小波分析入门ppt课件

自然界中的尺度

提供尺度而非频率信息并非小波的缺点
连续小波变换的连续含义

区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由
离散小波变换


连续小波变换的计算量非常大，费时 1988 年 Mallat提出二进离散小波变换的快 速算法---滤波算法。
第一部滤波：逼近和细节

对大多数信号，其低频分量比较重要； 高频包含大多数的冲击和噪声； 在小波分析中称为逼近和细节； 逼近成分对应大尺度低频分量，细节成分 对应小尺度高频分量。
短时傅里叶分析( Short-Time Fourier Analysis)

为解决傅里叶分析的缺点, Dennis Gabor (1946)提 出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观 点,即所谓的Short-Time Fourier Analysis-STFT, 将 信号映射为时间和频率的函数.
离散小波多级分解(Multiple-Level Decomposition)

小波分解树(wavelet decomposition tree)
分解时对逼近系 数进行反复分解. 分解多少级?

信号的小波分解
小波重构

小波分解是小波分析的一半,与此相对的另一半是 信号的小波重构(reconstruction), 或 综合 (synthesis) (无信息丢失). 在数学上称为小波逆变换(IDWT).

相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在 无限区间内存在。
正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则 波形，且非对称。


傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦 波。 与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、 平移的小波。

连续小波变换--CWT

从数学的观点看傅里叶变换

与此类似，小波分析变换公式为 为母小波，C为小波系数，为尺度与位置 的函数。

傅里叶分析的缺点
１．在变换到频域后，信号的时间信息丢失； ２．从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时 刻发生的情况； 若信号在整个时间历程上属于平稳信号(其 统计参数变化不大), 傅里叶分析的这些缺 点并不显注. 但在我们所处的世界中却经常 会遇到繁多的非平稳信号:漂移,趋势,突变, 事件的开始和结束等.该类信号往往是信号 最主要的特征,而显然不满足傅立叶分析的 平稳性要求.


小波系数C乘以与位移和尺度化后的小波， 得到原信号的小波分量。
尺度化（比例缩放）--Scaling

前面谈到了小波将信号映射到时间-尺度域，下面 对尺度化和时移进行解释。 小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。 下面是正弦波的尺度变化示例
a 为尺度因子

小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子 越小，信号越被压缩。
连续小波变换的5个基本步骤
3、从左到右平移小波逐段重复步骤1、2的比 较，直到完成整个信号的比较。
4、小波伸缩（尺度化），重复步骤1~3。
5、重复1~4步得到所有尺度下的小波系数

三维显示

小波分析得到的时间-尺度图谱，不同于时 间-频率图谱。尺度与频率不同，但并非没 有联系。
尺度与频率
小尺度a 压缩小波 变化剧烈 高频 大尺度a 扩展小波 变化平缓 低频


下图为小波分析滤波示意
原始信号S通过两个互补的滤波器得到两个信号A 和D.


在数字信号处理中S将被使用两次; 设S具有1000个采样点,则D和A也将分别具有1000采样点; 在离散小波分析中采用二取一的”降采样技术”得到分别 具有500点的小波系数cD和cA;

下面以一单级离散小波分解举例说明以上 过程. 使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正 弦信号,其分解原理图如下
小波分析(Wavelet Analysis)

小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域 的加窗技术。 小波分析允许使用长时间间隔—在需要获 得比较精确的低频信息时；和使用短的区域—在需要获得 高频信息时。

下图为从时域，频域，STFT, 和小波分析观察信 号的示意。

注意：小波分析没有使用时间-频率坐标，而是使 用时间-尺度坐标。
小波分析可以做什么？

小波分析的一个主要优点是其可以做信号 的局部分析。

小波分析能反映其它一些信号分析手段不 能很好反映的信号信息，例如趋势、断点、 不连续性等。 进一步, 小波分析提供了与传统方法不同的 视角，目前小波分析在压缩或降噪方面有 广泛的应用。

什么是小波分析

一个小波是在有限区间内存在,且均值为零的波形.

Matlab语句如下 s = sin(20.*linspace(0,pi,1000)) + 0.5.*rand(1,1000); [cA,cD] = dwt(s,'db2');

db2为选用小波名

不难发现, 细节信号系数cD包含有主要的噪声成分; 逼近信号cA比原信号包含较少的噪声.
[length(cA) length(cD)] ans = 501 501 小波系数cD和cA的长度比原始信号长度的 一半多一.
注意：频率与尺度有密切联系
平移--Shifting

小波的平移意味着小波起始位置的变化。 在数学上若原信号为f(t)，则其时移表示Байду номын сангаасf(t-k)。
1、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比 较。 2、计算小波系数C， 其值的大小取决于小波与选取信 号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信 号与小波能量都等于1，则C可解释为互相关系数。 注意：系数的大小与 所选择小波的形状有关。
短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频 率表示的折中, 可反映信号在何时和什么频率发 生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。 STFT在信号的时间和频率表示上的折中是有 用的， 其缺点是一但你选择了某一长度的窗后， 它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能 有比较柔性的窗----我们可以调整窗长以取得比 较精确的时间和频率。
小波分析入门
傅里叶分析-Fourier Analysis



傅里叶分析是目前信号分析的基石 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量 从‘变换’的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥 梁

由于了解信号的频率成分非常重要，傅里 叶分析是非常有用的工具. 为什么我们还需要如小波分析等的其它技 术？