基于matlab的Lorenz系统的仿真研究

MATLAB

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作

业

以下报告完成的就是大作业第七题:

7、 Simulink仿真在高等数学课程中的应用

21130223 宋沛儒

基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究

宋沛儒

1、引言

1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验与理论思考,得到了一系列混沌运动的基本特征,提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ,Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现,在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征,成为后人研究混沌理论的基石与起点,具有非常重要的意义。Lorenz 系统方程如下:

(),

,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪

=--⎨⎪=-⎩

(1)

其中,a,b,c 为正的实常数。

本人利用了数学工具matlab,对Lorenz 系统进行了仿真研究,加深了对其的认知。

2、matlab 求解Lorenz 系统

首先创建文件“Lorenz、m”定义Lorenz 方程,假设固定a=10,b=2、6667,c=30,程序如下:

function dx=Lorenz(t,x)

dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2、6667*x(3)]; end

然后利用ode45(Runge-Kutta 算法)命令求解Lorenz 方程并绘制图形,初值取x=y=z=0、1,程序如下:

>> clf

>> x0=[0、1,0、1,0、1];

>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);

>> subplot(2,2,1)

>> plot(x(:,1),x(:,3))

>> title('(a)')

>> subplot(2,2,2)

>> plot(x(:,2),x(:,3))

>> title('(b)')

>> subplot(2,2,3)

>> plot(x(:,1),x(:,2))

>> title('(c)')

>> subplot(2,2,4)

>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

>> title('(d)')

运行后,得如下波形:

图中,(a)为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影,(b)为其在y-z平面上的投影,(c)为其在x-y平面上的投影,(d)为Lorenz混沌吸引子的三维图。四张图都类似于“8”字形。

3、 Lorenz系统对初值的敏感性

此时因为固定参数a=10,b=2、6667,c=30时,为混沌系统,对初值具有敏感性,初值很小的差异会引起系统的大变化。例如在上例中取初值x=z=0、1,y=0、11,绘制此时混沌吸引子在x-z上的投影,并与

x=y=z=0、1在同一张图比较。(初值为x=y=z=0、1时投影用蓝色,初值为x=z=0、1,y=0、11时投影用红色)程序如下:

>> clf

>> x0=[0、1,0、1,0、1];

>> [t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> hold on

>> x0=[0、1,0、11,0、1];

>> [t,x]=ode45('ex_lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')

得到图形如下:

可以瞧到初值y 仅变化0、01,图中红色与蓝色不重合出明显。证明了Lorenz 系统的敏感性。

4、matlab 对Lorenz 系统的仿真

由文献[1]可知在上述方程组(1)中,令0===z y x

,当c >1时,系统有三个平衡点:)0,0,0(0S ,

)1,)1(,)1((------c c b c b S ,)1,)1(,)1((---+c c b c b S 。当c =1时,系统在

原点失去稳定。当c <1时,原点就是唯一的平衡点并且就是汇点。

利用matlab 的Simulink 功能,搭建Lorenz 系统模型,并探讨参数对Lorenz 系统的影响。仿真模型如图:

在仿真模型中,取参数a=10,b=8/3,观察参数c取不同值时系统的运行状态。

根据文献[1]的分析,

当参数0

x=y=z=2,参数c=0、5,仿真停止时间取为50,运行仿真。得到x、y、z的相图以及x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示:

00.511.522.53

可见,系统很快地趋向并稳定在O(0,0,0),验证了前面所述。 当c>1时,系统有三个平衡点:原点O(0,0,0)与S+,S-。此时原点的特征值中有正值,因此原点为鞍点,就是不稳定平衡点。当113、926时,不稳定流形将绕到另一侧,最终趋于与之异侧的S+或S-。可见,c 就是一个同宿分岔点。因此,取初值x=y=z=2,c=8,仿真停止时间为50,

运行仿真,得到x、y、z的相图以及x-z,y-z,x-y的图形依次如下所示:

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

4

6

8

10

12