2018全国I卷高考压轴卷理科数学(含答案)

2018全国卷Ⅰ高考压轴卷

理科数学

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合{}

z x x x x A ∈≤-+=，022，{}

z k k x x B ∈==，2，则B A I 等于()

A ．{}10，

B ．{}24--，

C ． {}01，-

D ．{}02，- 2. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

3. 为得到)6

3sin(2π

+=x y 的图象,只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ) A 、向左平移6

π

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)

B 、向右平移6

π

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)

C 、向左平移6π

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

D 、向右平移6

π

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

4. 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

5. 已知函数2

|21|,1

()log (),1x x f x x m x +?，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值

范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0

B ．－1

C ．1

D ．2

6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．3．4323 D 43

7. 设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ??

?+∞????

，使()f x 在[],a b 上的值域为

()()2,2k a k b ++????，则k 的取值范围是（ ）

A ．92ln 21,

4+?? ??? B ．92ln 21,4+??

???? C. 92ln 21,

10+?? ??? D ．92ln 21,10+??????

8. 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为

A ．243

B ．363

C ．729

D ．1092

9. 已知抛物线2

:4M y x =，圆()()2

22

:10N x y r r -+=>.过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点，交抛

物线M 于,A B 两点，且满足AC BD =的直线l 恰有三条，则r 的取值范围为（ ） A ．30,2r ??∈ ??

? B ．(]1,2r ∈ C ．()2,r ∈+∞ D ．3,2

r ??∈+∞????

10. 函数3

2)2()

44ln()(-+-=x x x x f 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11. 若0,0,a b >>且函数32

()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于

A ．121

B ．144

C ．72

D ．80

12. 已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支

有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A. B ． C ．

D ． [)∞+，

2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若直线)(0123:R a y ax l ∈=+-与圆04:2

2

=-+y y x M 相交于B A 、两点，若 ABM ∠的平分线过线段MA 的中点，则实数._____=a

14. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0u u u r u u u r u u u r

，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =u u u r

|MP|的最大值为 .

15. 设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,

20,20,ax y x y x -+≥??+-≥??-≤?

表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则

2z x y =+的最大值的取值范围为 .

16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表： 理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计

20

30

50

已知P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025． 根据表中数据，得到K 2

=≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约

为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17.（12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S =，(1,12)n

b =-r 满足条件⊥

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n

n

c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .

18.（12分）

某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)120,100[内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图. 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125] 频数

1

4

19

20

5

1

图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计

（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；

（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望)(X E . 附：

P(K 2

≥k 0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

)

)()()(()(2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.

19.（12分）

如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF 为矩形， CD=3，平面EDCF⊥平面ABCD ．

（1）求证：DF∥平面ABE ．

（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．

（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为

4

3

，若存在，求出线段BP 的长． D A

B

C

E F

20.（12分）

已知椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的短轴长为离心率为3，点(3,0)A ，P 是C 上的动点，F 为C

的左焦点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰ABP ?的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值.

21.（12分）

已知函数(3)e ()(0)x x a a

f x x x -+=>∈R ，．

（1）当3

4

a >-时，判断函数()f x 的单调性；

（2）当()f x 有两个极值点时， ① 求a 的取值范围；

② 若()f x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a t

t y t

=??

=?为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ?

?+=- ???

（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值；

（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （1）求不等式()3f x ≤的解集；

（2）若方程()

2

f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.

参考答案 1.【答案】D 2.【答案】C 【解析】当

时， ，当ab 一正一负时，

，当

时，

，所以

，故选C ．

3.【答案】C

4.【答案】B

【解析】解：由题意可得二项展开式的通项

=

根

据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r 的所有取值是0，1，2，3，

4，5，6，7，8，9，10，11共12个,所求的概率为

5【答案】C

【解析】作出()f x 的图象，如图所示，可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x

关于直线1

2x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，

由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），结合图象可知点A 的坐标为(9,3)， 代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =．故选C ．

A

3

112

x 3

x 2x 1x

y O

6【答案】A 7【答案】C 【解析】因为

，所以

因此

在

上有两个不同的零点，由

得

，所以

令 ，则，所以 ，又

，所以当时 ，当 时 ，要使方程有两个不同的零点，需

，选C.

8【答案】D

9【答案】C 10【答案】C 11【答案】C 12【答案】D 13【答案】3± 14【答案】319 15【答案】[8,)+∞ 16【答案】5%

【解析】根据题意，K 2=≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%

17. 【答案】（1）∵⊥,∴221

-=+n n S , 当2≥n 时，n n n n S S a 21=-=-， 当1=n 时，211==S a 满足上式，∴n n a 2=

（2）2n n n c =

1211212222

n n n n n T --=++++L 两边同乘12，

得231112122222n n n n n T +-=

++++L ，两式相减得： 21111112

1222222n

n n n n n T +++=++-=-L ， ()2

22n n

n T n N ++∴=-

∈． 18. 【答案】（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表

将列联表中的数据代入公式计算得

053.39

915050)432748(100))()()(()(222

≈????-??=++++-=d b c a d c b a bc ad n K

∵706.2053.3>

∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为

5048，乙套设备生产的合格品的概率约为50

43

，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备

（Ⅲ）由题知，)25

1

,3(~B X ∴25

3

2513)(=

?

=X E 19. 【答案】解：（1）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，

DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，

则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，E ，(F -，

∴(1,BE =--u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r

，

设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =r

，

∴2020x y y ?--=??=??不妨设n =r ，

又(DF =-u u u r

，

∴0DF n ?=u u u r r

， ∴DF n u u u r r ⊥，

又∵DF ?平面ABE ，

∴DF ∥平面ABE ．

（2

）解：∵(1,2,BE =-u u u r

，(BF =-u u u r

，

设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =u r

，

∴2020x y x ?--=??-=??

不妨设m =u r ，

∴|||cos |||||m n m n θ?===u r r

u r r

∴平面ABE 与平面EFB

． （3

）解：设((,2)DP DF λλλλ==-=-u u u r u u u r

，[0,1]λ∈，

∴(,2)P λλ-， ∴(1,22,)BP λλλ=---u u u r

，

又∵平面ABE

的法向量为n =r

，

∴sin |cos |BP n θ==

=u u u r r

， ∴28610λλ-+=， ∴12λ=

或14

λ=， ∴当1

2λ=

时，3,2BP ?=-- ??

u u u r ， ∴||2BP =u u u r

，

当1

4λ=

时，53,42BP ?=-- ??

u u u r ， ∴||2BP =u u u r

，

综上||2BP =u u u r

．

20.【答案】

（Ⅰ）依题意得22223b c

a a

b

c ?=?

?=??=+??

解得a b ?=??=??∴椭圆C 的方程是22

162

x y +=

（Ⅱ）设00000(,)(0,0)P x y y y x <<≠>

设线段AP 中点为M ∵(3,0)A ∴AP 中点00

3,)22

x y M +（

，直线AP 斜率为003y x -

由ABP ?是以AP 为底边的等腰三角形∴BM AP ⊥ ∴直线AP 的垂直平分线方程为000033

()22

y x x y x y -+-

=-- 令0x = 得220009(0,)2y x B y +- ∵2200162x y += ∴200

23

(0)2y B y --，

由(2,0)F - ∴四边形FPAB

面积2

00000

23553

(||)(2)2222y S y y y y --=+=+≥当且仅当00322y y =

即0y =FPAB

面积的最小值为21. 【答案】（1）由题()222

[e (3)e ](3)e (33)e (0)x x x x x x x a x x a

f x x x x -+-----+--'=

=>． 方法1：由于233304x x -+-≤-<，e 10x -<-<，23(33)e 4x

x x -+-<-，

又3

4

a >-，所以2(33)e 0x x x a -+--<，从而()0f x '<，

于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．

方法2：令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，

当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 故()h x 在1x =时取得极大值，也即为最大值．

则max ()(1)e h x h a ==--．由于3

4

a >-，所以max ()(1)e 0h x h a ==--<，

于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．

（2）令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，

当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于-∞．

由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两不等实根，

即2()(33)e 0x h x x x a =-+--=有两不等实数根12x x ，（12x x <）． 则(0)0,(1)0,h h ?

解得3e a -<<-．

可知1(0,1)x ∈，由于33

22333

(1)e 0()e e +30244

h a h a =-->=--<-<，，则2(1)2,3x ∈．

而()222222

2(33)e 0x x x a

f x x -+--'=

=，即2

222e

33

x a

x x =

-+-（#）

所以()2222

(3)e ()x x a

f x f x x -+==极大值

，于是()22222233ax a f x x x -=-+，（*）

令221

22(1)2

t x x t t =-?=+-<<-，则（*）可变为()21111t g t a a t t t t

==++++， 可得

11131t t 2

-<

<-

++，而3e a -<<-，则有()213111t g t a a t t t t

==<++++， 下面再说明对于任意3e a -<<-，23

(1,)2

x ∈，()22f x >．

又由（#）得2222e (33)x a x x =-+-，把它代入（*）得()222(2)e x f x x =-， 所以当23

(1,)2

x ∈时，()222(1)e 0x f x x '=-<恒成立，

故()2

22(2)e x f x x =-为3(1,)2的减函数，所以()3

2231

()e 222

f x f >=>．

所以满足题意的整数m 的最小值为3. 22. 【答案】(1)

由cos 4πρθ??

+

=- ??

?

)cos sin 2

ρθρθ-=-

)2

x y -=-l 的方程为40x y -+=

，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的

距离6d t π??=

==+ ???，当26t k ππ+=，即2,6

t k k Z π

π=-

∈

时，max d ==P 到直线l

的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴?∈R ，cos 2sin 40-+>a t t

恒成立，即

()4t ?+-（其中2tan a

?=

）恒成立，4<，又0a >

，解得0a <

范围为(.

23. 【答案】（1）原不等式等价于143x <-??-≤?或1143x x -≤≤??≤?或1

43

x >??≤?，

得1x <-或3

14

x -≤≤

∴不等式()3f x ≤的解集为3,4

??-∞ ??

?

.

（2）由方程

() 2 f

x

a x

+=可变形为11

a x x x

=+--+，

令()11

h x x x x

=+--+

2,1,

,11,

2,1,

x x

x x

x x

+<-

?

?

=--≤≤

?

?->

?

，作出图象如下：于是由题意可得11

a

-<<.