离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
离散傅里叶变换(DFT)(图)
离散傅里叶变换（DFT）（图）上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。
一、DFS的主值序列上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为（1）可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（2）主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。
同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：（3）也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（4）主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。
可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。
且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。
二、离散傅里叶变换（DFT）的定义在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。
这就是离散傅里叶变换（DFT），即：（5）和其逆变换（IDFT）：（6）可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
三、DFT的推广应用由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。
事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
DSP-离散傅里叶变换(DFT)
由于：
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数
mnM N,M
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT[X(k)]=x(n),
0≤n≤N-1
离散傅里叶逆变换是唯一的。
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例]
解:
序(1)列设x变(n换)=区R4间(nN) ，=8求，x(则n)：的X (8k点) 和n1760 点x(DnF)WT 8。kn
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k) XXX(((kkkX )))(XXX(z(z(z)z)))zzezej2jN 2Njk2ke ,k,j,2N k00,0kkkNN--N 11-10((33k ..1(1.3.33. )1).3)N ze N
离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
▪ 离散傅里叶变换的定义 ▪ 离散傅里叶变换的基本性质 ▪ 频率域采样 ▪ 离散傅里叶变换的应用举例
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采
样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。
DFT变换的意义：
▪ 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进 行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 ▪ DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备 的简化。
3 N 0
j 2 kn
e8
XX(k(k)
77
)
n n0 0
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) DFT[x(n)]
x
(n)W
kn N
n0
比较上面二式可得关系式
0 k N-1
X (k ) X (z) , j2 k ze N
0 k N -1
(3.1.3)
X (k ) X (e j ) 2 k ,
0 k N -1
(3.1.4)
N
（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上
1 N 1 N k0
X (k )WNkn ,
n 0,
1,
, N - 1 (3.1.2)
▪
式中， WN
j 2
e N
，N称为DFT变换区间长度， N M
1
二、DFT和Z变换的关系
▪ 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[ x(n)] x() x(n mN ) (3.1.5)
m
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.6)
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
x(n) x((n))N
有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的
周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X(k)的主值序
• x2n=cos(pi*n/8); • X2k=fft(x2n,N); %计算N点DFT[x2(n)] • Xk2=fft(x2n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)] • %产生序列x3(n),计算DFT[x3(n)]
• x3n=sin(pi*n/8); • X3k=fft(x3n,N); %计算N点DFT[x3(n)] • Xk3=fft(x3n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)]
离散傅里叶变换的公式
离散傅里叶变换的公式离散傅里叶变换（DFT）是一种数字信号处理的方法，它将时域上的信号转换为频域上的信号。
在图像处理、音频处理、通信等领域中广泛使用。
DFT的公式和理论基础十分重要，本文将详细介绍DFT的公式及其相关知识。
一、基本概念在介绍DFT的公式前，有一些基本概念需要了解：1.离散时间傅里叶变换（DTFT）：DTFT是一种将离散时间序列（离散信号）变换到连续角频率谱的变换。
它表示为X(e ^ jω)=∑x(n)e ^ -jωn ，其中X(e ^ jω) 是离散时间序列 x(n) 的 DTFT，e ^ jωn 是离散复指数信号。
2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是一种计算离散时间序列的离散频率谱的算法。
用DFT可以将一个N个离散点的信号转换为N个离散频率点的频谱，其中每个点代表一个离散频率。
由于DFT的本质是使用频域上的样本估计DTFT，因此它通常比DTFT更具实际意义。
3.复数：在DFT中，我们需要使用复数表示信号和频率。
复数可表示为 a+bi ，其中a,b均为实数，i为虚数单位，i^2=-1。
其中a称为实部，b称为虚部。
4.正变换和逆变换：正变换是将时域信号转换为频域信号的过程，逆变换是将频域信号转换为时域信号的过程。
对于DFT来说，正变换即将离散时间序列转换为离散频率点的频谱，逆变换即将离散频谱转换为离散时间序列。
二、DFT的公式DFT的公式如下：X(k)=∑x(n)e ^ -j2πkn/N ，k=0,1,2,...,N-1其中，X(k)是离散时间序列x(n)的DFT系数，k是频率索引，N是样本数。
公式中的 e ^ -j2πkn/N 是离散复指数信号，也称为旋转因子，代表了信号的周期性。
由于信号周期性的特点，e ^ -j2πkn/N 的 n 取值范围在 0~N-1 之间，因此k 取值在 0~N-1 之间时，X(k) 能够准确地表达样本信号的离散频率成分。
需要注意的是，X(k) 及其离散频率点均为复数，且X(n) 中既包含了信号的幅度，也包含了频率相位信息。
实验三 离散傅里叶变换(DFT)
title('|X(k)|'); subplot(2, 2, 4); stem(k, angle(Xk)); %显示序列的相位谱 title('arg|X(k)|'); 由这个周期序列的实验我们可以看出，与例 1 相比，有限长序列 x(n) 可以看成是周期序列 x(n) 的 一个周期；反之，周期序列 x(n) 可以看成是有限长序列 x(n) 以 N 为周期的周期延拓。频域上的情况也 是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。 3）有限长序列 DFT 与离散时间傅里叶变换 DTFT 的联系 离散时间傅里叶变换（DTFT）是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。如果离散 时间非周期信号为 x(n) ，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为：
~ ~
DTFT[ = x(n)] X = (e j w )
n = −∞
∑ x ( n) e
∞
− j wn
jw IDTFT[ X (e= )] x= ( n)
1 2π
−π
∫ X (e
π
ห้องสมุดไป่ตู้
jw
) e j wn d w
其中 X (e jω ) 称为信号序列的频谱。将频谱表示为
X (e j w ) = X (e j w ) eϕ ( w )
3.４实验报告
(1) 列写调试通过的实验内容程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。 (2) 思考题：有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）有何联系与 区别？
② 画出原信号与傅里叶逆变换 IDFT[ X ( k ) ]的图形进行比较。 ，求 x(n) 周期重复次数为 3 次时的 DFS 和 (3) 已知周期序列的主值 x(n) ＝［7，6，5，4，3，2］ IDFS。要求： ① 画出原信号序列的主值和周期序列的图形。
DFT(离散傅里叶变换).
X(k) = XR(k) + XI(k)
18
证明：
N 1
X * (k) x * (n)W nk
n0
N 1
[ x(n)W nk ]*
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]* n0
= X*(N k)
由线性性质
X(k) = XR(k) + XI(k) X*(k) = XR(k) XI(k) XR(k) = [ X(k) + X*(N k)]/2 XI(k) = [ X(k) X*(N k)]/2
W 6 X (2)
W
9
X
(3)
1 1 1 1 4 1
1 1 j 1 j 0 1 4 1 1 1 1 0 1
1 j 1
j
0
1
8
3.5.2 DFT与DTFT的关系
通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有 限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？
有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里 叶变换DTFT---- X(e j)，是一个连续的周期性的频谱； 而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然 不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着 相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换 X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j)的抽样值。
时移特性1圆周移位22我们看到当序列xn向右移m位时超出n1以外的m个样值又从左边依次填补了空位因此可以想象序列xn排成在一个n等分的圆周上n个样点首尾相接圆周移m个单位表示xn在圆周上旋转m位
3.5 DFT（离散傅里叶变换）
---------Discrete Fourier Transform 3.5.1 DFT定义式
离散傅里叶变换DFT
X2(n)= 1 1 1 1
……………………………………………………
1 2 4 8
1 2 4 8
1 2 4 8
解：
N=5时：
N=10,N=50时类同
2.5 DFT的性质
2.5.1.线性
1.两序列都是N点时
如果 则有：
2.5.2圆周移位
一、定义
一个有限长序列 的圆周移位定义为：
这里包括三层意思：
1)先将 进行周期延拓
2)再进行移位
3)最后取主值序列：
二、时域圆周移位定理
证明：
由DFS和DFT的关系：
表明：有限序列的圆周移位，在频域引入一个和频率成正比的线性相移，对幅度没影响。
第2章离散傅里叶变换（DFT)
2.1引言
一.DFT是重要的变换
分析有限长序列的有用工具。
在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
三.傅氏变换的几种可能形式
1.连续时间、连续频率的傅氏变换
时域信号连续的非周期的
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
2.2周期序离散傅里叶级数DFS
一、.周期序列DFS的引入
周期序列：
周期序列可以表示成成谐波关系的复指数序列：
正变换：
逆变换：
二、的周期性
三、 和Z变换、X（ejw）的关系
※ 是Z变换X(Z)在单位圆上采样，
离散傅里叶变换矩阵
离散傅里叶变换矩阵离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中最为重要的一种信号分析方法，是一种线性变换，将时域离散信号转换到频域。
它不仅在数字信号处理中有广泛应用，而且在许多其他领域（例如图像处理、音视频处理、通信等）中也有着重要的应用。
DFT的计算通过矩阵乘法实现，即离散傅里叶变换矩阵。
下面就来介绍一下DFT的推导过程以及离散傅里叶变换矩阵的详细说明。
1. DFT的推导过程DFT是一种将时域信号转换到频域信号的变换方式。
设x(n)为长度为N的实序列，则x(n)的DFT（记为X(k)）可以表示为：$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \omega_N^{-kn}, k=0,1,\cdots,N-1$$其中，$\omega_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$，它是长度为N的单位根。
为了更好地理解上式，我们可以将其转化为矩阵形式（矩阵乘法）：$$\begin{bmatrix} X(0) \\ X(1) \\ \vdots \\ X(N-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega_N^{-1} & \cdots & \omega_N^{-(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_N^{-(N-1)} & \cdots & \omega_N^{-(N-1)^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ \vdots \\ x(N-1) \end{bmatrix}$$上式中的矩阵称为离散傅里叶变换矩阵（Discrete Fourier Transform Matrix，DFT 矩阵），记为$\textbf{F}$，即：于是，DFT可以用矩阵乘法表示为：$$\textbf{X}=\textbf{F}\textbf{x}$$其中，$\textbf{x}=[x(0),x(1),\cdots,x(N-1)]^T$，$\textbf{X}=[X(0),X(1),\cdots,X(N-1)]^T$。
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
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9
在截取16点时，得到的是完整的余弦波形；而截取8点时， 得到的是半截的余弦波形，当然有大量的谐波成分。
10
例7.16 验证N点DFT的物理意义
j 4 1 e j x ( n ) R ( n ), 求得 X ( e ) FT [ x(n)] ， （1） 4 j 1 e
这种方法计算DFT概念清楚、编程简单，但占用内存大、运行 速度低，所以不实用。MATLAB基础部分提供了fft、ifft、fft2、 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数，使DFT的运算速度量提高了 若干数量级，在后面的例题中均直接调用这些函数。
6
例7.15 序列的离散傅立叶变换
求复正弦序列 x1 (n) e 余弦序列
13
结论：若序列长度为L，频域采样点数（DFT的长度） 为N，且L≤N，则频域采样后可不失真地恢复原序 列 x ( n) ；但若L>N，则频域采样后不能不失真地恢复 原序列 x ( n) 。
图3-3-1 时域恢复示意图
14
例7.17 频域与时域采样对偶性
（1）产生三角波序列
n x(n) M n 0 n M /2 M /2 n M
j n 8
RN ( n)
x2 ( n) cos n RN ( n) 8
正弦序列
x3 ( n) sin n RN ( n) 8
的离散傅立叶变换，分别按N =16和N =8进行计算。 绘出幅频特性曲线， 进行比较讨论。 解：直接产生序列x1n、x2n和x3n，调用fft函数求解
绘出幅频曲线和相频曲线。
（2）计算并图示x(n)的8点DFT。 （3）计算并图示x(n)的16点DFT。
j 解: 序列x(n)的Ｎ点DFT的物理意义是 X (e )在[0，2]上进行 Ｎ点等间隔采样。
程序先密集采样，绘制出幅频曲线图。然后再分别做8点和16 点DFT来验证这个采样关系。 程序略。
n 0 kn X ( k ) DFT [ x( n)] x( n)W N n 0 N 1 N 1
0 k N-1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
ze
j 2 k N
, ,
0 k N -1 0 k N -1
(3.1.3) (3.1.4)
X ( k ) X (e j )
2 k N
（3.1.3）式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上 的N点等间隔采样； （3.1.4）式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变 2 换X(ejω)在区间[0，2π] 上的N点等间隔采样。
三、DFT的隐含周期性
k ( k mN ) WN WN ,
7
• • • • • • • • • • • • • • • •
%第七章例7.15程序q715 % DFT计算 clear;close all N=16;N1=8; %产生序列x1(n),计算DFT[x1(n)] n=0:N-1; x1n=exp(j*pi*n/8); %产生x1(n) X1k=fft(x1n,N); %计算N点DFT[x1(n)] Xk1=fft(x1n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)] %产生序列x2(n),计算DFT[x2(n)] x2n=cos(pi*n/8); X2k=fft(x2n,N); %计算N点DFT[x2(n)] Xk2=fft(x2n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)] %产生序列x3(n),计算DFT[x3(n)] x3n=sin(pi*n/8); X3k=fft(x3n,N); %计算N点DFT[x3(n)] Xk3=fft(x3n,N1); %计算N1点DFT[x1(n)]
7.3 离散傅里叶变换（DFT）
一、DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
kn X ( k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1, n 0 N 1
, N-1 (3.1.1)
X(k)的离散傅里叶逆变换为
1 x( n) IDFT [ X ( k )] N
8
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
%绘图 subplot(2,3,1);stem(n,abs(X1k),'.'); title('16点 DFT[x1(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X1(k)|') subplot(2,3,2);stem(n,abs(X2k),'.'); title('16点 DFT[x2(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X2(k)|') subplot(2,3,3);stem(n,abs(X3k),'.'); title('16点 DFT[x3(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X3(k)|') k=0:N1-1; subplot(2,3,4);stem(k,abs(Xk1),'.'); title('8点 DFT[x1(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X1(k)|') subplot(2,3,5);stem(k,abs(Xk2),'.'); title('8点 DFT[x2(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X2(k)|') subplot(2,3,6);stem(k,abs(Xk3),'.'); title('8点 DFT[x3(n)]'); xlabel('k');ylabel('|X3(k)|')
k 0
N 1
kn X ( k )WN , n 0, 1,
, N -1 (3.1.2)
式中， W e N
j
2 N
，N称为DFT变换区间长度， N M
1
二、DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) ZT [ x( n)] x( n) z n
x1 (n) IDFT[ X1 (k )] ，n = 0， 1， ，31
15
（5）绘出 x1 (( n))32 的波形图，评述它与x(n)的关系。
% 第七章例7.17程序q717 % 时域与频域采样的对偶性验证 clear;close all M=40;N=64;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n) xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,64);%64点FFT[x(n)] X1k=Xk(1:2:N);%隔点抽取Xk得到X1(K) x1n=ifft(X1k,N/2);%32点IFFT[X1(k)]得到x1(n) nc=0:3*N/2; % 取97点为观察区 xc=x1n(mod(nc,N/2)+1);%x1(n)的周期延拓序列 subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.') title('40点三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)')
19
用DFT计算线性卷积
如果
y(n) x1 (n)
x2 (n) x1 (m ) x2 ((n m )) L RL ( n)
m0
L 1
X1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
（2）对M = 40，计算x(n)的64点DFT，并图示x(n)和 X(k) = DFT[x(n)]，k = 0, 1, …, 63。 （3）对（2）中所得X(k)在 [0，2] 上进行32点抽样得
X1 (k ) X (2k )，k 0， 1， ， 31
（4）求 X1 (k ) 的32点IDFT，即
k, m, N 均为整数
实际上， 任何周期为N的周期序列 x( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 即
x ( n)
m
x( n mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x( n) x( n) RN ( n)
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
16
k=0:N-1; subplot(3,2,3);stem(k,abs(Xk),'.') title('64点DFT[x(n)]');xlabel('k');ylabel('|X(k)|') k=0:N/2-1; subplot(3,2,4);stem(k,abs(X1k),'.') title('X(k)的隔点抽取');xlabel('k');ylabel('|X1(k)|') n1=0:N/2-1; subplot(3,2,2);stem(n1,x1n,'.') title('32点IDFT[X1(k)]');xlabel('n');ylabel('x1(n)') subplot(3,1,3);stem(nc,xc,'.') title('x1(n)的周期延拓序列');xlabel('n');ylabel('x(mod(n,32))') set(gcf,'color','w')