几何证明选讲定理大全

与圆周角定理有什么关系？
若∠ADB＋∠ABC＝180°，则ABCD四点共圆； 若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆； 若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；
P
A C D O B
练习
情况唯一吗？
1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与 ⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与 ⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.
BC EF AC DF
合比
?
AB BC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
C 1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（ ）
4 cm 3
E
F B
２、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列结论不成立的 A 是( ) B
解析 ∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE， ∠DEM＝∠BFM， ∴ ∴△EDM∽△FBM. ∠EDM＝∠FBM， DM DE ∴ ＝ .∵F 是 BC 的中点， BM BF 1 ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝ DB＝3. 3
E
B
选修4-1相关定理
弦切角的性质
弦切角
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、
E
另一边和圆相切的角叫做弦切角. 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 A 一边和圆相切
E A O B C D E 极限状态
O D
C
B
A(D)
O
B
C
∠EAB＝∠BCD
∠EAB＝∠BCA
？
弦切角的性质
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
B
F
C
热点分类突破
题型一 相似三角形的判定及性质的应用 1 例1 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝ BC 2 ＝CD，AE＝12，DH＝16，AH 交 BF 于 M， 则 BM＝________，CG＝________.
解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH， 1 AB＝ BC＝CD，AE＝12， 2 DH＝16， AB 1 BM AB ∴ ＝ ， ＝ . AD 4 DH AD BM 1 ∴ ＝ ， 16 4 ∴BM＝4.
选修4-1相关定理
直角三角形的射影定理
直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比
例中项. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 .
RtABC，CD是斜边上的高，则有 CD 2 AD BD; AC 2 AD AB; BC 2 BD AB .
A
M B C
D A O2 O1 E B C M
D
F
C
F G E
O
B
D
选修4-1相关定理
圆的切线的性质 及判定定理
切线的性质定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 .
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 .
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 .
实质为三条性质：(1)过圆心；(2)过切点；(3) 垂直于切线，知二得一
选修4-1相关定理
圆周角定理
圆心角、圆周角、圆内(外)角
圆心角：如∠BOA 圆周角：如∠BDA F D C
O
B
圆内角：如∠BCA 圆外角：如∠BFA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?
B
C A O
A C
O
B
A
圆周角：顶点在圆上，并且两边 都和圆相交的角.
圆周角定理、圆心角定理
D E C O 1 B F A
A C O E
1
D O
2
O 2
B
F
2.如图，CF是ΔABC的AB边上的高， FP⊥BC，FQ⊥AC，求证：ABPQ四点共圆.
Q
C P
3.AD、BE是ΔABC的两条高，求证： ∠CED=∠ABC.
A
F
B
4.如图，已知四边形ABCD内接于 圆，延长AB和DC相交于E，EG平 分∠E，且与BC、AD分别相交于F、 G，求证：∠CFG=∠DGF.
A
O
E D
C
5.ΔABC中，AD、BD分别平分∠BAC和 ∠ABC，延长AD交ΔABC 的外接圆于E， B 连接BE，求证：BE=DE.
C
D O C
E
6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径， CE⊥AD，E为垂足，CE的延长线交AB 于点F，求证：AC2=AF· AB.
D E A F O B
7.已知BC是圆O的直径，AD BC，垂足为D， BF交AD于E，且AE BE . (1)求证：弧AB 弧AF ;
推论1
B
同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
练习
1.AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的外 接圆直径，求证：AB· AC＝AE· AD.
对角 互补 内对角
O
B C F
∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD
外角
上述定理的逆命题是否成立？
圆内接四边形的判定定理
定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边
形的四个顶点共圆. 证明原理：穷举法+反证法 推论1：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论2：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等， 那么四边形的四个顶点共圆.
取 BC 的中点 P， 作 PQ∥DH 交 EH 于 Q，如图， 则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线， 1 1 ∴PQ＝ (AE＋DH)＝ (12＋16)＝14. 2 2 1 1 同理：CG＝ (PQ＋DH)＝ (14＋16)＝15. 2 2
答案 4 15
变式训练 1 如右图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD，且 AB＝2CD，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M.若 DB＝9，则 BM＝________. 3
A D B
C
证明原理：相似三角形 对应边成比例
练习
1.圆O上一点C在直径AB上的射影为D , AD 2, DB 8, 求CD , AC , BC的长. 2.在ABC 中, C 90, CD是斜边AB上的高,已知CD 60， AD 25, 求BD , AB , AC , BC的长. 1 3.ABC 中, BAC 60, CD AB , 求证：BD AB AC . 2 4.在RTABC 中, AD是斜边BC上的高, B的平分线交AD于F , DF AE 交AC于E , 求证： . FA EC 5.ABC 中, BAC 90, AD BC , DE AB , DF AC , 垂足 AB 3 BE 分别为D , E , F , 求证： 3 . AC CF
B E O
A
D C
P A 2.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB， 弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC· PD D C O
B
3.如图，AB与CD交于圆内一点P，求证： 弧AD的度数与弧BC的度数的和的一半等 于∠APD的度数.
D
B
A
C
A
4.ΔABC内接于⊙O，弧AB=弧AC，点D是 BC弧上任意一点，AD=6cm，BD=5cm， CD=3cm，求DE的长. B
A
D C
O
B
3.如图，AB是⊙O的直径，BC是 ⊙O的切线，切点为B，OC平行 于弦AD，求证：DC是⊙O的切线.
C
D
A O B
4.如图，已知∠C=90º ，点O在AC上， CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E， 若BC=5，AC=12，求⊙O的半径. C 5.如图，D是⊙O的直径AB延长线上 一点，PD是⊙O切线，P是切点， ∠D=30º ，求证：PA=PD.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的 对应线段成比例．
l
A D
l¢
L1
l
L2
E A
¢ l D
L2 L1Biblioteka EBC L3
B
C L3
AB DE BC EF
反 比 合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反 比
AC DF AB DE
B D A E
F
3 ( 2)如果 sinFBC ，AB 4 5，求AD的长. 5
O
C
选修4-1相关定理
圆内接四边形的 性质与判定定理
圆内接四边形的性质定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补
定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角 .
E
A
D
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
D A P C E P O D A
E
O
B
E O
E
D A C B
化 归
A
O D C B
化 归
C
B
分类讨论
完全归纳法
弦切角的性质
练习
B O A C D
1.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦， 直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂 足为D， 求证：AC平分∠BAD E 2.如图，⊙O和⊙O′都经过A、B 两点，AC是⊙O ′的切线，交 ⊙O于C，AD是⊙O的切线，交 ⊙O ′于D， 求证：AB2＝BC· BD.
切线判定的方法