微积分第四章部分习题详解

极小值?并求出此极值.
解:
若为极值点,则,所以.
又
故函数在处取得极大值,极大值为.
习题 4-6
1. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：
(1) y =－；
(2) y = ln(1+)；
(3) y = x；
(4) y = ＋；
(5) y = ；
(6) y=.
解: (1)
当时,; 当时,,且
所以,曲线在内是下凸的,在内是上凸的,点是曲线的拐点.
同理在内也至少有一个实根.又是二次方程,最多有两个实根,故有 两个实根,分别在区间和内. 4. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间［0，1］上的正确性.
解: 显然在［0，1］上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件. 若令则,取,即存在,使得成立.
从而拉格朗日中值定理对函数在［0，1］上成立. 6.若方程有一个正根x0,证明方程 必有一个小于的正根.
(3) 所以,曲线在定义域内处处下凸,没有拐点.
(4) ,令 得 当 时,,当时,;又,函数的定义域为; 所以曲线在内上凸,在内下凸,点是拐点.
(6) 令得 当 时,,当时,,且 ,
所以曲线在内向下凸,在内向上凸,点是拐点. 2. 利用函数的凸性证明下列不等式： (1) ＞， x≠y; (2) xlnx+ylny＞(x+y)ln,x＞0,y＞0,x≠y. 证: (1) 令,则,, 所以函数的曲线在定义域内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有:
区间的分界点,故在内单调下降,所以在内只有一个零点,即方程只有一个
根.
4. 证明下列不等式：
(1) 当x＞0时，；
(2).
证: (1) 令 ,则,
当 时,即单调递增,从而
,故.
(2) 令 ,则
当 时,有,即单调递增,从而 ,即
又令 ,则
当 时,,即 单调递增,从而,即.
综上所述,当时有.
5. 试问a为何值时，f(x) = asinx +sin３x在x =处取得极值?是极大值还是
在上,;在上,,
在上单调递增;在上单调递减.
当时, 有极大值,极大值为.
(4) ,则
且当 时,不存在,又令得
在上,,在上
在上单调递增;在上单调递减;
当时,有极大值,极大值为;
当时, 有极小值,极小值为.
2. 试证方程sinx = x只有一个根.
证: 显然是方程得一个根(亦可将运用零点定理).令,则,而的点不是单调
(2) y = ;
(3) y = ；
(4) y = .
解: (1) ,所以有垂直渐近线 .
又 ,来自百度文库,,
所以不存在水平或斜渐近线.
(2) ,所以有水平渐近线,
又,所以没有斜渐近线,
又函数没有间断点,因而也没有垂直渐近线.
(3) ,所以有水平渐近线,
又函数有两个间断点,
且所以有两条垂直渐近线和,
又 ,所以没有斜渐近线.
(12) ;
(13) ;
(14) .
解:
2.设=5,求常数m,n的值.
解: 而
且
即且
即且 于是得 . 3.验证极限存在，但不能由洛必达法则得出. 解: ,极限存在,但若用洛必达法则,有
因不存在,所以不能用洛必达法则得出. 4.设f(x)二阶可导，求. 解: 这是型未定式,利用洛必达法则有
习题4-4
(4) ,所以没有水平渐近线,
又 函数有间断点,且,所以有垂直渐近线.
又
所以有斜渐近线.
即 即. (2) 令,则
当 时,恒有,所以的曲线在内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 有 即
即. 3. 当a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=a+b的拐点. 解: 因为是二阶可导的,所以在拐点处,而
所以
又拐点应是曲线上的点,所以
解方程 得
所以当时,点为曲线的拐点.
4. 求下列曲线的渐近线：
(1) y = lnx;
习题 4-1
1.验证函数f(x)=lnsinx在[]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使f ′ (ξ)=0. 解: 显然在上连续,在内可导,且,满足罗尓定理的条件.
令,则 即存在,使成立.
3. 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区 间.
解: 显然在上连续,在内可导,且,由罗尓定理知,在内至少存在一点,使, 即在内至少有一个实根.
1. 求下面函数的单调区间与极值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
解: (1)
令得驻点
在上,,在上
在上单调增加,在上单调减少.
当 时, 有极大值,极大值为,
当 时,有极小值,极小值为.
(2) ,令得驻点
在上,;在上,
在上单调递减;在上单调递增.
当时,有极小值,极小值为.
(3) 但当时,不存在,
证: 令,显然在连续,在内可导,且,依题意知.即有.由罗尓定理,至少存在一 点,使得成立,即 成立,这就说明是方程的一个小于的正根.
习题4-2
1.利用洛必达法则求下列极限：
(1) ;
(2) ;
(3)；
(4) ,(a＞0)；
(5) ；
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10)
(11) ;