快速傅里叶变换描述
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按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
Ch.4 FFT
2018/10/28
8
4.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r ) x1 (r )
x(2r 1) x2 (r )
N =0，1，…， 1 2
r
则
X ( k ) DFT [ x ( n)] x ( n)WNnk
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
Ch.4 FFT
2018/10/28
7
4.3 按时间抽取的基2-FFT算法
授课思路
算法原理
按时间抽取基-2FFT算法与直接计算DFT运
算量的比较
按时间抽取的FFT算法的特点
Ch.4 FFT
2018/10/28
4
4.2.1 DFT的运算量
一次复数乘法： 4次实数乘法 一个X(k) ： ＋ 2次实数加法
4N次实数乘法 ＋ 2N+2(N-1)= 2(2N-1)次实数加法
所以 整个N点DFT运算共需要：
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
（3）对应的实数运算量
X (k ) x(n)W
n 0
N 1 n 0
N 1
nk N
nk nk [Re x(n) j Im x(n)][Re WN j Im WN ] n 0
N 1
nk nk {[Re x(n) ReWN Im x(n) ImWN ]
nk nk j[Re x(n) ImWN Im x(n) ReWN ]}
N 1 2
X 1 ( k ) W Nk X 2 ( k )
式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。
另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。
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k X ( k ) X ( k ) W 因此， 1 N X 2 ( k ) 只能计算出X(k)的前一半值。
谱、功率谱和线性卷积等。
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很
大时，计算量非常大，所需时间会很长。 FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 DFT的一种快速计算的算法。
Ch.4 FFT
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4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量
设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
后一半X(k) 值， N/2 ， N/2 ＋1， …，N ？
利用
可得到
rk r ( N 2k ) WN W 2 N 2
N X1 ( k ) 2
X2(
N 21
r 0
x1 (r )W
r ( N 2 k ) N 2
rk x1 (r )WN 2 X 1 (k ) r 0
N 2 1
n0
N 1
n 0 n为偶数
x(n)W
N 1
nk N
来自百度文库
n 0 n为奇数
nk x ( n ) W N
N 1
Ch.4 FFT
2 rk ( 2 r 1) k x ( 2 r ) W x ( 2 r 1 ) W N N r 0 r 0
N 1 2
N 1 2
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4.2.2 减少运算工作量的途径
nk 主要原理是利用系数 WN 的以下特性对DFT进行分解：
（1）对称性
k ( N n ) nk nk W (WN ) WN N
（2）周期性 （3）可约性 另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform)
直接计算DFT的问题及改进的途径 按时间抽取的基2-FFT算法 按频率抽取的基2-FFT算法 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
Ch.4 FFT
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4.1 引言
DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频
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DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例
N 2 N2 4 N 64 N2 4049
4
8 16
16
64 256
128
256 512
16384
65 536 262 144
32
1028
1024
1 048 576
结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号 处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算 方法，以大大减少运算次数。
N N N kN 2 ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2 2 2
k X1 (k ) WN X 2 (k )
k=0，1， …，N/2－1
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蝶形运算
X ( k ) X 1 ( k ) WNk X 2 ( k )
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
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n 0 n为偶数 N 1 2
r 0
x(n)W
N 1
nk N
2 rk ( 2 r 1) k x ( 2 r ) W x ( 2 r 1 ) W N N r 0
N 1 2 r 0
n 0 n为奇数 N 1 2
nk x ( n ) W N
N 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N N 2 N r 0 2 2
同理可得
N k ) X 2 (k ) 2
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考虑到 及前半部分X(k)
( N 2 k ) N 2 k k WN WN WN WN
X ( k ) X 1 ( k ) WNk X 2 ( k )
因此可得后半部分X(k)
X (k
k=0，1， …，N/2－1
nk X (k ) x(n)WN n 0 N 1
k=0，，…，N-1
（1）计算一个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N 复数加法次数： N－1
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4.2.1 DFT的运算量 （2）计算全部N个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N2 复数加法次数： N(N－1)
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4.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r ) x1 (r )
x(2r 1) x2 (r )
N =0，1，…， 1 2
r
则
X ( k ) DFT [ x ( n)] x ( n)WNnk
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
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7
4.3 按时间抽取的基2-FFT算法
授课思路
算法原理
按时间抽取基-2FFT算法与直接计算DFT运
算量的比较
按时间抽取的FFT算法的特点
Ch.4 FFT
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4
4.2.1 DFT的运算量
一次复数乘法： 4次实数乘法 一个X(k) ： ＋ 2次实数加法
4N次实数乘法 ＋ 2N+2(N-1)= 2(2N-1)次实数加法
所以 整个N点DFT运算共需要：
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
（3）对应的实数运算量
X (k ) x(n)W
n 0
N 1 n 0
N 1
nk N
nk nk [Re x(n) j Im x(n)][Re WN j Im WN ] n 0
N 1
nk nk {[Re x(n) ReWN Im x(n) ImWN ]
nk nk j[Re x(n) ImWN Im x(n) ReWN ]}
N 1 2
X 1 ( k ) W Nk X 2 ( k )
式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。
另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。
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k X ( k ) X ( k ) W 因此， 1 N X 2 ( k ) 只能计算出X(k)的前一半值。
谱、功率谱和线性卷积等。
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很
大时，计算量非常大，所需时间会很长。 FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 DFT的一种快速计算的算法。
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4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量
设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
后一半X(k) 值， N/2 ， N/2 ＋1， …，N ？
利用
可得到
rk r ( N 2k ) WN W 2 N 2
N X1 ( k ) 2
X2(
N 21
r 0
x1 (r )W
r ( N 2 k ) N 2
rk x1 (r )WN 2 X 1 (k ) r 0
N 2 1
n0
N 1
n 0 n为偶数
x(n)W
N 1
nk N
来自百度文库
n 0 n为奇数
nk x ( n ) W N
N 1
Ch.4 FFT
2 rk ( 2 r 1) k x ( 2 r ) W x ( 2 r 1 ) W N N r 0 r 0
N 1 2
N 1 2
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6
4.2.2 减少运算工作量的途径
nk 主要原理是利用系数 WN 的以下特性对DFT进行分解：
（1）对称性
k ( N n ) nk nk W (WN ) WN N
（2）周期性 （3）可约性 另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform)
直接计算DFT的问题及改进的途径 按时间抽取的基2-FFT算法 按频率抽取的基2-FFT算法 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
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1
4.1 引言
DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频
Ch.4 FFT
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5
DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例
N 2 N2 4 N 64 N2 4049
4
8 16
16
64 256
128
256 512
16384
65 536 262 144
32
1028
1024
1 048 576
结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号 处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算 方法，以大大减少运算次数。
N N N kN 2 ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2 2 2
k X1 (k ) WN X 2 (k )
k=0，1， …，N/2－1
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蝶形运算
X ( k ) X 1 ( k ) WNk X 2 ( k )
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )
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n 0 n为偶数 N 1 2
r 0
x(n)W
N 1
nk N
2 rk ( 2 r 1) k x ( 2 r ) W x ( 2 r 1 ) W N N r 0
N 1 2 r 0
n 0 n为奇数 N 1 2
nk x ( n ) W N
N 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N N 2 N r 0 2 2
同理可得
N k ) X 2 (k ) 2
Ch.4 FFT
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11
考虑到 及前半部分X(k)
( N 2 k ) N 2 k k WN WN WN WN
X ( k ) X 1 ( k ) WNk X 2 ( k )
因此可得后半部分X(k)
X (k
k=0，1， …，N/2－1
nk X (k ) x(n)WN n 0 N 1
k=0，，…，N-1
（1）计算一个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N 复数加法次数： N－1
Ch.4 FFT
2018/10/28
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4.2.1 DFT的运算量 （2）计算全部N个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N2 复数加法次数： N(N－1)