分数拆分经典解法

课题：分数的拆分

知识概述：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

教学目标：

1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。

2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。

3、让学生感受归纳的一般方法。教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。教学难点：分数的拆分的灵活应用。

教具与学具：

本周通知事项：

教学过程：

一、引入：

7化成小数等于多少？

12

7 1 1 。。

分析：7= 1+ 1=0. 3+0.25=0.58 3

12 3 4

这里的1和1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准34

将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。二、新课教授：

例 1 ：在等式1= 1+ 1中，求出所有整数解。6xy

分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为 1 ，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出 6 的所有约数：1 ， 2，3，6。通过扩分的方法：

1 1×(1+ 2) 1 1

= = +

6 6×(1+ 2) 18 9 1 1×(2 + 3) 1 1

= = +

6 6×(2+ 3) 15 10

分析：里面结果相同的原因？注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。总结:1 = 1+ 1型，拆分分数的步骤:

nxy

1.找出分母 n 的所有的约数；（找约数）

2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组）

3.将1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分）n

4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；

（拆分）

5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分）

1111

=++

6xyz

分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？请同学们说出结果。

例 2：已知两个不同的单位分数之和是1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）

12 的最小值是多少？

1.12 的所有约数：1，2，3，4，6，12。

2.分组：

第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12）第五组：（1，12）

1 1×(1+ 2) 1 1

= = +

12 12×(1+ 2) 36 18 1 1×(1+ 12) 1 1

= = +

12 12×(1+12) 156 13

1 1×(1+ 3) 1 1

= = + 12 12×(1+ 3) 48 16 第三组：(1，4)、( 3，12) 1 1×(1+ 2) 1 1

= = + 12 12×(1+ 2) 30 20 第七组：(3，4)

第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12）第六组：（2，3），（4，6）

1 1×(1+ 3) 1 1

= = +

6 6×(1+ 3) 24 8 1 1×(2 + 6) 1 1

= = +

6 6×(2+ 6) 24 8

1 1×(1+ 6) 1 1

= = +

6 6×(1+ 6) 42

7 1 1×(3+ 6) 1 1

= = +

6 6×(3+ 6) 18 9

练习：

1 1×(1+ 4) 1 1

= = +

12 12×(1+ 4) 60 15

第四组：(1，6)、( 2，12)

1 1×(1+ 6) 1 1

= = +

12 12×(1+ 6) 84 14 第七组差值最小。分析：

1= 1+ 1(假设 a>b ，即1<1)，12 a b a b 1-1=1-(1-1)=1-1+1=2 b a b 12 b b 12 b b

1 1×(3+ 4) 1 1

= = +

12 12 ×(3 + 2) 28 21

111

= -

a 12 b

1， b 越大，结果越小。 b 是怎么得来的？假设约数12

为（x，y）且x< y，b = 12（x + y）=12（1+ x）也就是x比值最大时，b最大，即第七组（3，

y y y

4）

例 3：如果1 = 1+ 1+ 1，其中 a、b、c 为自然数且互不相同，求 a+b+c 的和？abc

分析：假设 a=b=c，那么1= 1+ 1+ 1，三个分数中一定至少有一个比1要大（若全比1小

3 3 3 3 3 的话，则和要比1小，不可能为1）， a，b，c为自然数，比1大的单位分数只有1。即可转32 化为1=1+1+1，那么1-1= 1+ 1即可转化为我们熟悉的问题。

2 b c 2 b c

练习：一群酒鬼喝酒，第一瓶时倒了几个，第二瓶时又倒了几个，第三瓶时全部倒下，最后倒下的说他喝了一瓶，如果他说的是真的，那么一共有多少人？

1= 1+ 1+ 1，假设喝第一瓶的有a个人，那么每个人喝了1，以此类推第二瓶，有b个人，

a b c a

那么每个人喝了1，第三瓶，有c个人，那么每个人喝了1。最后说话的人三瓶酒都喝过了，bc

他第一瓶喝了1，第二瓶喝了1，第三瓶喝了1，最后他说了一句话：他只喝了一瓶。那么

a bc

1= 111

++ abc

补充：

公式：1

n

1+ 1或者 1

n ×(n + 1) n + 1 n ×(n + 1)

11 n n +

1

推导：1= 1+ 1的过程：

6xy