混沌入门

12.1.1 混沌理论的发展

"混沌"一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之起源持混沌论，主张宇宙是从混沌状态开始，逐渐形成现今有条不紊的世界的。

1890年，法国科学家庞加莱在研究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生复杂的行为，确定的动力学方程的某些解有不可预见性。三体运动是典型的混沌现象，这一发现使庞加莱成为公认的混沌理论开创者。庞加莱还为混沌动力学理论贡献了一系列重要概念，如奇异点、分岔、同宿、异宿等，还提出了参数微绕、庞加莱截面法等混沌研究方法。到了1903年，庞加莱把动力学系统与拓扑学结合起来，指出混沌存在的可能性。此后，很多科学家在各自的研究领域为混沌的建立进行了知识积累。1918年，G. Duffing的研究揭示了非线性振动系统的奇异现象，后来在生态领域总结出Logistic

方程，作为最简单的一维混沌系统，Logistic方程也是目前研究最深入、应用最广泛的混沌系统。

现代意义的混沌（Chaos）起源于20世纪五六十年代。在保守系统的研究中，Kolmogrov发现如果把一个充分接近可积Hamilton系统的不可积系统当作可积Hamilton系统的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统的运动图像与可积系统基本一致；当扰动较大时，系统图像就会产生混沌现象。随后Arnold和Moser分别给出了较弱条件下的证明。后来，在耗散系统的研究中，美国气象学家Lorenz做出了突出贡献。1963年，Lorenz在用计算机模拟天气变化时，发现一个确定的含有3个变量的自治方程却能产生混沌解，使得气候不能精确重演。他在其著名的论文《确定性的非周期流》中揭示了混沌系统的不可预测性，并指出了非周期性和不可预见性之间的联系，由此拉开了混沌研究的序幕。他还发现了著名的"蝴蝶效应"，并开创了用数值实验方法研究混沌的先河。

20世纪是混沌科学蓬勃发展、突飞猛进的时代。混沌科学倡导者、美国海军部官员Shlesinger说："20世纪科学将永远铭记的只有3件事--相对论、量子力学与混沌。"物理学家福特认为混沌就是20世纪物理学第3次最大的革命。湍流是自然世界寻常惯见的现象，但一直以来却都是物理学上的一个难题。1883年，英国著名实验流体力学家Reynolds通过一个实验演示了湍流的产生。可见有关湍流的研究由来已久。直到1971年，Rulle和Takens通过严密的数学分析独立地发现了奇怪吸引子，并提出了利用奇怪吸引子描述湍流形成机理的新观点，由此就出现了用混沌吸引子来揭示湍流现象的新思维。他们的工作揭示了混沌运动是与奇怪吸引子密切相关的运动，后来他们的思想发展到对时空混沌行为的研究。系统的时空混沌行为，是指在宏观的时间和空间尺度上系统

所表现的极不规则的运动形式。研究时空混沌的一个实际目的是希望用它来揭示湍流的本质，因为湍流问题仍然是对现代科学的挑战。研究多自由度时空系统的复杂行为，无论从理论还是从实际都是非常重要的。

1975年，美籍华人学者李天岩及其导师约克首先在著作中使用"混沌（Chaos）"一词，为这门新兴学科树立了核心概念。1976年，美国生物学家May R.M在《自然》杂志上发表的文章向人们表明了混沌理论的惊人信息：简单的确定性数学模型--Logistic 方程可以产生类似随机的行为。同年，天文学家Henon构造了Henon二维映射，发现Henon 奇怪吸引子是一条无限长不封闭曲线，无限多次盘旋弯曲而不自相交割，但又局限于面积趋于零的区域内，其局部结构在更小的尺度上重复，亦即有自相似性，这揭示了混沌几何结构的另一特征。1977年，第一届国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。

20世纪80年代，混沌的理论框架被迅速填充，一系列刻画混沌系统的概念先后被确定下来。1981年，Shaw提供了用信息流观察混沌运动的新视角，给出了微分方程和映射系统中信息熵的计算公式，并发现区间迭代出现周期解时，信息熵骤然降低。1982年，Cuckenheimer利用Lyapunov指数发展了区分混沌与真正随机运动的算法。同时，人们开始用实验室实验来研究混沌问题，证实了混沌是广泛存在的一类自然现象，是一种新认识到的运动形态。1983年，Ford利用遍历理论得出，混沌产生于通常被称为确定性系统的原因在于"数学上所要求的无限精度与物理系统所提供的显然是有限精度之间的矛盾"，郝柏林更为全面地指出"如果把有限性（包括测量精度的有限性，随机检验的有限性）作为认识世界的出发点，承认自然现象的有限性，就可以从确定论和概率论的根深蒂固的对立中解脱出来。"1986年，中国第一届混沌学会议在桂林召开。

12.1.2 混沌的基本概念

混沌理论起源于自然领域的学者对于大自然许多不可解释与预期现象的一种诠释，对于复杂多变的宇宙事物，甚至于社会科学领域，都是这一派学者所追求的主要课题。这些不同向度的系统，都具有共同的特性，也就是它们在变化无常的演绎背后，呈现出某种无法理解的不确定规则。而混沌理论的学者，就是试图去了解与掌握这些存在于秩序、复杂与混沌边缘的变动原理。

要给混沌下一个准确的定义并不容易。事实上，目前还没有较为统一的关于混沌的定义，许多学者都从不同的角度给出了不同的描述方式。其中最被广泛接受的有

"Li-Yorke定义"和"Devaney R.L定义"等。简单地说，混沌（Chaos）是非线性动力系

统中出现的一种确定性的、貌似无规则的运动，它不需要附加任何随机因素也可以出现类似随机的行为，即存在内在随机性，这种运动既非周期又不收敛，并且对初始值有极其敏感的依赖性。

总的来说，混沌理论主要有以下几个论点。

（1）耗散结构

在此结构中，存在着许多不同的次系统，其本身也非稳定的系统，彼此之间不相称而没有一定的比例关系，有时会陷入混沌暴乱的情境。此种不稳定的状态达到临界点或分歧点，系统内部的平衡即造成断裂，而导致长期的混沌状态，或者趋向于另一个新的、更高层次的耗散结构。基本上，它是一种稳定→崩溃→重组的更新过程。

（2）蝴蝶效应

在耗散结构中，由于各次系统的关系呈现非线性，因此细微之处即可能有巨大影响，如同蝴蝶展翅却造成飓风一般。混沌理论主张任何现象均代表某些意义，不应被歧视地丢弃。忽视表面上看来细枝末节的事件，即可能无法一窥各次系统之间的连接关系，终而造成巨大的损失。

（3）奇怪吸引子

奇怪吸引子是指其性质极为不定，有时复杂，有时却简单，令人难以捉摸。在复杂的系统里，吸引子不止一个，而其走向更是不定，有时看其似有规则可循，有时却杂乱无章，但往往产生巨大能量而左右系统的走向。

（4）回馈机能

系统的过去历史决定其进化方向。然后在随机与动态之中，系统中各吸引子导致成果的产出，一切过程可经由非线性的方程式加以代表。如此反复进行，产出的成果回馈至系统而成为新的输入，并因此产生波动而激发出下一波的新结构。

（5）非线性

混沌理论认为"非线性"才是自然和人文社会的常态，任何事物和现象间常因交互纠葛，形成错综复杂的混沌状态。组织中每种行为都只是暂时反映当时的系统状态，系统的变动是非线性、动态和暂时的，永久平衡并不存在。

而混沌系统则具有以下一些特征。

（1）类随机性