一个不等式链的证明及其变式探究

一个不等式链的证明及其变式探究

童永奇 陕西省西安市临潼区马额中学 710609

水有源、题有根，茫茫题海，寻根悟法方是岸.

不等式链

2ln ln a b a b a b +->>-成立的前提条件是0,0,a b a b >>≠，其中2

a b + 叫做,a b

叫做,a b 的几何平均数，ln ln a b a b --不妨叫做,a b 的对数平均数.

一、不等式链的证明

（1）先证明结论：若0,0,a b a b >>≠，则

2ln ln a b a b a b +->-.① 不妨设0a b >>，则欲证2ln ln a b a b a b +->-，即证2()ln ln a b a b a b

-->+，即证11ln 21a a b a b b

->+. 设(1)a t t b =>，则即证11ln 21

t t t ->+. 令函数11()ln ,121

t f t t t t -=->+，则因为22212(1)'()02(1)2(1)t f t t t t t -=-=>++，所以函数(t)f 在(1,)+∞上单调递增，所以(t)(1)0f f >=，即

11ln 21t t t ->+.故得证. （2）再证明结论：若0,0,a b a b >>≠

，则

ln ln a b a b ->-. ② 不妨设0a b >>，则欲

证ln ln a b a b ->-，即

证ln ln a b -<，即

证1ln a a b -<

(1)u u =>，则即证221ln u u u -<，即证12ln u u u

<-. 令函数1g()2ln ,1u u u u u

=-+>，则因为22221(1)g'()10u u u u u -=--=-<，所以函数g()u 在(1,)+∞上单调递减，所以g()(1)0u g <=，即12ln u u u

<-

.故得证. 综上，由（1）、（2）可知，所给不等式链成立.

二、不等式链的变式探究

探究1：取12,a x b x ==，则由①知：121212

2ln ln x x x x x x +->-.于是，可编制如下试题：已知120x x >>，求证：121212

2()ln ln x x x x x x -->+. 探究2：取12,a x b x ==

，则由②知：

1212ln ln x x x x ->-于是，可编制如下试题：已知120x x >>

，求证：12ln ln x x -<探究3：取121,1a x b x =+=+，则由①知：

121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)x x x x x x ++++-+>+-+.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：

1212121ln(1)ln(1)2

x x x x x x -+<++-+. 探究4：取121,1a x b x =+=+

，则由②知：1212(1)(1)ln(1)ln(1)

x x x x +-+>+-+于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证

：

1212ln(1)ln(1)

x x x x ->+-+. 探究5：取121,1a x b x =-=-，则由①知：121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)x x x x x x -+---->---.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：

1212121ln(1)ln(1)2

x x x x x x -+<----. 探究6：取121,1a x b x =-=-

，则由②知：1212(1)(1)ln(1)ln(1)

x x x x --->---于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证

：

1212ln(1)ln(1)

x x x x ->---

探究7：取12

,x x a e b e ==（即设12ln ,ln a x b x ==），则由①知：1212

122x x x x e e e e x x +->-.于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且12x x >，求证：1212

122x x x x x x e e e e -->+. 探究8：取12

,x x a e b e ==（即设12ln ,ln a x b x ==），

则由②知：12

12x x e e x x ->-.于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且12x x >，求证：12

12

122x x x x e e x x e +--<.

温馨提示：上述变式探究问题均可参考前述不等式链的证明思路——转化、换元、构造、求导，加以具体证明.有兴趣的读者，请逐个证明之，必将大有收获，感悟许多！ 【参考文献】肖斌，把“冰冷的美丽”变成“火热的思考” [J]，教学考试（高考数学），2014，（ 5 ）.