(完整版)线性规划案例

1.人力资源分配问题

设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？

解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,

这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

约束条件：s.t. x1 + x6 ≥60

x1 + x2 ≥70

x2 + x3 ≥60

x3 + x4 ≥50

x4 + x5 ≥20

x5 + x6 ≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0

运用lingo求解：

Objective value: 150.0000

ariable Value Reduced Cost X1 60.00000 0.000000

X2 10.00000 0.000000

X3 50.00000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 30.00000 0.000000

X6 0.000000 0.000000

例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？

解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15

x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24

x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25

x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19

x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31

x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0

lingo求解

Objective value: 36.00000

Variable Value Reduced Cost X1 12.00000 0.000000

X2 0.000000 0.3333333 X3 11.00000 0.000000

X4 5.000000 0.000000

X5 0.000000 0.000000

X6 8.000000 0.000000

X7 0.000000 0.000000

例3. 某储蓄所每天的营业时间为上午9:00到下午17:00，根据经验，每天不同时间段所需要

储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬为100元，从上午9:00到下午17:00工作，但中午12:00到下午14:00之间必须安排1小时的午餐时间；储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬为40元。问：

1) 储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？

2) 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少经费？

3) 如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少经费？

解：设x1, x2分别表示12~13，13~14进行午餐的全时服务人员，

y1，y2，y3，y4，y5分别表示9~10，10~11，11~12，12~13，13~14开始工作的半时服务人员，则问题1的模型如下所示：

min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;

x1+x2+y1>4;

x1+x2+y1+y2>3;

x1+x2+y1+y2+y3>4;

x2+y1+y2+y3+y4>6;

x1+y2+y3+y4+y5>5;

x1+x2+y3+y4+y5>6;

x1+x2+y4+y5>8;

x1+x2+y5>8;

y1+y2+y3+y4+y5<3;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5); Objective value: 820.0000

Variable Value Reduced Cost X1 3.000000 100.0000 X2 4.000000 100.0000 Y1 0.000000 40.00000 Y2 2.000000 40.00000 Y3 0.000000 40.00000 Y4 0.000000 40.00000 Y5 1.000000 40.00000

2）把y1+y2+y3+y4+y5<3；修改为y1+y2+y3+y4+y5=0；

min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;

x1+x2+y1>4;

x1+x2+y1+y2>3;

x1+x2+y1+y2+y3>4;

x2+y1+y2+y3+y4>6;

x1+y2+y3+y4+y5>5;

x1+x2+y3+y4+y5>6;

x1+x2+y4+y5>8;

x1+x2+y5>8;

y1+y2+y3+y4+y5=0;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5); Objective value: 1100.000

Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 0.000000 X2 6.000000 0.000000 Y1 0.000000 100.0000 Y2 0.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 0.000000 Y5 0.000000 100.0000

3）把y1+y2+y3+y4+y5<3；去掉

min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;

x1+x2+y1>4;

x1+x2+y1+y2>3;

x1+x2+y1+y2+y3>4;

x2+y1+y2+y3+y4>6;

x1+y2+y3+y4+y5>5;

x1+x2+y3+y4+y5>6;

x1+x2+y4+y5>8;

x1+x2+y5>8;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);