考研数学一章节知识结构图

重积分
计算公式 二重积分的极坐标变换面积微元 重积分变量替换 三重积分柱坐标变换，体积微元
d σ= rdrd θ dV = rdrd θ dz
三重积分球坐标变换、体积微元
几何应用 应用 物理应用 多元函数积 分学 平面图形面积、体积 质量、质心、转动惯量
dV = ρ sin ? dρ d? dθ
2
基本概念、性质
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第九章
常微分方程
基本概念 一阶微分方程 基本类型 变量可分离方程 一阶线性方程 全微分方程 伯努力方程 可化为基本类型 齐次方程 用某些简单的变量代换求解某些微分方程
常 微 分 方 程
解的叠加原理 性质 通解的结构 可降阶的 高 阶微分方程 基本概念 可降阶的类型 二阶，高阶微分方程
基本概念 二阶线性常系数方程 高阶线 性微 分方程 二阶微分方程（含 某些高阶情形） 特殊的二阶线性变系数方程 可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）
奇偶性与周期函数的导数性质 隐函数与反函数求导法 分阶函数求导法 基本求导法则 含参数方程所确定的函数的求导 对数求导法及幂指数求导法 导 数的 计 算与 高 阶导数 高阶导数
导 数 与 微 分
高阶导数的定义
极大值、极小值
微分 中值 定理 与 导数的应用
几种微分中值定理
（ 费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理）
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第三章
多维随机变量及其概率分布
基本概念
多维，二维随机变量 离散型
考研数学一章节知识结构图
第一部分 第一章 高等数学 函数、极限与连续性
函数的概念 反函数、复和函数 函数 常见的几种函数形式（初等函数、分段函数、隐函数、由参数确定的函 数、由变限积分确定的函数，由级数确定的函数） 函数的四种特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性
定义与性质
判别极限存在与否的方法
直接运用法则
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第二章
随机变量及其概率分布
定义 随机变量 分类
基本型 混合型
离散型，连续型等 基本型的线性回合
定义 随机变量及其 概率分布 分布函数 充要条件与性质 定义 离散型的概率分布 充要条件与性质
概率分布 连续型
定义 充要条件与性质
定义 函数的分布 求法 离散型 常见分布 连续型 定义法（分布函数法） 、公式法 0-1 分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布 均匀分布、指数分布、正态分布
所形成行列式为
0
阶梯形向量组
概念
n 维向量空间
基
坐标 过渡矩阵 规范正交基 Schmidt 正交化
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第四章
线性方程组
概念 线性方程组 克莱姆法则
初等行变换
特解、通解 线 性 方 程 组 解的结构 自由变量
线 性 方 程 组 解 的 结 构 与 判 定
齐次线性方程组有非零解
r ( A) < n
列向量组线性相关
运算规律
特征性质
应用
如何求平面与直线方程 平面与直线 判断平面、直线间的位置关系 点到直线、平面的距离公式 空间解析几何 曲线与曲面的概念及表示法 曲面与曲线 柱面与旋转面的求法 二次曲面的标准方程及图形 空间曲线在坐标平面上投影的方程
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第六章
多元函数的微分与应用
二元函数的极限、连续性的定义 多元函数及其极限与连续性 有界闭区间连续函数的性质 二元函数的几何意义
对弧长曲线积分、对坐标曲线积分、对面积曲面积分、对坐标曲面积分
两类线积分的关系、两类面积分的关系 一、二类曲线积分化为定积分公式 一类曲面积分化为二重积分公式 计算公式 曲线积分、曲 面积分及场 论初步 二类曲面积分化为一类曲面积分再化为二重积分公式 曲线积分与路径无关的条件 几何应用 应用 物理应用 曲面面积、弧长 流量、引力、功 格林公式 高斯公式 多元函数积分学三个基 本公式 平面区域的面积、空调区域的体积的线面积分表示 公式的应用 各类积分之间的相互转化以简化计算 斯托克斯公式 公式的表述与理解
（恒等变形、夹逼法、化为定积分、级数求和） （恒等变形，转化为 n 项和）
n 项和的数列 n 项积的数列 一般情形
（转化为函数极限、恒等变形、夹逼法）
连续性与间断点的定义 连续性
连续函数的性质
判断连续性与判别间断 点类型的方法
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第二章
导数与微分
导数与微分的定义 相互关系
可微
? 连续 ? 可导 ?
几何意义与物理意义 基本求导法则 基本导数表 导数与微分的四则运算法则 复合函数的求导法则 （一阶微分形式不变法）
T
惯性定理 标准形
正、负惯性指数
配方法 化标准形 正交变换法
特征值
相似
二 次 型
定义
规范形
x Ax ＞ 0（ x ≠0 ）
正惯性指数
T
T
p=n
C Ac = E ， C 可逆
正定 二次型 与正定矩阵 判定条件 特征值都大于 0 存在可逆矩阵
C， A=C C
0
T
顺序主子式全大于
可逆
性质
A , A , A , A , kA 都是正定矩阵 若 B 也为 n 阶正定矩阵， A+B 为正定矩阵
若 η是齐次线性方程组
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第五章
矩阵的特征值与特征向量
定义
不同特征值的特征向量线性无关 性质
k 重特征值至少有 k 个线性无关的特征向量
n n i ii n i
矩阵的特征值与特征向量
∑λ = ∑a , ∏λ =
i =1 i =1 i =1
A
定义法 特征值 特征多项式 求法 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 定义法 特征向量 基础解系法
平面图形的面积、平面图形的形心 几何应用 平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、立体的体积 定积分的应用 变力做功 物理应用 引力压力质心、函数的平均值
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第五章
向量代数和空间解析几何
向量的基本概念及其表示法 向量的坐标、长度、方向的确定 定义 向量代数 运算性质 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 向量的各种运算（加减 法、数乘向量、数量积、 向量积和混合向量积）
偏导数
??
连续
二元函数的极值与二元函数泰勒公式 偏导数的应用 曲面的切平面与法线 几何应用 空间曲线的切线与法平面 简单极值问题的解法 最值问题 条件极值问题的解法 二元函数极值判别法
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第七章
多元函数积分学
基本概念、性质 在直角坐标系中化多元函数 为定积分 二重积分化为二定次积分公式 三重积分化为一次定积分与一次二重积分
物理意义
散度与旋度
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第八章
无穷级数
定义 性质 按定义 由 收 敛 的 必要条件 正项级数 利 用 收 敛 性判别法 变号级数
收敛条件、比较判别法（比 较原理及其极限形式、 根值比 值判别法、 确定级数通项关于
常数项级数
敛散性的判 别方法
1 的阶， P 除数与几何级数 n
）
交错级数，莱 布尼茨法则， 一般情形
T
m
-1
y
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第三部分 第一章
概率论与数理统计 随机事件和概率
随机事件的概念 基本事件，样本空间，必然事件，不可能事件 包含，相等，互不相容，对立，完备事件组 关系 随机事件 独立 性质 概念 两两独立，相互独立 相互独立必必两两独立 若干个对立事件仍相互独立 不含相同事件的事件组相互独立
随机事件和概率
平面曲线的切线与法线
简单应用
平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径 某些物理量的描述
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第三章
不定积分
定义 不 定 积 分 的 概 念 与 性 质 基本概念 几何意义与物理意义 原函数存在性 不定积分的基本性质 基本积分公式 常用的凑微分 换元积分法（第一、第二换元积分法） 积分法则 分部积分法 基 本积 分法 及 各类 函数 的积分方法 按函数类的积分 有理函数的积分 分部积分法 无理式的积分 （待定系数法） 常用的变量替换
偏导数、全微分方向导数与梯度的定义 偏导数与全微分 求初等函数的偏导数与全微分
多 元 函 数 的 微 分 与 应 用
隐函数求导公式 方向导数与梯度 计算 微分法则 由一元函数二阶泰勒公式得二元函数二阶 泰勒公式 多元复合函数求导法则
基本概念之间的联系
两个 偏导数? 连续 ?
可 微
?
? 函 数 存 在
不 定 积 分
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第四章
定积分的计算及应用
定义 定积分的基本概念 几何意义与物理意义 函数的可积性 反常积分 无穷积分与瑕积分
华顿—莱布尼茨公式 定积分的计算 基本公式 变限积分所定义的函数的连续性，可导性及可导公式
分项积分法
分段积分法 常用的凑微分 积分的计算 定积分 分段函数的积分 积分法则 + 极限运算法则 反常积分 若干基本的反常积分的敛散性 换元积分法 常用的变量代换
解的判定
非齐次线性方程组
关系
Ax = b 有解 ? r ( A) = r ( A ) Ax = b 有惟一解 ? Ax = 0 只有零解 Ax = b 有无穷的解
?
Ax = 0 有非零解
若η η 1 2 是齐次线性方程组 解的性质
Ax = 0 的解， η η 1 2 也是它的解 Ax = 0 的解，则 kη也是它的解
形式 运算 法则 交换，结合，分配，对偶，吸收，分解 加（并），交（积），减，逆
定义
公理化定义，统计定义，古典定义，几何定义
非负，有界，单调不减有限可加 性质 加法公式，减法公式，求逆公式
概率 条件概率
定义 公式 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式
古典概型 等可等概型 概型 n 重伯努利概型 几何概型
λ E- A =0
λ E- A =0
与对角矩阵相似 实对称矩阵 特性 可用正交矩阵对角化
r (λ i E - A) = n - n i
定义
P AP=B
λ E- A = λ E- B
n n ii ii
相似矩阵与矩阵可对角化
性质 ( 必要条件 )
∑a = ∑b
i =1 i =1
r ( A) = r ( B)
绝对收敛 条件收敛
求和法
按定义转化幂级数求和
幂级数收敛性的特点 求幂级数收敛域的方法 无穷级数 幂级数 幂级数和函数的性质 幂级数求和与求函数 幂级数展开式 直接法（幂级数展开的充分条件与充要条件） 间接法（几个简单函数幂级数展开式， 交量替换分解法） 求导法，
求定义在 [-l ,l]上函数的傅里叶级数 傅里叶级数 求定义在 [0, l] 上函数的正弦，余弦级数 已知函数表达式，求它的傅里叶级数和函数表达式
T
定义 性质 初等矩阵 矩阵 逆矩阵 求逆方法 伴随矩阵 定义法 初等变换法 分块矩阵法 定义 分块矩阵 运算法则
定义 矩阵的秩 有关秩的公式，定理
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第三章
向量
定义 运算 加法，数乘，内积 概念 线性相关 向量组的线性相关 与线性无关 充分条件 多数向量可由少数向量表出 齐次方程组（ α1 ， α 2，… α s） x=0 有解 概念 线性无关 向量 判别 充分条件 概念 向量组 与矩 阵的秩 向量组的秩 矩阵的秩 极大线性无关组 求法 任意向量 α i 不能由其余向量表出 充要条件 r （ α1， α 2，… α s） =S 判别 充要条件 某个向量 αi 可由其余向量表出 齐次方程组（ α1， α 2，… α s） x=0 有解 n+1 个 n 维向量
A= B
A 有 n 个线性无关的特征向量 充要条件 可对角化 A 是实对称矩阵 A 有 n 个不同的特征值 充分条件 A 是实对称矩阵
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第六章 二次型
二次型及其矩阵表示
x Ax
T
二次型的秩
二 次型和它 的标准形 合同
定义 充要条件 充分条件
C Ac = B ， C 可逆 T T x Ax 与 x Bx 有相同的正、负惯性指数 A～ ～B
行列式有两行成比列，行列式为零 若行列式某行（列）都是两数之和，则此行列式是两行列式之和
n 阶行列式
代数余子相等
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第二章
矩阵
概念
m× n 个数排成 n 行 n 列的表格 单位矩阵 对称矩阵 行矩阵 列矩阵
矩阵的概念及运算
特殊矩阵 反对称矩阵 正交矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 运算 A+B ， kA， AB ， A
齐次 非齐次 欧拉方程
利用定积分的几何意义、利用导数的几何意义、 几何应用 微分方程应用 物理应用 利用牛顿第二定律，质点运动的轨迹，微元分析法 利用变化率满足的规律
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第二部分 第一章
线性代数 行列式
定义 排列与逆序 定理、公式
行列式与转置行列式相等
行 列 式
互换两行（列） ，行列式变号 性质 行列式一行同乘数 k ，可将 k 提到行列式外
（四则运算、幂指数运算、代入法）
函 数 极 限 与 连 续 性
极限 函数 极限
分别求左右极限 “
0 ”型或“ ∞ ” 0 ∞ 0 0 ∞ ∞
求 极 限 的 方 法
数列 极限
未定式
洛必达法则、变量替换与重要极限、泰勒公式、 等阶无穷小因子替换 未他未定式（转化为“ ” ，或 “ ” ）
递归数列
( xn+ 1 = f ( xn ))