第一节第二节面积

y x(x 1)
(x
1 2
)2
1 4
由图形的对称性 , 1 也合于所求.
2
3. 求曲线
与
图形的公共部分的面积 .
解：令
r2 ( )
0,
得
4
所围区域的面积为
所围成
r2 a(cos sin )
o
r1 a cos
0
a2 ( 1)
4
4
高数A
2
2y
1 π a2 a2 3 π 2
2
4
O
a 2a x
例10. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
1 a2 cos2 d
2
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
y
4
o
ax
a2sin 2 a2
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
(利用对称性)
d
o
2a x
A 1 2 ( ) d 2
例9. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1 π a2 2 2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 πa2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
2
y
由连续曲线 x = (y) ( 0 )
d
, y 轴与直线 y = c , y = d 所
围成的曲边梯形，面积为 c
d
s c (y) d y
0
x ( y)
x
y d
x ( y)
c 0
d
s c [ (y) (y) ] d y
x ( y)
x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
在第一象限所围
素面 积 元
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
o a x x dxb x
b
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
二、什么问题可以用定积分解决 ?
一般在实际问题中的所求量U如果满足下列条件:
(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2)U对于区间[a,b]具有可加性，即如果把区间[a,b]
平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y y f (x)
dA
o a x x x b x
曲边梯形的面积
b
A a f (x)dx
其中面积元素为
dA f ( x)dx
dA
y
y f2(x)
y f1( x)
o a x x x b x A 可以看作为两个 曲边梯形面积的差
图形的面积元素为
dA [ f2 (x) f1(x)]dx
答案:
A 2
6 a2 sin2 d
0
4 6
1 2
a
2
cos 2
d
内容小结
1. 平面图形的面积
直角坐标方程 边界方程 参数方程
极坐标方程
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x) 过 原 点 及 点 (2,3) ， 且 f ( x)为单调函数，并具有连续导数，今在曲线
上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
例7. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1 (a )2 d 02
o
y f (x)
(x, y)
x
x
30 f (x)dx 2xy,
两边同时对 x求导
3 f (x) 2 y 2xy 积分得 y2 cx,
因为曲线 y f ( x)过点(2,3) y2 9 x,
2
因为 f ( x)为单调函数
所以所求曲线为 y 3 2x.
2
2. 为何值才能使 y x(x 1) 与 x 轴围成的面积等
1
(
2
1
x2
)d
x]
2
[ (arctan x x3 )
1 ( x3
arctan x)
3
]
1
( 3
3 2)
6
6
0
3
1
例5：求曲线 y x3 3x 2 在 x 轴上介于
两极值点间的曲边梯形的面积。
解：先求极值点，令 y ' 3x2 3 3(x2 1) 0
得驻点：x1 1 , x2 1 , 又 y '' 6x
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f (x)
oa
bx
b
A a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，
n
第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai . i 1
（2）计算Ai 的近似值
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法)
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节
第六章
平面图形的面积
一、 直角坐标系情形 二、极坐标情形
行线与 x轴和曲线 y f ( x)围成的面积是另一条 平行线与 y 轴和曲线 y f (x)围成的面积的两
倍，求曲线方程.
解 S2 2S1
x
Q S2 0 f (x)dx
x
S1 xy S2 xy 0 f (x)dx
x
x
0 f (x)dx 2[xy 0 f (x)dx]
y
S1 S2
)
dy
18
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
（二）选 x 为积分变量，则要将图形分成两块来求。
2
s1
[
0
2x (
2x )]d x
y
y x 4
2
2 0
2x d x 16 3
8
s2
[
2
2x (x 4)]d x
[ 2
2
x
3 2
(
x
2
4x) ]
2
0
253 .
形式不同．
12
例4：求曲线
y x2, 2
y
1 1 x 2 与直线
x
3
x 3 所围成的图形的面积。
解：
由对称性 , y 所求面积为第 y x 2
一象限两小块面1 积的 2 倍.
2
P2
P1
1
y 1 x 2
3 1 0
1
3x
s 2[
1 0
(
1 1 x2
x2 2
)
d
x
3 x2 1
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi . i 1
（4） 求极限，得A的精确值
曲边梯形的面积：
n
b
A lim 0 i1
f ( i )xi
a
f ( x )dx
提示 若用A 表示任一小区间
[ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
选 x为积分变量 x [0,1] y
面积元素 d A ( x x2 ) d x
y2 x (1,1)
1
AdA0
x x2 dx
y x2
1
3
ox 1 x
若选 y 为积分变量，则 y [0,1]
xdx
1
A ( 0
y
y2)
d
y
2
3
3
y2
y3
1
3
0
a2 2
13
3
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
A 1 2 ( ) d 2
例8. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2 4 cos4 d
0
2
令t
2
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 3 a2
422 2
所围图形的
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间，
取其中任一小区间并记为 [ x, x dx]，
求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值. 如果 U 能近似地表示为 [a, b]上的一个连续函数
在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
即
dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间
[a, b]
上作定积分，得
U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
应用方向： （１）平面图形的面积；体积； 平面曲线的弧长；