CUSUM和EWMA控制图
控制图的设计
常规控制图、 CUSUM控制图与EWMA控制图
一般，我们将控制图中心线两侧到控制限划分为 3 个区间，从控制限到中心线分别记为 A 区、B 区和 C 区，显然分区的依据就是控制限的 ± 3σ 原则了。
+3σ
+2σ
A B
+1 σ
USL
99.7% 95.5% 68.3%
C C B A
-1 σ
连续 3 点中有 2 0.3048% 点落在中心线同 一侧的 B 区以外
<<常规控制图>>国家标准 GB4091.1～4091.9-83
备注
α (虚发警报)
GB/T4091-2001 点落在中心线同 一侧的 C 区以外
α (虚发警报) 2005?
①
连续 5 点中有 4 0.5331%
α 总 ≈ ∑α i
常规计数值控制图存在的不足
1 以正态分布为基础
②正态分布是对称分布，二项分布和泊松分布是偏态分布
（Schwertman & Schmid，1989）二项分布的近似在通常情况下，即使 样本容量很大取到 n P>5 时，效果也不理想，正态近似的效果与不合格 品率 P 的数值有关。 （Ryan，1989）点子落在 p 图和 pn 图 UCL 外的概率要大于 0.00135， 而落在 LCL 外的概率要小于 0.00135。 (Quesenberry， 1991) 利用 p 图和 pn 图去检测过程不合格品率的下降时， P(D/n)<LCL 非常接近 0。
100 百 分 比 （ 50 ）
常规n (a) 100 百 分 比 （ 50 ） % 0 n (c)
0 n (b)
滑动平均 k=5
CUSUM EWMAPPT课件
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• 双侧CUSUM控制图可以通过同时使用两个单侧CUSUM控制图来实现，其中：上单侧与下单侧CUSUM的
参考值分别记为K1和K2，它们的ARL记为
和
。
• 单侧CUSUM控制图的ARL与双侧CUSUM控制图的ARL即
之间的关系为
L1 () L2 ()
L()
L1
()
L1 1
()
• 利用CUSUM控制图，过程偏移量可以利用点子倾斜程度的变化进行估计。并且， 通过观察倾斜程度的变化，可找到过程出现变化的起点。
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CUSUM控制方法——V型模板
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V型模板的应用方法： 把V型模板的O点放在 最新得到的点子Si上， 直线OP与x轴平行
每当CUSUM打 点图上出现一个 新的点子，就要 移动V型模板， 把O点移到最新 点子上，OP与x 轴平行，应用V 型模板进行控制。
内容：
• CUSUM控制及其应用 • EWMA控制及其应用 • 自相关过程的质量控制
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CUSUM控制及其应用
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常规控制图的不足
• 常规休哈特控制图存在着对过程小偏移不灵敏的缺陷。 • CUSUM控制图的诞生正是为了解决过程小偏移的质量控制问题。 • CUSUM控制图是1954年佩基(Page)提出的。
SH (i)
SL (i)
SH (i)
SH (i)
0
SL (i) SL (i)
或
为负值，则将其置为0；
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• CUSUM控制图的设计原则 设计CUSUM控制图取决于对参考值K和决策值H的选择。 建议：基于对ARL的设计要求，选取参数。
控制图(control charts)
控制图(control charts)又名：统计过程控制( statistical process control)方法演变：EQ \o(\s\up5(－),\s\do2(x))计量值控制图：⎺X－R控制图（又名均值极差控制图），⎺X－s控制图，单值控制图（又名X 控制图，X-R控制图，IX-MR控制图，XmR控制图，移动极差控制图），移动均值-移动极差控制图（又名MA-MR控制图），目标偏差控制图（又名差异控制图、偏差控制图、名义值偏差控制图），CUSUM（又名累计和控制图），EWMA（又名指数加权移动平均控制图），多元控制图（又名Hotelling T2控制图）。
计数值控制图：p控制图（又名不良品率控制图），np控制图，c控制图（又名缺陷数控制图），u控制图。
两种数据都适用的控制图：短期过程控制图（又名稳定控制图或者Z控制图），组控制图（又名多属性值控制图）。
概述控制图是一种对过程变异进行分析和控制的图形工具。
数据按时间顺序绘制在图上，控制图一般有一条代表均值的中心线，一条上控制限位于中心线上方，一条下控制限位于中心线下方，这些线是根据过程数据确定的。
通过当前数据和由历史数据计算所得的控制限的比较，我们可以判定当前过程变异是稳定的（受控制）还是不稳定的（不受控制，受到某个特定因素的干扰）。
控制图分为很多种，不同的过程、不同的数据，我们采用不同的控制图。
计量值数据的控制图经常是成对应用，其中常绘制在上方的一张控制图监测均值，或者说过程数据的分布中心，而绘制在下方的一张控制图监测极差，或者说分布的波动程度。
如果借助于练习打靶的例子来说明，那么均值就是靶子上射击集中的地方，极差是射击点的离散程度。
计量值数据要成对使用控制图，计数值数据则通常只使用一张控制图就足够了。
适用场合·当你希望控制当前过程，问题出现时能察觉并能对其采取补救措施时；·当你希望对过程输出的变化范围进行预测时：·当你判断一个过程是否稳定（处于统计受控状态）时；·当你分析过程变异来源是随机性（偶然事件）还是非随机性（过程本身固有）时；·当你决定怎样完成一个质量改进项目时——防止特殊问题的出现，或对过程进行基础性的改变。
条件视角下的方差控制图设计
The main conclusions are as follows: For the Shewhart-S2 control chart, the EWMA-S2 control chart and the CUSUM-S2 control chart, whether the parameters are known or the parameters are unknown, the larger sample size will have better control chart performance; compared to the equal-tailed control chart, the ARL-unbiased control chart performs better. Since the conditional out-of-control ARL of the Shewhart-S2 chart is too large when the process variance is downward, it is recommended to use EWMA-S2 and CUSUM-S2 control chart when the parameters are unknown. When the process variance is greatly drifted, it is recommended to select the Shewhart-S2 control chart. When the process variance has a small change, it is recommended to select the EWMA-S2 control chart with a small smoothing constant or the CUSUM-S2 control chart with a small deviation from the steady-state variance. A relatively stable modified EWMA-S2 control chart is more recommended when applying the modified control chart. Keywords: conditional performance; integral equation method; EWMA-S2 control chart; CUSUM-S2 究背景和研究意义
第三课 CUSUM & EWMA
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CUSUM控制图包容了观测值序列的全部信 控制图包容了观测值序列的全部信 计算观测值与目标值差值的累积和。 息，计算观测值与目标值差值的累积和。 的样本， 假设采集到样本容量 n ≥ 1 的样本，用 x j 表示第j个样本的均值 个样本的均值。 表示 个样本的均值。如果以 µ0 表示过 程均值的目标值，那么， 统计量为： 程均值的目标值，那么，CUSUM统计量为： 统计量为
j=1
i
其中： 是参考值 是参考值(Reference Value)，通常 其中：K是参考值 ， 取稳态过程均值µ0 与需要检测出的过程偏 之间差值的一半， 移 之间差值的一半，即
µ1 = µ 0 + ∆
∆ δσ x K= = 2 2
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假设 µ1 > µ0 小于零， 自动设置为0 如果 Si 小于零，则Si 自动设置为0。 如果 Si 大于决策值 (Decision Value) H， ， 那么， 那么，可以判断过程均值已经偏移到µ1
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
CUSUM值 值 -1.20 0.27 0.78 0.18 0.26 -0.37 0.25 0.56 -0.92 -0.08
序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
CUSUM值 值 0.32 -0.85 0.94 1.94 2.04 2.62 2.50 3.62 4.43 4.45
——示例 示例CUSUM统计量的结果 示例 统计量的结果
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——示例 示例CUSUM统计量的打点结果 示例 统计量的打点结果
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CUSUM控制的设计思想 控制的设计思想
CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理 控制图的理论基础是序贯分析原理 中的序贯概率比检验(Sequential Probability 中的序贯概率比检验 Ratio Test，简称 ，简称SPRT)，这是一种基本的 ， 序贯检验法。 序贯检验法。 CUSUM控制图的设计思想是对信息加以累 控制图的设计思想是对信息加以累 将过程的小偏移累加起来， 积，将过程的小偏移累加起来，以起到放 大的效果，进而， 大的效果，进而，提高检测过程小偏移的 灵敏度。 灵敏度。
SPC中的EWMA指数加权移动平均控制图
SPC中的EWMA指数加权移动平均控制图========================================================== 本文由QuAInS[注1]根据Douglas Montgomery[注2]相关专注整理而成==========================================================在统计过程控制SPC中，指数加权移动平均（EWMA: Exponentially Weighted Moving Average）控制图常用来侦测流程的微小偏移，作用与累积和控制图（CUSUM：Cumulative Sum）类似，但设置和操作通常要容易一些。
EWMA有时也称为几何移动平均（GMA: Geometric Moving Average），在时间序列建模和预测领域应用十分广泛。
指数加权移动平均控制图由Roberts在1959年提出，后来被广泛使用。
其定义公式为：, 其中常数λ的取值范围为0<λ≤1，z i是EWMA统计量，即所有之前样本均值的加权平均值，。
该公式的初始值z0（当i=1时）取流程的目标值（即在z0=μ0），有时也用初始数据的均值作为初始值，即z0=XBar。
由于EWMA是所有之前和当前样本的加权平均，因此对数据的正态性假设很不敏感，因此，用于单个观测值是十分理想的。
如果观测值x i是独立的随机变量，方差为σ2，那么z i的方差为因此，EWMA控制图的纵轴是z i，横轴是样本序号或时间，中心线和控制限的计算公式为：注意到上述公式中的(1-λ)2i部分，当i逐渐增大时，(1-λ)2i将很快收敛到0，因此当i增大时，UCL和LCL将稳定到下面两个值：，但当i比较小时，强烈建议使用精确公式，这样十分有助于提高此时EWMA控制图的作用以侦测流程的偏移。
以下是一个EWMA控制图的示例：如何决定公式中L和λ的值EWMA控制图对于侦测流程的微小偏移十分有用。
SPC中的EWMA指数加权移动平均控制图
SPC中的EWMA指数加权移动平均控制图========================================================== 本文由QuAInS[注1]根据Douglas Montgomery[注2]相关专注整理而成==========================================================在统计过程控制SPC中，指数加权移动平均（EWMA: Exponentially Weighted Moving Average）控制图常用来侦测流程的微小偏移，作用与累积和控制图（CUSUM：Cumulative Sum）类似，但设置和操作通常要容易一些。
EWMA有时也称为几何移动平均（GMA: Geometric Moving Average），在时间序列建模和预测领域应用十分广泛。
指数加权移动平均控制图由Roberts在1959年提出，后来被广泛使用。
其定义公式为：, 其中常数λ的取值范围为0<λ≤1，z i是EWMA统计量，即所有之前样本均值的加权平均值，。
该公式的初始值z0（当i=1时）取流程的目标值（即在z0=μ0），有时也用初始数据的均值作为初始值，即z0=XBar。
由于EWMA是所有之前和当前样本的加权平均，因此对数据的正态性假设很不敏感，因此，用于单个观测值是十分理想的。
如果观测值x i是独立的随机变量，方差为σ2，那么z i的方差为因此，EWMA控制图的纵轴是z i，横轴是样本序号或时间，中心线和控制限的计算公式为：注意到上述公式中的(1-λ)2i部分，当i逐渐增大时，(1-λ)2i将很快收敛到0，因此当i增大时，UCL和LCL将稳定到下面两个值：，但当i比较小时，强烈建议使用精确公式，这样十分有助于提高此时EWMA控制图的作用以侦测流程的偏移。
以下是一个EWMA控制图的示例：如何决定公式中L和λ的值EWMA控制图对于侦测流程的微小偏移十分有用。
实施SPC两阶段及累积和控制图(CUSUM)
谈到讲解统计质量控制的专著，应该没有哪一本比美国著名统计质量管理专家道格拉斯（Douglas C. Montgomery）的那部《Introduction into Statistical Quality Control》更专业、更系统的了，而今该专著已出版至近十版的事实正是有力的佐证。
这位著名的工业统计学专家在这本专著里不仅对质量控制的统计方法从原理上进行了系统的阐述，而且基于这些阐述，为实践应用提出了丰富的指导意见，这能够很好地帮助我们避免盲目使用这些方法而忽略了一些重要的假设和前提条件。
本文根据道格拉斯（Douglas）的《Introduction into Statistical Quality Control》专著翻译整理，并对累积和控制图（CUSUM）的精髓进行了提炼和总结，省略了一些众所周知的信息（如“是什么”的问题），着重回答“为什么有用”以及“如何用”的问题，以节省读者的学习时间。
在实践中，SPC的实施分为两个阶段在第一个阶段，过程有可能失控或者产生较大的偏移；在第二个阶段，过程通常情况下都处于统计受控状态，不容易产生大的波动或偏移，我们可以获得较为可靠的过程的统计量（如均值和标准差等），但其可能发生较小(1.5σ以内)的偏移。
休哈特控制图在第一个阶段非常有用，一方面，它可以有效地帮助我们侦测出过程失控或者发生较大偏移（1.5σ或更多）的情况；另一方面，它的报警模式能够很有效地引导我们进行过程的诊断和改进，使过程回到统计受控的状态中来。
休哈特控制图本身只根据最新的观测值（或测量值）来判断过程的状态，忽略了数据点作为一个数据序列所包含的信息。
这使得休哈特控制图对于过程较小（1.5σ以内）的偏移不太敏感。
在SPC实时的第二阶段，我们可以使用累积和控制图（CUSUM: Cumulative Sum）或指数加权移动平均（EWMA：Exponentially Weighted Moving Average）控制图（另文叙述），它们都是时间加权(Time-weighted)控制图。
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• SL = cumulative Sum of Low side…
CuSum Chart and Signals
CUSUM Chart for AtoBDist
EWMA
(EWMA) 模型
• t+1时刻 的EWMA预测值如下: ˆ t 1 yt 1 y ˆt y ˆ t 1 y 其中 y 是 (t+1)时刻的预测值 ˆ t, 是 0 到1之间 y t 的加权因素, 在时刻 t 的当前观测值， 是时 刻 ˆ t 1t的先前的预测值。 yt y ˆt y • 是时刻 t的当前观测值 和 时刻 t 的先前预测 值( )的加权平均值.
EWMA存在ຫໍສະໝຸດ 相关 的，不随机 的倾向于只存 在单值的过 程
h
Example of Chart’s Elements
= sum on high side
k Target k
= X - Target = sum on low side
h
CUSUM
Calculation Elements
• Aim = Target value
教学演示: 正自相关数据的 EWMA图
假警报
• 如果我们不按照数据本身 在电阻系数控制图上描点 ，不对间隔时间中的自相 关影响进行检查，我们就 会看到存在更多的“失控 ”情形。 • 比较以前绘制的电阻系数 的单值控制图和RESI1控制 图。 • 注意失控信号表明实际值 和预测值之间存在非常大 的差异。这在很大程度上 降低了假警报率This (减少 Type I误差), 而且还识别未 被发现的问题 (减少 Type II 误差)。参见数据点 number 60 画圈部分。
Calculation Elements
• SH = cumulative Sum of High side difference; used to detect a deviation from Aim on the high side. If value is negative, SH is set to zero; if SH is greater than h, out-of-control condition is indicated. SH value for ith subgroup is:
• Xi = average of subgroup i • = shift from Aim that needs to be detected quickly ^ (often use 1 std. dev. of the variable being ^ monitored) • sx = routine random variability of subgroup averages
CUSUM累积和与EWMA残差控制图的比较
监控的过 期望目标 控制统计 样本大小 程特性 量 CUSUM
随机的，可 以计算 STDEV的 有固定的理 两个。 想的目标值， SH和SL， 监控实际值 随时间的变 偏离目标的 化是否超出 偏差的累积 H线（一般 和 默认为4倍 西格玛）。 只有动态的 目标值，监 控实际值与 动态目标值 的偏差 一个。 残差是否超 出控制上下 限。（一般 为3倍的西 格玛） 适用于单值 和存在子组 抽样的过程
• 在时刻 t的误差项 et 是时刻 t的实际值与预测值 之间的差。
(EWMA) 模型
et 项或时刻 t的误差是:
ˆt et yt y
它是时刻 t的实际值与预测值之间的差距。
可以看作时间序列中前 t-1个观测值的函数
y1 , y 2 , ... , y t 1
对于正自相关的描点的EWMA 控制图是时间序列的误差 et的时 间序列图。
未被发现的失 控