(IV)第九章 第二讲 复合求导,极值最值

第二讲 多元复合函数及偏导数的应用
一、 多元复合函数
一元复合函数
求导法则 微分法则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t
z f (u, v)
u
z
v
x
y x
y
又如,
z f ( x, v) , v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x
y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
在点(3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
2
AC B 12 (6) 0 , A 0 ,
x y x y
eu sin v
eu cos v 1
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
2
x2 y2 z 2
x
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
( x0 , y0 ) 0 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6.利用全微分形式不变性再解例1. u 解: d z d( e sin v ) u e cos v dv
d (x y)
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
2
2
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 该法失效 , 需另行讨论.
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
u
e cos v 1
u
z
u v
z y
z v v y
如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y)
解方程组
3. 函数的最值问题
求驻点 .
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)
第二步 判别
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
z
u
v
t
t
u (t ) , v (t ) , w (t )
设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
推广:
z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
x y
不论 u , v 是自变量还是中间变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
二、多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、条件极值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. z 例如 : z z 在点 (0,0) 有极小值; O y x 在点 (0,0) 有极大值; O y y 在点 (0,0) 无极值. x O
d ( x y) (dx d y ) dy
所以
z z 例1 . z e sin v, u x y, v x y, 求 , . x y
u
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘,分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
; 1
2. 全微分形式不变性
x y v 2
t
t
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22 f12 , 为简便起见 u u v
x
fx

fy
y

极值点必满足
f x x 0 f y y 0 ( x, y) 0
引入辅助函数 F f ( x, y ) ( x, y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
f ( P ) 为极小值 (大 )
f ( P ) 为最小值 (大 )
例4.某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
2 2 x y 2 x y
练习： p65：1,3 P87：例3 P92： 1,4, p98：7,8
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值 .
分析：如方法 1 所述, 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数
y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极
值问题, 故极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.
O
x
y
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
z
u v w
t t t
f1 f 2 f 3
2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
二、全微分形式的不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
2 ( y x sin y cos y ) e
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t

令
Ax 2( y
Ay 2( x
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
三、条件极值
极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
y
2ye
x2 y2 z 2 4

2 z e
x 2 y 2 z 2 x 2 cos y x 2 y 2 x 4 sin 2 y
为极大值.
2
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
B
C
例3.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值