离散傅里叶变换及其快速算法.

或
N 1 ~y (m)~x (n m)
m0
两者 N必须相同
周期卷积
证：~f (n) IDFS
wmk N
N
1
~x (i)wNki
wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明
IDFS X~(k l) wNnl ~x(n)
时域的移位等于频域乘一个旋转因子,即一个系数; 频移也一样,只是相差一个符号
3)共轭对称性
对于复序列 ~x n 其共轭序列~x *n 满足
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这 N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只 需包含这N个复指数，
~x (n) 1 N 1 X~ (k )e j2 / N kn
N K 0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~ (k ) 。
e 将上式两边乘以
j(2 / N )rn
eN
n0
1 0
k r sN kr
上式中[ ]部分显然在0~N-1中只有当k=r时才有值为1,其他任意
k值时均为零,所以有
N
1
~x (
n)e
j
2
N
rn
X~(r)
n0
或写为
X~ (k )
N 1
~x (n)e
j
2
N
k n
n0
0 k N 1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~ (k )
2） X~ (k ) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
周期为N的正弦序列来表示。
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e j2 / N n e K次谐波序列为：k (n) e j 2 / N kn
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连 续傅氏级数的不同之处，
即
e j2 / N (kN )n e j2 / N kn
因此 ekN (n) ek (n)
IDFS X~
m) wNmk X~(k
(k l) wNnl ~x (n)
)
证因为~x (n) 及 wNkn 都是以N为周期的函数，所以有
DFS
~x (n m)
N 1 ~x (n
m)wNkn
N
1
m~x (i)
wNki
wkm N
n0
im
wmk N
N 1m~x (i)wNki
im
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列， 但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情 况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际 上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序 列有着本质的联系。
DFS的几个主要特性：
假设~x(n)、~y(n) 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的 离散傅里叶级数为：
1）线性
X~(k ) DFS~x(n) Y~(k ) DFS~y(n)
a , b为任意常数DFS a~x (n) b~y(n) aX~(k ) bY~(k )
2）序列移位
DFS~x(n
3） X~ (k ) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (kmN)n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列
X~ (k ) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换
§2.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里 叶级数（DFS）表示。
§2.1.1 离散傅里叶级数（DFS）
一个周期为N的周期序列，即
~x (n) ~x (n kN) ， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不 衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可 用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用
对，这种对称关系可表为：
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记
WN e j 2， / N
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
DFS ~x * n X~ * k
证: 同理:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk n0
N
(
1
~x (n)WNnk
)*
X~ *
k
源自文库
n0
DFS ~x * n X~*k
进一步可得
DFSRe{~x n} 1 DFS[~x n ~x * n]
2 1 [ X~(k) X~ * (N k)]
2
共轭偶对称分量
DFSRe~x n
X~e
k
1 2
[
X~
(k)
X~ *
(N
k
)]
共轭奇对称分量
DFS
j
Im~x n
X~o
k
1 2
[
X~
(k
)
X~ * ( N
k
)]
4）周期卷积
若 F~(k ) X~(k )Y~(k ) 频域乘积,时域卷积
则 ~f (n) IDFS F~(k) N1 ~x (m)~y(n m) m0
，并对一个周期求和
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1
N
1
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
(
k
r
)n
1
N
1
X~
(k
N
)
1
e
j
2 N
(k
r
)
n
n0
N n0 k0
N k0
n0
N 1 k 0
X~ (k )[
1 N
1 e j 2 (k r ) 1 e j 2 (k r ) / N
]
1
N
N 1 j( 2 )(k r )n
第二章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT
他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。