．9．【答案】C【解析】由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<<.故选C.【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．10．【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.。

高中数学高考第2章 §2 6 指数与指数函数

∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
3
2
∵y＝23x 为减函数，∴
2 4 3
2 3
3
，
2
又y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，
2
2
∴
2 3 3
3 4
3
，
3
2
2
∴
2 3
4
2 3
3
3 4
3
，故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－e1x ，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是__[－__2_,_1_]_.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则
√A.ln(y－x＋1)>0
C.ln|x－y|>0
B.ln(y－x＋1)<0 D.ln|x－y|<0
设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增. 原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确. 因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
正数的正分数指数幂，a
m n
＝_n_a_m_(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
m
正数的负分数指数幂，a n＝_a__n_＝
1
(a>0，m，n∈N*，n>1).
n am
0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras＝_a_r_＋_s_；(ar)s＝_a_rs_；(ab)r＝_a_r_b_r_(a>0，b>0，r，s∈R).

指数与指数函数ppt课件

2．已知函数 f (x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为( B )
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(3,2)
D．(2,2)
【解析】 ∵a0＝1，∴当 x＝2 时，y＝3，∴图象过点(2,3)．故选 B．
3．化简4 16x4y8(x<0，y<0)＝__－__2_x_y_2 _. 【解析】 4 16x4y8＝|2xy2|，又 x<0，y<0，∴原式＝－2xy2.
第二章函数
第五节指数与指数函数
课前双基巩固
——整合知识夯实基础
『知识聚焦』 1．根式的概念及性质 (1)如果xn＝a，那么____x___叫做a的n次方根． (2)式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使n a有意义．负数没有偶次方根)． ②当n为奇数时，n an＝___a____；当n为偶数时，n an＝____|_a_| __＝a－，aa，≥a0<，0.
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f (x)＝13g(x)，由于 f (x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值 a>0，
－1，因此必有3a－ a 4＝－1，解得 a＝1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，＋∞)，应使 y＝ax2－4x＋3 的值域为 R，因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 y＝ax2－4x＋3 为二次函数，其值域不可能为 R)．
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】
(1)把
b
化简为

高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设，则的大小关系是（）.A．B．C．D．【解析】，，，因此.【考点】指数函数和对数函数的性质.2.若点在函数的图象上，则的值为．【答案】【解析】由点在函数的图象上得，所以，故应填入．【考点】指数函数及特殊角的三角函数．3.设，则下列不等式成立的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】对于A,B考查函数f（x）=2x+2x，g（x）=2x+3x的单调性与图象：可知函数f（x）、g（x）在R上都单调递增，若2a+2a=2b+3b，则a＞b，因此A正确；对于C,D分别考查函数u（x）=2x-2x，v（x）=2x-3x单调性与图象：当时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减；当时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增．故在x=取得最小值．当0＜x＜时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减；当x＞时，v′（x）＞0，函数v （x）单调递增．故在x＝取得最小值，据以上可画出图象．据图象可知：当2a-2a=2b-3b，a＞0，b＞0时，可能a＞b或a＜b．因此C,D不正确．综上可知：只有A正确．故答案为A．【考点】用导数研究函数的单调性和图象；命题的真假判断与应用．4.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以.【考点】指对数式的互化，指数运算法则.5.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图: ,即,故选B.【考点】函数图像6.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】；；。

所以，故D正确。

【考点】指数对数函数的单调性。

7.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算8.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是．【答案】【解析】设，则，因为AC平行于y轴，所以，因此.又三点三点共线，所以由得，因此.【考点】指数函数运算，向量共线.9.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.10.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（）【答案】D【解析】设初始年份的荒漠化土地面积为，则1年后荒漠化土地面积为，2年后荒漠化土地面积为，3年后荒漠化土地面积为，所以年后荒漠化土地面积为，依题意有即，，由指数函数的图像可知，选D.【考点】1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.11.若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】指数函数、对数函数的底数大于1 时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数而言，当时，在上递增，当时，在上递减，而，所以，故选C.【考点】1.指数函数；2.对数函数；3.幂函数的性质.12.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。

高三数学一轮复习26指数与指数函数PPT课件

指数幂的运算
[例 1] 求值与化简：
3 (1)2
-
1 3
1
×－670＋8 4
×4
2＋(3
2×
3)6－
－23
3 2
＝____；
(2)
3 a3
·
5 b3＝________；
5 b2
4 a3
4
1
a (3)
3
－8a 3
2
b＋23
2
ab＋4b 3
)÷1－2
3
a3
ba·3 a＝________.
[自主解答]
1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
(1)a
3
·b－1 2
1 2
·a
1 2
·b
1 3
6 ,
a·b5)；
5 (2)6a
1 3
·b－2·－3a
1 2
b－1)÷4a23·b－3
1 2
.
解：(1)原式＝a－
3 2
1
b2
1
·a
5
1 2
b
1 3
)＝＝a
1 3
1 2
1 6
·b
1 2
1 3
5 6
＝1a.
____ 当n是偶数时，正数相的反n次数方根有两
n a
零的n次
方根是零
n ± a(a>0) 负数没有
个，这两个数互为 _______
偶次方根
(2)两个重要公式：
a ，n为奇数，
①n
an＝|a|＝
a a≥0， -a a＜0，
n为偶数.
②(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．

高三数学总复习PPT课件-指数与指数函数

y=ax
a>1
图象
定义域 (-∞,+∞) 值域 (0, +∞)
第7页
0<a<1
性质
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
过定点(0,1) 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是减函数
第8页
考点训练
1.若f x ex ex , g(x) ex ex ,
迹是图中的( B )
A.线段BC和OC
B.线段AB和BC
C.线段AB和OA
D.线段OA和OC
解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其轨迹为图中线段BC,故选B.
第14页
典例研习:
题型一指数函数的图象
解题准备:指数函数图象的特点 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.
2指数函数yax与y1 ax(a0且a1)
的图象关于y轴对称 .
第15页
【.
典
例
2】
已
知
函
数
y
1 2
|x 2|
,
1作出图象 ;
2 指出该函数的单调递增区间;
3求值域.
[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.

《指数与指数函数》课件

2 特殊性质
e的值是无理数，e的倒数为0.3678… 。。
自然对数函数的定义
自然对数函数y=lnx是以常数e（约为2.7 18 2 8 ）为底数的对数函数。
自然对数函数的图像和性质
图像
性质
1 无界限性
自然对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(∞,+∞)。
2 单调递增
自然对数函数具有单调递增性质，x越大，自然对数的值越大。
对数和指数的关系
对数和指数是互为反函数的函数，可以用来互相转化，例如e^ (ln x)=x。
对数函数的图像和性质
图像
性质
1 穿过y轴
当x=1时，y=0，因此，对于任何底数a （a>0且a≠1），对数函数y=logax都穿过点（1，0）。
2 单调递增
底数大于1时，对数函数单调递增；底数小于1时函数单调递减。
对数函数的定义
对数函数是指数函数的反函数，其定义为y=logax，其中a>0且a≠1，x>0。
对数的性质
对于任意的a>0，a≠1，m 和n是正数，则有：
对数乘法公式
loga(m ·n)=logam +logan。
对数除法公式
loga(m /n)=logam −logan。
对数幂运算公式
loga(m ^ n)=nlogam 。
指数函数y=e^ x的图像是一条通过点(0,1)，从左往右逐渐增长的曲线。
指数函数的图像和性质
图像
性质
1 在零点处穿过y轴
e^ 0=1，因此该函数穿过y轴（0,1）。
2 单调递增
指数函数的导数恒大于0，因此函数单调递增。
3 无零点
指数函数无论x取多少值，其函数值都不为0。

最新教案：指数与指数函数(含解析)

指数与指数函数一、根式 1．根式的概念2．两个重要公式(1)n a n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)．二、有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．三、指数函数的图象和性质[基础自测]1．[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)．答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结：指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．变式练习1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.[例2] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ；当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C总结：1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．变式练习2．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案：(1)A (2)1[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞)在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2. 答案：2总结：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．变式练习1．(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1]课后练习A 组1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x－4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R.∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12.故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．B 组1．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

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值范围．
思想与方法
方程思想及转化思想在求参数中的应用
(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋21x＋＋ab是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
方法与技巧
1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线．当 0<a<1 时，x→＋∞， y→0；当 a>1 时，x→－∞，y→0；当 a>1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越快；当 0<a<1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快．
探究提高
指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注练 3 已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2x－21|x|. (1)若 f(x)＝32，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取
2．画指数函数 y＝ax (a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、 (0,1)、－1，1a.
3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．
性0<y2<.1值. 域： (0, ) 当x>0时,
质 3.过点 (0,1),即x= 0时,y=1y>1.
4.在R上是增函数
在R上是减函数
要点梳理
忆一忆知识要点
4.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y
y bx y cx
y ax
y dx
o x=1 x
0ba1d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
变式训练 2 (1)函数 y＝eexx＋－ee－－xx的图象大致为___①_____(填序号)．
(2)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？
指数函数的性质及应用
例 3 设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上的最大值是 14，求 a 的值．
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．
方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号n a表示．
②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，
这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号n a表示，负的 n 次方根
用符号－ n a表示．正负两个 n 次方根可以合写为± n a(a＞0)．
要点梳理
忆一忆知识要点
③( n a)n＝ a .
④当 n 为奇数时， n an＝ a ；
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝
a (a≥0)
－a (a＜0) .
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝a·a·…·a (n∈N*)．
②零指数幂：a0＝ 1 (a≠0)．
1
③负整数指数幂：a－p＝ ap (a≠0，p∈N*)．
[难点正本疑点清源] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数
幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程． 2．指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按：0<a<1 和 a>1 进行分类讨论．
指数式与根式的计算问题
例 1 计算下列各式的值．
一轮复习讲义
指数与指数函数
要点梳理
忆一忆知识要点
1．根式
(1)根式的概念
一般地，如果一个实数 x 满足 xn＝a (n>1，n∈N*)，那么称 x
为 a 的 n 次实数方根．式子 n a叫做根式，其中 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次
(1)－287
2 3
＋(0.002)
1
2－10(
5－2)－1＋(
2－
3)0；
(2) 51＋2－( 3－1)0－ 9－4 5；
a3b2 3 ab2
(3)
(a
1 4
b
1 2
)
4
a
1 3
b
1 3
(a>0，b>0)．
先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．
探究提高
根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
要点梳理
忆一忆知识要点
m
④正分数指数幂：a n ＝
n am ( a>0，m、n∈N*，且 n>1)．
a ⑤负分数指数幂：
m n
＝
1
m
an
＝
1
n am (a>0，m、n∈N*，且 n>1)．
⑥0 的正分数指数幂为 0 ,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①asat＝ as＋t ( a>0，s、t∈Q)；
(2)若函数 y＝ax＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 a、b 的取值范围是__________． (3)方程 2x＝2－x 的解的个数是________．
探究提高
(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
②(as)t＝ ast ( a>0，s、t∈Q)；
③(ab)t＝ atbt (a>0，b>0，t∈Q)．
要点梳理
忆一忆知识要点
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的性质：当x<0时, ay>>11.
y
当x>0时, 0<y<1.
0< a <1 y
图
象 y=1
(0,1)
(0,1)
y=1
o
x
o
x
当x<01时.定, 义域： (,)
变式训练 1
计算下列各式：
(1)1.5
1 3
×－760＋80.25×4
2＋(3
2×
3)6－
22 ( )3
；
3
4
1
(2)
a 3 8a 3b
2
2
a 3 23 ab 4b 3
÷1－2
3
b×3 a a
(a>0，b>0)．
指数函数的图象及应用
例 2 (1)函数 y＝x|xa|x (0<a<1)图象的大致形状是下列图形中的________．(填序号)