巧用三角形中线的性质

巧用三角形中线的性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2 巧用三角形中线的性质
例1. 已知（如图）AD 是ABC ∆的中线，求证
AB+AC>2AD
分析：要证两条线段的和大于第三条线段，很显然要
根据三角形三边关系定理“两边之和大于第三边”这
一知识来证，而图形中要证的三条边不再同一个三角
形中，因此，我们要利用这一结论，就必须重新构造
出一个三角形的三边的长度恰好等于要证的三条线段
长度，从而达到目的。

由已知：AD 是BC 边上的中线，很显然有BD=DC ，在
此基础上构造出另外一条线段使其与AD 相等，即延
长AD 至点E ，使AD=DE ，这样不但出现了二倍的
AD ，同时又出现了两个全等的三角形，即
ADC EDB ∆≅∆（SAS ），从而有AC=BE 。

这样我们要证的三条线段就出现在一个三角形之中，进而可以得出我们要证的结论，这是巧妙地利用中线这一特殊的线段（证明略）
例2. 已知（如图）AE 是ABD ∆中BD 边上的中线，AB=CD ，BAD=ADB ∠∠。

求证：AC=2AE.
分析：这也是一道巧用中线的证明题，原题要求我们证出
AC=2AE 。

而AE 在图形中恰好是一个三角形的中线，我们知道
要证两条线段相等，只要证两条线段所在的两个三角形全等就
可以啦。

而图形中没有2AE 这条线段，这样我们就必须构造
出一个全新的三角形，使其中一边的长为2AE ，延长AE 至点
F ，使AE=EF(AF=2AE),连结BF ，从而得到一个新的三角形
ABF ∆。

进而证得ABF ∆ 和ADC ∆全等，从而证出AC=AF,
即AC=2AE 。

例3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AB 交
AC 于E ，△BEC 的周长为26cm ，求△ABC 的周长。

分析：由于AD=BD , 0
ADE=BDE=90∠∠,DE=DE 可得ADE BDE ∆≅∆，所以AE=BE ，BEC ∆周长
=BE+CE+AC ，
ABC ∆周长=AB+AC+BC=AB+AE+EC+BC =AB+BE+EC
+BC =AB+BEC ∆周长。

=。