因式分解定理

பைடு நூலகம்：
① 若已知两个多项式 f ( x), g( x) 的标准分解式,
则可直接写出 f ( x), g( x). f ( x), g( x) 就是那些同时在 f ( x), g( x) 的标准
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x), g( x) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
即 d( x) a 或 d( x) cp( x)
( p( x), f ( x)) 1 p( x) f ( x)
定理5.7 设 p( x) 不可约. f ( x), g( x) P[x] ，若 p( x) f ( x)g( x), 则 p( x) f ( x) 或 p( x) g( x). 证：若 p( x) f ( x), 结论成立 .
f ( x) g( x) ri li , i 1,2, , s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多 项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多 项式的可约性的判定都是非常复杂的．
例5.5 设多项式 f ( x) 3x4 12,分别求 f (x)在
p( x) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
引理 多项式 p( x)不可约，对 f ( x) P[x] 有
p( x) f ( x) 或 p( x), f ( x) 1.
证：设 ( p( x), f ( x)) d( x), 则 d( x) p( x)
d( x) a 0 或 d( x) cp( x), c 0
2、重因式的判别和求法
方法一： 若 f ( x)的标准分解式为： f ( x) cpr11( x) pr21( x) prs s ( x)
则 pi ( x)为 f ( x)的 ri重因式 . i 1,2, s ri 1 时， pi ( x) 为单因式 ; ri 1 时, pi ( x) 为重因式 .
§5.3 因式分解定理
一、因式分解定理 二、重因式 三、多项式函数与余数定理
一、因式分解定理
问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x4 4 x2 2 x2 2
（在有理数域上）
x 2 x 2 x2 2
（在实数域上）
x 2 x 2 x 2i x 2i （在复数域上）
唯一地分解成数域 P上的一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式
f ( x) p1( x) p2( x) ps ( x) q1( x)q2( x) qt ( x)
则 s t，且适当排列因式的次序后，有 pi ( x) ciqi ( x)
其中 ci (i 1, 2, , s) 是一些非零常数．
有 理 数 域 、 实 数 域 、 复数 域 上 的 标 准 因 式 分 解 式.
解：有理数域: f ( x) 3( x2 2)( x2 2)
实数域: f ( x) 3( x2 2)( x 2)( x 2) 复 数 域: f ( x) 3( x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)
例 举例说明下面命题是不对的．
"是f '( x)的n重根 是f ( x)的n 1重根"
解：令 f ( x) 1 x3 x2 x 5, 则 3
f '( x) x2 2x 1 ( x 1)2,
x 1 是 f '( x) 的2重根， 但 f (1) 1 1 1 5 0,
标准因式分解式：对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1
(
x)
p r2 2
(
x)
psrs ( x)
其中 c 为 f ( x)的首项系数， pi ( x)为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式，ri Z . 称之为 f ( x)
的标准分解式.
1、不可约多项式
定义5.6 设 p( x) P[x] ，且 p x 1 ，若 p( x)
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x)低的多项式的 乘积，则称 p( x) 为数域P上的不可约多项式.
注
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式.
③ 多项式 p( x) ( p( x)) 1 不可约.
方法二： （定理5.9）
若不可约多项式 p( x) 是 f ( x) 的 k 重因式(k 1 ), 则它是 f ( x)的微商 f ( x) 的 k 1重因式.
注：定理5.9的逆命题不成立，即 p( x)为 f ( x) 的 k 1 重因式，但 p( x)未必是 f ( x) 的 k重因式.
例 若 f ( x), g( x) 的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
psrs ( x), ri 0
g(
x)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x
)
psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
二、重因式
1、定义
定义5.7 设 p( x)为数域P的不可约多项式，f ( x) P[x] , 若 pk ( x) | f ( x)，但 pk1( x) | f ( x) ,
则称 p( x) 为 f ( x)的 k重因式，其中k是非负整数. 若 k >1, 则称 p( x) 为 f ( x) 的重因式. 若 k ＝1, 则称 p( x) 为 f ( x) 的单因式. （若 k=0， p( x不) 是 f的( x因) 式)
若 p( x) 不整除 f ( x)，则 ( p( x), f ( x)) 1
定理5.6 p( x) g( x).
推广：设 p( x)不可约，p( x) f1( x) f2( x) fs( x), 则必有某个 fi ( x), 使得 p( x) fi ( x).
2、因式分解及唯一性定理
定理5.8 f (x) P[x], 若 ( f ( x)) 1 ，则 f ( x)可