《多边形及其内角和》ppt课件

n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3) n边形共有对角线 n(n 3)条(n≥3)
2
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条 边所在直线，整个四边形都在这条直线 的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
D
A
随堂练习
求下列图形中x的值：
1400
x0
x0
(1)
1200 800
750
x0
(3)
1500
2x0
1200
x0
(2)
D
E
x0
1500
600
C
1350
AB (4)
AB∥CD
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？ 思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
5、从六边形的一个顶点出发可以画 ３ 条对角线，它 们将六边形分成 ４ 个三角形．
6、正多边形的 边 相等, 角 相等．
E
7、多边形分为凸多边形 和 凹多边形两类A．
D
B
C
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
B
CB
C
2× 180°
= 3600
五边形 A
E
C
D
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
边数 从一个顶点引出 三角形个数 对角线数
内角和
5
2
6
3
3
3×180°=540 °
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° （8-2）×180°
4
4×180°=720°
7
4
.
.
.
.
.
.
5
5×180°=900°
.
.
.
.
.
.
n
n-3
n-2
(n-2)×180°
综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于（n一2）•180°
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C B
图3
C
B
A A P D
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
5
6
8
=108° =120°
=135°
（n-2）×180° n
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
A C 1800
A
B
因为：
A B C D (4 2)1800 3600
所以 : B D 360 0 (A C) 180 0
3
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？
1A
B
5
2
E
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于
360ْ
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？
多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。
例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比 最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____
• 解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x, 则第五个角度数是x+ 100 °.
• X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180° • 11X +100 °= 540° • 11X = 440° • X = 40° • 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°,
多边形的外角和等于 360ْ
An A1
A2 A3
A8 A7
各抒己见
多边形 外角与内角有何关 A6 系？还有其他方法可以推
导出多边形外角和？
A5
A4
多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°（平角），n个外角连同
它们的各自相邻的内角，共有n个180°，
总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的
2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这 四个内角的度数分别是40 °, 80 °, 120 °, 1.20 °
3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 90° ， ∠D的度数是 70 ° .
练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF 平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
A
D E F
B
C
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这 个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 每个外角的度数为________，每个内角的度数 为________.
6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它 的边数是_________.
例2. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增Fra Baidu bibliotek 多少度？ 外角和呢？ 边数增加2或3呢？
解： 设多边形的边数为n， ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°， (n+1-2)•180°- (n-2)•180°
=n•180°-180°-n•180°+360° = 180° 内角和增加180°
人教版数学教材八年级上
11.3多边形
探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
多边形的定义
在同一平面内，由不在同 一条直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形。
五边形
六边形
七边形
……
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边
形……其中三角形是最简单的多
7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________.
练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9， 求这个多边形的边数及内角和。
2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角 与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边 数。
3、 已知多边形的一个内角的外角与其它 各内角的度数总和为600°，求边数．
160°, 140°.
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于_7_2_°.每一个内角等于 _1__4_4_°, 2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 多边 形的边 数是__6___
3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多 边形的边数是__1_2__
今天的收获
1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺 次连结组成的平面图形称为n边形，又称为 多边形。
形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
A
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段， 叫做多边形的对角线。
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
……..
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
探究
……
三角形
四边形
五边形
六边形
从同一顶点引出的对角线的条数：
n边形
0 1 23
分割出的三角形的个数：
n－3
1 2 3 4 n－2
总结2
2. 已知多边形每个内角都等于 150°，求内角和．
3. 一个多边形除了一个内角为 130°外，其余各内角的和为 2030°，求多边形的边数．
4. 已知五边形五个内角的比为 1∶1.5∶2∶2.5∶3，求这个五边形 的五个外角．
8.已知多边形的内角和与某一个外角 的度数总和为1350°，求多边形的边 数.
2、n边形从一个顶点所画对角线的条
数为：n－3
3、n边形的内角和等于：（n－2）×180°
4、利用类比归纳、转化的学习方法，可 以把多边形问题转化为三角形问题来解决;
5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。
课后思考
1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考 考他。将一个多边形截去一个角后(没有过 顶点）得到多边形的内角和将会（ ）
边的邻边是 AE、 BC ，顶点E处的内角为 ∠AED ，过
顶点A画出这个多边形的对角线，共有 2 条，它们
把多边形分成 3 个三角形。
2、n边形有 n 个顶点， n 条边，有 n
有
n个不同顶点的外角．
个角，
3、四边形有 2 条对角线。五边形有
5条
对角线。
4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形．
和，剩下的就是多边形的外角和了！
n 180 0 (n 2) 180 0
21800 3600
多边形的外角和等于
例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外 角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 多边形外角和等于360º， ∴ (n-2)•180°=2× 360º。 解得: n=6 这个多边形的边数为6。
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
C B
四边形ABCD是 凹四边形，因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边 形不都在这条直线 D 的同一侧。
正多边形
正方形的各个角都相等，各条 边都相等。
像正方形这样，各个角都相等，各 条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
1、填空：如图，此多边形应记作 五 边形 ABCDE，AB
A、不变
B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
1. 如果把多边形的边数增加1条，它的 内角和是2160°，那么这个多边形 的边数是 13 。 2. 一个多边形除了一个内角外，其余各角的 和为600°，那么除去的这个角的度数是 12，0° 这个多边形是 六 边形。
交一份满意的答卷！
1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果 ∠B=80°,则∠D的度数是 100° .
边形。
如果一个多边形由n条线段组
成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多
边
顶点
形
的 相B
E 外角
关
概
1
念边
D
C 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
总结1
n边形有___n__个顶点， ___n__条边， ___n__个内角， __2_n__个外角， _____条对角线。
4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的 外角的4倍还多30°，求这个多边形的内 角和及对角线的总条数．
练习：
2. 已知一个多边形的每一个外角都 等于36， 这个 多边形是 几边形？它的每一个内角 是多少度？
3. 六角螺母的一个面是六边形的，这个六 边形的六个内角相等。求每一个内角的 度数。
计算
1. 已知一个多边形内角和是外 角和的2倍，求边数．
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A
D
B
C
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?