材料力学之应力与应变分析

应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
220170 53090MPa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
txy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
④主应力方位：
tg 2a 0
2t xy sx sy
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A sP/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
sC
t
s
P A
B C
sA
A
sA
B
tB
tC
sC
C
sC
三、应力状态分类(按主应力)
截面上的应力； ②主应力并画出主单元 体；③极值切应力。
s" 40
40 20 30
sa 20 s'
a
143.90o
s'
ta
解：1)
s
a
30
2
40
30 2
29.8MPa
40cos60o
(
20)sin60o
单位：sM" Pa
t
a
30
2
40sin60o
(
20)cos60o
20.3MPa
2)ss'''
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
ds a da
0
得： tan
2a 0
2t xy sx s
y
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
应力与应变分析
s s
"'
sx
s y
2Leabharlann sxs2
y
2
t
2 xy
(s ' s ")
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
s1 s2
)] )]
③一般情况：
ex E1 [sx (sy sz )]
e
y
E1 [s
y
(
s
z
s
x
)]
e
z
E1 [s
z
(s
x
s
y
)]
xy txy /G ， yz tyz /G ， zx tzx /G
s2
s2
s2
s1
ss1 1
s1 s1
I
II
s3 ss22
s1
s1方向上的应变：
e
1
'
s1 E
④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。
2.三向应力状态下的最大剪应力
tmax
t13
s1
s 2
3
tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。
二、例题
s2 s3
s2
s2
s3
s1
s1
s3
s1
t
O s3
t23
t13 t12
C1 s2 C2 C3
s
s1
例94 试确定左图所示应力状态的 主应力和最大剪应力，并确定主平 面和最大剪应力作用面位置。
⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)
txy箭头指向第几象限( 一、四)，则s'(较大主应 力)在第几象限，即先判断 s'大致方位，再判断其与 算得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。
⑥ s's" s x s y s a s a90o
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向 相同；
④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点， 按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。
⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确
定过D角转度过为的2 a角*0度，；转D至转s至轴s负轴向正B向1点A代1点表代s表"所s‘在所主在平主面平；面，其转
30 2
40
30 40 2
2
202
35.3MPa 45.3MPa
s1 s' 35.3MPa，s 2 0，s 3 s'' 45.3MPa
tg
2a
0
20 30 40
a0 14.9o，主单元体如上
3)
t' t''
s's'' 2
40.3MPa
4)讨论并证明：s's" s a s a90o C(同一单 元体任意垂直平面上正 应力之和为常数 )
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
Z sz
应力与应变分析
sy z
tzy
tzx
txy
tyx
tyz
txz O
txy
sx
tzy
tzx
sx
txz tyz tyx
dz sy
Y
dx
X O
y
x
dy sz
2.单元体上的应力分量
y 140
150
x
解： ①给定应力状态中有一个主
300
应力是已知的，即sz=90MPa。 因此，可将该应力状态沿z方向
90 z
投影，得到平面应力状态，可直
接求主应力及其方位。
②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=150MPa，因此：
s s
max min
300 2
140
( 300140 )2 (150)2 2
(t xydAcosa ) sin a (t yxdAsina ) cosa 0
t 0：ta dA (s xdAcosa ) sina (s ydAsina ) cosa
(t xydAcosa ) cosa (t yxdAsina ) sina 0
得
s a
t
a
sx sx
s y
2
s y
2
s x s y cos 2a
2
sin 2a t xy cos 2a
t
xy
sin
2a
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t
=0，得：
tan 2a0
2t xy sx s y
⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点 为t’，纵轴坐标最小的G2点为t，作用面确定方法同主应力。
例93 用应力圆法重解例91题。
求：1)a=30o斜截面上的应力； 40
2)主应力及其方位；
sa 20
a
30 x
3)极值剪应力。
ta
t 40.3
单位：MPa
D'(-40,20)
-45.3 s 30o 29.8MPa，t30o 20.3MPa s1 35.3MPa，s2 0，s3 45.3MPa s1与x轴夹角：a*0 29.8o /214.9o tt"' 40.3MPa
s2方向上的应变：
e
2
'
s1 E
s3方向上的应变：
e
3
'
s1 E
s2
e1
"
s2 E
e
2
"
s2 E
e
3
"
s2 E
e1
e
1
'
e
1
"
e
1
"'
E1 [s 1
(s
2
s
3
)]
e
2
e
3
e 2 'e 2 "e 2 "' E1[s 2 e 3 'e 3 "e 3 "' E1[s 3
(s 3 s1 )] (s1 s 2 )]
例92 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me AD BC
s1
s3
t s3 ABCD s1
Me
45o x
-45o
分析圆轴扭转时的应力状态
解：1)围绕圆轴外表面一点取
单元体ABCD：t Me / Wn
2)
ss'''
0 2
0 2 t2 t 2
tg
2a
0
t 0
a0 45o
3) s1 s' t，s 2 0，s 3 s'' t
以) [(sx sy )/ 2 , 0]为圆心，以
[(s
x
s
y
)
/
2]2
t
2 xy
2.应。力圆的绘制：
为半径的圆
①定坐标及比例尺
；②取x面，定出D( sx ,txy )点；取y面，定出D‘( s y ,tyx )点
；③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y sy tyx
txy sx
②正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；
2.广义虎克定律： ①推导方法：叠加原理
②主应变与主应力关系 ：
e
1
e
' 1
e
" 1
e
''' 1
1 [s E
1
(s
2
s
3
)]
e e
2 3
e e
' 2 ' 3
e "2 e "3
e e
''' 2 ''' 3
1 [s E 1 [s E
2 3
(s (s
3 1
二、平面应力分析的图解法—应力圆
1.理论依据：
①
s
x'
s
x
t
x 'y '
s
s y s x s y cos2at
2
2
x
s 2
y
sin2a
t
xy
cos2a
xy
sin2a
s x'
sx
sy 2
2
t
2 x 'y '
sx
sy 2
2
t
2 xy
2
②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为：
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
应力与应变分析
sy
sx
sx
tyx txy sy
sx
sx
txy tyx sy
2.任意a角斜截面上的应力
y sy
t
应力与应变分析
n
sx
sx x
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
n 0： sa dA (s xdAcosa ) cosa (s ydAsina )sina
第九章 应力与应变分析
第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆 第三节 三向应力状态下的最大应力 第四节 广义虎克定律 第五节 三向应力状态下的变形比能
第一节 应力状态的概念
应力与应变分析
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
2150 300140
15 8
2a0 62o
a0 31o
a
0
2
121o
⑤单元体内的最大剪应力：
t max
s1
s 2
3
390 2
50
170MPa
最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o 或14o。
第四节 广义虎克定律
一、广义虎克定律
1.有关概念：
①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；
主单元体如右
4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴
线成±45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；
5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；
6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。
G
E 2(1 )
例95 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座， 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到 P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。 取E=200GPa，=0.30。
P
P p
III
s3 s3
s3
e1
"'
s3 E
e
2
"'
s3 E
e
3
"'
s3 E
④用应变表示应力 ：
s
x
(1
E )(1
2
)
(
e
x
e
y
e
z
)
E 1
e
x
s
y
(1
E )(1
2
)
(e
x
e
y
e
z
)
E 1
e
y
s
z
(1
E )(1
2
)
(e
x
e
y
e
z
)
E 1
e
z
t
xy
G
xy
，t
yz
G
yz
，t
zx
G
zx
二、例题
上式中 ：
应力与应变分析