混沌入门

12.1.1 混沌理论的发展
"混沌"一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之起源持混沌论，主张宇宙是从混沌状态开始，逐渐形成现今有条不紊的世界的。

1890年，法国科学家庞加莱在研究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生复杂的行为，确定的动力学方程的某些解有不可预见性。

三体运动是典型的混沌现象，这一发现使庞加莱成为公认的混沌理论开创者。

庞加莱还为混沌动力学理论贡献了一系列重要概念，如奇异点、分岔、同宿、异宿等，还提出了参数微绕、庞加莱截面法等混沌研究方法。

到了1903年，庞加莱把动力学系统与拓扑学结合起来，指出混沌存在的可能性。

此后，很多科学家在各自的研究领域为混沌的建立进行了知识积累。

1918年，G. Duffing的研究揭示了非线性振动系统的奇异现象，后来在生态领域总结出Logistic
方程，作为最简单的一维混沌系统，Logistic方程也是目前研究最深入、应用最广泛的混沌系统。

现代意义的混沌（Chaos）起源于20世纪五六十年代。

在保守系统的研究中，Kolmogrov发现如果把一个充分接近可积Hamilton系统的不可积系统当作可积Hamilton系统的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统的运动图像与可积系统基本一致；当扰动较大时，系统图像就会产生混沌现象。

随后Arnold和Moser分别给出了较弱条件下的证明。

后来，在耗散系统的研究中，美国气象学家Lorenz做出了突出贡献。

1963年，Lorenz在用计算机模拟天气变化时，发现一个确定的含有3个变量的自治方程却能产生混沌解，使得气候不能精确重演。

他在其著名的论文《确定性的非周期流》中揭示了混沌系统的不可预测性，并指出了非周期性和不可预见性之间的联系，由此拉开了混沌研究的序幕。

他还发现了著名的"蝴蝶效应"，并开创了用数值实验方法研究混沌的先河。

20世纪是混沌科学蓬勃发展、突飞猛进的时代。

混沌科学倡导者、美国海军部官员Shlesinger说："20世纪科学将永远铭记的只有3件事--相对论、量子力学与混沌。

"物理学家福特认为混沌就是20世纪物理学第3次最大的革命。

湍流是自然世界寻常惯见的现象，但一直以来却都是物理学上的一个难题。

1883年，英国著名实验流体力学家Reynolds通过一个实验演示了湍流的产生。

可见有关湍流的研究由来已久。

直到1971年，Rulle和Takens通过严密的数学分析独立地发现了奇怪吸引子，并提出了利用奇怪吸引子描述湍流形成机理的新观点，由此就出现了用混沌吸引子来揭示湍流现象的新思维。

他们的工作揭示了混沌运动是与奇怪吸引子密切相关的运动，后来他们的思想发展到对时空混沌行为的研究。

系统的时空混沌行为，是指在宏观的时间和空间尺度上系统
所表现的极不规则的运动形式。

研究时空混沌的一个实际目的是希望用它来揭示湍流的本质，因为湍流问题仍然是对现代科学的挑战。

研究多自由度时空系统的复杂行为，无论从理论还是从实际都是非常重要的。

1975年，美籍华人学者李天岩及其导师约克首先在著作中使用"混沌（Chaos）"一词，为这门新兴学科树立了核心概念。

1976年，美国生物学家May R.M在《自然》杂志上发表的文章向人们表明了混沌理论的惊人信息：简单的确定性数学模型--Logistic 方程可以产生类似随机的行为。

同年，天文学家Henon构造了Henon二维映射，发现Henon 奇怪吸引子是一条无限长不封闭曲线，无限多次盘旋弯曲而不自相交割，但又局限于面积趋于零的区域内，其局部结构在更小的尺度上重复，亦即有自相似性，这揭示了混沌几何结构的另一特征。

1977年，第一届国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。

20世纪80年代，混沌的理论框架被迅速填充，一系列刻画混沌系统的概念先后被确定下来。

1981年，Shaw提供了用信息流观察混沌运动的新视角，给出了微分方程和映射系统中信息熵的计算公式，并发现区间迭代出现周期解时，信息熵骤然降低。

1982年，Cuckenheimer利用Lyapunov指数发展了区分混沌与真正随机运动的算法。

同时，人们开始用实验室实验来研究混沌问题，证实了混沌是广泛存在的一类自然现象，是一种新认识到的运动形态。

1983年，Ford利用遍历理论得出，混沌产生于通常被称为确定性系统的原因在于"数学上所要求的无限精度与物理系统所提供的显然是有限精度之间的矛盾"，郝柏林更为全面地指出"如果把有限性（包括测量精度的有限性，随机检验的有限性）作为认识世界的出发点，承认自然现象的有限性，就可以从确定论和概率论的根深蒂固的对立中解脱出来。

"1986年，中国第一届混沌学会议在桂林召开。

12.1.2 混沌的基本概念
混沌理论起源于自然领域的学者对于大自然许多不可解释与预期现象的一种诠释，对于复杂多变的宇宙事物，甚至于社会科学领域，都是这一派学者所追求的主要课题。

这些不同向度的系统，都具有共同的特性，也就是它们在变化无常的演绎背后，呈现出某种无法理解的不确定规则。

而混沌理论的学者，就是试图去了解与掌握这些存在于秩序、复杂与混沌边缘的变动原理。

要给混沌下一个准确的定义并不容易。

事实上，目前还没有较为统一的关于混沌的定义，许多学者都从不同的角度给出了不同的描述方式。

其中最被广泛接受的有
"Li-Yorke定义"和"Devaney R.L定义"等。

简单地说，混沌（Chaos）是非线性动力系
统中出现的一种确定性的、貌似无规则的运动，它不需要附加任何随机因素也可以出现类似随机的行为，即存在内在随机性，这种运动既非周期又不收敛，并且对初始值有极其敏感的依赖性。

总的来说，混沌理论主要有以下几个论点。

（1）耗散结构
在此结构中，存在着许多不同的次系统，其本身也非稳定的系统，彼此之间不相称而没有一定的比例关系，有时会陷入混沌暴乱的情境。

此种不稳定的状态达到临界点或分歧点，系统内部的平衡即造成断裂，而导致长期的混沌状态，或者趋向于另一个新的、更高层次的耗散结构。

基本上，它是一种稳定→崩溃→重组的更新过程。

（2）蝴蝶效应
在耗散结构中，由于各次系统的关系呈现非线性，因此细微之处即可能有巨大影响，如同蝴蝶展翅却造成飓风一般。

混沌理论主张任何现象均代表某些意义，不应被歧视地丢弃。

忽视表面上看来细枝末节的事件，即可能无法一窥各次系统之间的连接关系，终而造成巨大的损失。

（3）奇怪吸引子
奇怪吸引子是指其性质极为不定，有时复杂，有时却简单，令人难以捉摸。

在复杂的系统里，吸引子不止一个，而其走向更是不定，有时看其似有规则可循，有时却杂乱无章，但往往产生巨大能量而左右系统的走向。

（4）回馈机能
系统的过去历史决定其进化方向。

然后在随机与动态之中，系统中各吸引子导致成果的产出，一切过程可经由非线性的方程式加以代表。

如此反复进行，产出的成果回馈至系统而成为新的输入，并因此产生波动而激发出下一波的新结构。

（5）非线性
混沌理论认为"非线性"才是自然和人文社会的常态，任何事物和现象间常因交互纠葛，形成错综复杂的混沌状态。

组织中每种行为都只是暂时反映当时的系统状态，系统的变动是非线性、动态和暂时的，永久平衡并不存在。

而混沌系统则具有以下一些特征。

（1）类随机性
混沌运动存在类随机性。

但是这种类随机性是由确定性方程产生的，因此一旦系统的初始状态给定，那么混沌信号序列就可以精确地再生。

混沌过程的随机性实质上属于内在随机性，因此，混沌的随机性称为类随机性是比较合适的。

如何理解这种类随机性呢？首先，就混沌系统产生的随机数序列而言并不一定是均匀分布的，而Golomb对伪随机周期序列提出的随机性公设则要求随机序列的元素在周期内均匀分布，当然可以对混沌系统做一些处理以改进其该方面的性能；其次，以最常见的随机性实验--掷硬币为例，那么可知无论投掷实验进行多少次，都不可能写出一个可由以前实验所得的值计算出下一次所得值的公式。

混沌的类随机性的含义与这一表述是一致的，这表示混沌的类随机性意味着混沌的不可预测性。

（2）初值敏感性
混沌系统对初始值十分敏感，随着时间的推移，任意靠近的两个初始条件将表现出各自独立的时间演化。

正所谓"失之毫厘，差之千里"，初始条件的任何微小变化，经过混沌系统的不断放大，都可能在未来的状态中产生极大的差别。

（3）遍历性
混沌运动的遍历性是指混沌变量能在一定范围内按其自身规律不重复地遍历所有状态，即混沌运动轨道局限于一个确定的区域内--混沌吸引域，而混沌轨道将经过吸引域内的每一个状态点。

（4）长期不可预测性
由于混沌系统所具有的轨道的不稳定性和对初值的敏感性，因此不可能长期预测将来某一时刻的动力学行为。

混沌吸引子局部地起着噪声放大器的作用，一个小的起伏会导致相轨很快产生大的偏离；过去和将来没有什么必然的联系。

混沌的随机性意味着混沌的不可预测性。

但是，在应用科学中，"有一定的随机性"通常意味着可预测性。

由于这两种概念的存在，不仅应该认为混沌的不可预测性是其主要特性，而且是比随机性更重要的特性；否则，可能导致概念上的错误。

（5）普适性
所谓普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特性，它不依靠具体的系数或者系统的运动方程而变。

作为一种无周期的"高级"有序运动，如果数值实验的分辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动。

在研究混沌的转变中，出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性，这就是普适性。

常提到的普适性有两种，即结构的普适性和测度的普适性。

前者是指趋向混沌过程中轨线的分岔情况与定量特性不依赖
于该过程的具体内容，而只与它的数学结构有关；而后者指同一映射或迭代在不同测度层次之间嵌套结构的相同，结构的形态只依靠于非线性函数展开的幂次。

（6）非周期定常态
非周期性虽然不是混沌运动的本质特征，却是它的必要特征。

混沌运动必定是非周期运动，但混沌不是任意一种非周期运动，而是确定性的非周期性。

所谓"确定性"，一是指混沌是由确定性动力学方程自身产生的非周期运动，不是外部扰动引起的；二是指混沌是一种定常态行为，不是系统在过渡过程中呈现的非周期性。

（7）整体稳定而局部不稳定
稳定性能够使系统受到微小扰动后仍保持原来状态的属性和能力，一个系统的存在是以结构与性能的相对稳定性为前提的。

混沌具有整体稳定性，而局部不稳定性是指系统运动的某些方面的行为强烈地依赖于初始条件。

2.1.3 混沌的度量与判定（1）
作为非线性动力系统，混沌运动具有很多复杂的特性。

本小节从研究描述混沌系统深刻物理内涵的特征量开始，以定量的角度刻画混沌，并从这些物理量上给出混沌的判定准则。

1. Lyapunov指数
Lyapunov指数是从定量角度描述混沌系统的量，它沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨道沿该方向平均发散或收敛的快慢程度。

因此，最大Lyapunov指数λmax决定轨道覆盖整个吸引子的快慢，最小Lyapunov指数λmin则决定轨道收敛的快慢，而所有Lyapunov指数λ之和∑λi可以认为是大体上表征轨道平均发散的快慢。

任何吸引子必定有一个Lyapunov指数λ是负的；而对于混沌，必定有一个Lyapunov指数λ是正的。

因此，人们只要在计算中得知吸引子中有一个正的Lyapunov 指数，即使不知道它的具体大小，也可以马上判定它是奇怪吸引子，而运动是混沌的。

对于混沌动力系统，λ的大小与系统的混沌程度有关。

假设系统从相空间中某半径足够小的超球开始演变，则第i个Lyapunov指数定义为：
式中，ri(t)为t时刻按长度排在第i位的椭圆轴的长度，ri(0)为初始球的半径。

换言之，在平均的意义下，随着时间的演变，小球的半径会做出如下的改变：
对于一维非线性系统，Lyapunov指数反映了两个靠近的初值所产生的混沌轨道随着时间的推移，即经过多次迭代后的平均发散程度。

若设两轨道初始相距d0，经过n次迭代后，两轨道相距为dn = deλn，则定义λ为Lyapunov指数。

显然，若λ<0，则系统处于稳定状态，即两轨道靠拢；若λ>0，则系统处于不稳定的混沌状态。

在一维动力系统xn+1 = F(xn)中，初始两点迭代后是相互分离的，还是靠拢的，关键取决于导数λ的值。

若λ>1，则迭代使得两点分开；若λ<1，则迭代使得两点靠拢。

但是在不断的迭代过程中，λ的值也随之变化，使得时而分离时而靠拢。

为了从整体上描述相邻的两种状态分离的情况，必须对时间取平均，因此Lyapunov指数可以写为：
对于连续时间系统的Lyapunov指数，设X=[x1, x2, , xn]T∈Rn为n维相空间上一个向量，F=[f1, f2, , fn]T是一个含有非线性函数的向量函数，X0=[x10, x20, , xn0]T为系统相空间中的一个起始点，系统可用下面的微分方程来表示，X=f(X)，设f′(x)表示f的Jacobi矩阵，即
在初值X0处得一阶线性化近似值为：
求解上式得解为：
从上式可以看出，Lyapunov指数反映了系统中各变量在时间演变过程中伸缩变化的平均率。

若将δX0作为相空间中一个小的N维超椭球体，则可以将δX作为t时刻演变后的超椭球体，其各方向主轴的长度由向量δX=[δx1, δx2, , δxn]T给出。

Lyapunov指数谱中的λi(i = 1, 2, , N)和表征了吸引子体积的变化。

对于耗散系统，∑λn<0；对于Hamilton系统，则∑λn=0。

不管是何种系统，若有Lyapunov指数大于零，则系统必定存在混沌现象，当出现两个或两个以上Lyapunov指数大于零时，则系统处于超混沌状态。

Lyapunov指数小于零的方向运动稳定，对初始值不敏感；Lyapunov 指数等于零的方向对应稳定边界（分岔点）；Lyapunov指数大于零的方向轨道以指数率分离，对初始值极端敏感。

因此具有正的Lyapunov指数可作为混沌行为的判据。

2. 分形维数
分形理论是描述混沌信号的另一种手段。

分形是没有特征长度但具有一定意义的自相似图形的总称，最初由Mandelbrot在研究诸如弯曲的海岸线等不规则线时提出，之后人们发现自然界普遍存在分形现象。

分形最主要的特性是自相似性，即局部与整体存在某种相似。

混沌的奇怪吸引子具有不同于通常几何形状的无限层次的自相似结构。

这种几何结构可用分形维数来描述，因此可以通过计算奇怪吸引子的空间维数来研究它的几何性质。

分形维数是分析几何对象复杂性程度的一个重要特征量。

由于复杂运动行为的类型很多，需要用不同的维数来定义，从不同的角度来刻画它的不规则性。

在传统的欧氏几何中，点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。

把这些几何对象做拉伸、压缩、扭曲等变换，都不改变其维数。

这种维数称为拓扑维，记为d。

一般来说，如果在d维空间中考虑一个d维的几何对象，把每个方向的尺寸都放大s倍，就会得到N=sd 倍原来的几何对象。

例如一个立方体，把尺寸的每个方向都放大s倍，就会得到一个大的立方体，它相当于s3个原来的立方体，于是可如下定义维数：
12.1.3 混沌的度量与判定（2）
对于某些几何对象，其维数D是分数，这样的几何体称为分形。

一个典型的分形例子是Cantor集。

取[0, 1]线段，三等分后舍去中段，再对剩下的两端各三等分，同样舍去相应的中段，如此无穷重复下去，最终剩下的点集称为Cantor集。

这样的点有无穷多个，但又处处稀疏，它的维数如何计算呢？取线段[0, 1/3]，把尺寸放大s=3倍，只能得到[0, 1/3]和[2/3, 1]两个与原来相当的对象，于是有：
除个别奇怪吸引子的维数接近整数外，大部分奇怪吸引子都具有分数维数。

它是表征奇怪吸引子这种具有自相似结构特征的指标之一。

分形维数的定义有很多，常见的有Hausdorff维数、Lyapunov维数与盒维数等。

3. 测度熵
熵是信息论中最常用的参数，它代表了人们对信息或系统的未知程度。

在信息论中，熵被定义为：
其中，KB为大于零的常数，Pi只是系统处于第i种状态的概率，熵S是系统无序程度的度量。

根据香浓信息论，只要S>0，则系统总存在一些无法认识的方面。

运动熵可用于混沌程度的识别及其混沌程度的整体度量。

混沌运动的初始敏感性，使得相空间中相邻的相轨道以指数速率分离，初始条件包含的信息会在混沌运动过程中逐渐丢失。

另一方面，如果两个初始条件充分靠近且不能靠测量来区分，但随着时间的演化，它们之间的距离按指数速率增大，使这两条开始被认为"相同的"轨迹最终能区分开来。

从这个意义上，混沌运动产生信息。

将所有时间的信息产生率做指数平均，即得到Kolmogorov熵。

考虑一个n维的动力系统，将它的相空间分割为一个个边长为ε的n维立方体盒子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x(t)，取时间间隔为一个很小量τ，令P(i0, i2, , id)表示起始时刻系统轨道在第i0格子中，t=1时在第i1个格子中，，t=d时，在第id个格子中的联合概率，则Kolmogorov熵定义为：
由Kolmogorov熵的取值可以判断系统运动的无规则运动程度，它代表了信息的平均丢失率。

对于确定性系统的规则运动（包括不动点、极限环、环面），其Kolmogorov 熵为0；对于随机运动，其Kolmogorov熵趋于无穷；而对于混沌运动，则Kolmogorov 熵是大于零的常数。

Kolmogorov熵越大，那么信息的损失速率越快，或者说系统的混沌程度越严重。

在一维映射中，Kolmogorov熵恰好等于Lyapunov指数，对于高维系统，Kolmogorov熵为所有正的Lyapunov指数的和。

从上述Kolmogorov熵的定义和分析可以看出，Kolmogorov熵是系统中信号不可预测性的一个量度，Kolmogorov熵越大，则系统的随机性越强。

4. 自功率谱密度
谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。

对于类随机的混沌信号，不满足绝对可积的条件，不能用Fourier变换求出其频谱。

为了表示混沌信号的频域特征，只能用维纳-辛钦定理，求其自相关函数Rxx(τ)的Fourier变换，根据所得的自功率谱密度函数S xx(f)来分析混沌的频域特征。

根据Fourier分析，任何周期为T的周期运动x(t)都可以展成Fourier级数，其系数与相应的频率的关系为离散的分离谱，而非周期运动的频率是连续谱。

对于随机信号的样本函数，x(t)的功率谱密度函数定义为：
其中，Rx(τ)为x(τ)的自相关函数，即
τ为采样间隔。

对周期运动来说，功率谱只在基频和其倍频出现尖峰。

与准周期对应的功率谱是几个不可约的基频及由它们叠加所在处的尖峰。

不同带宽的噪声的自功率谱的带宽表示了噪声的频带宽窄的特点。

发生倍周期分岔时，功率谱中将出现分频及其倍频，在这些频率点上功率谱图也都具有尖峰；混沌运动的功率谱为连续谱，即出现噪声背景和宽峰。

由于Rx(τ)与Sx(ω)互为Fourier正、反变换，它表示序列相关程度。

因此在规则运动情况下，表示运动的函数序列的自相关函数Rx(τ)具有常数数值和周期振荡，在混沌运动情况下，Rx(τ)将指数迅速减到零。

12.2 几种典型的混沌系统举例
混沌映射是研究混沌系统的工具，通过对混沌映射的研究可以抽象出许多相应的动力学系统的性质和特点。

在加密系统的设计过程中，混沌映射对于生成数字化离散混沌序列也是必不可少的。

下面介绍几种常用的混沌映射。

12.2.1 Logistic映射
Logistic映射即虫口模型，它是目前研究非常广泛的一种混沌映射。

Logistic映射的意义可解释为：在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时，其子代数量远远大于其亲代数量，这样可以认为，在子代出生后，其亲代的数量可忽略不计。

设xn是某种昆虫第n 年的个体数目，这个数目与年份有关，n只取整数值，第n+1年的数目为xn+1。

一维Logistic映射的数学表达式如下：
其中，0≤x≤1，μ为控制参数，0 < μ≤4。

当0 <μ≤1时，该系统有一个定常解0（即初值取0时会使生成的序列全部为0），而且无论初值取为何值，通过多次迭代，序列会最终收敛于0。

当1<μ≤3时，定常解为0和1-1/μ，多次迭代后序列会收敛于这两个值中的一个。

当3<μ≤4时，系统由倍周期通向混沌。

特别地，当3.5699456…<μ≤4时，系统进入混沌状态，迭代生成的值处于一种伪随机分布的状态，而且μ取值越接近4，混沌性越强。

当μ = 4时，Logistic映射的Lyapunov指数为ln2 = 0.6931。

如图12-1所示是Logistic映射分岔图。

使用Logistic映射时应注意如下几点。

①即使Logistic映射处于混沌区，即3.5699456…<μ≤4，也会出现所谓的倒分支现象。

当μ＝4时Logistic映射在[0, 1]区间上出现混沌，称为单片混沌。

当μ逐渐减小时，开始仍为单片混沌，但当μ减小到一个值μ1 = 3.678573…时，会由单片混沌变成2片混沌，即迭代值分布在2个区域，每一次迭代数值从其中一个跳到另一个。

当μ值再减小到μ2 = 3.592572…时，2片混沌又分为4片，μ值继续减小，将产生8, 16, 32等倒分支，倒分支一直延续到μ∞ = 3.5699456。

尽管取值仍是混沌的，但还是会影响混沌序列的性质，故应将μ值取在[μ1, 4]，以改善序列的随机分布性能。

②当两个初值相差很小时，多次迭代后确实会差之千里，但这种差别只有在多次迭代后才会明显（如几十次）。

故在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况。

③一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的，但Logistic映射迭代序列的分布并不是均匀的，而是呈现两头大中间小
的情形，即分布在0、1附近的概率较大。

另外，除了μ=4 的迭代值域为[0, 1]外, 其他μ值的迭代值域都小于这个范围。

计算表明，取定μ值的迭代值上界为μ/4，下界为(1 μ/4)μ×μ/4。

为了保持迭代序列在整个[0, 1]区间的分布特性，在必要的情况下可以通过如下线性变换使每个参数μ下的迭代值域变换到[0, 1]区间，这样便消除了在参数μ作用下混沌方程迭代输出值域的差异性。

下面给出这个公式的一个证明。

由上面描述可知，当μ值取定时，迭代值上界为μ/4，下界为(1 μ/4)μ×μ/4，而这里则希望能够把迭代区域均匀地放大到[0, 1]区间上。

这相当于在二维平面内构造一条线段，如图12-2所示。

这条斜线段的一个端点是((1 μ/4)μ×μ/4, 0)，另外一个端点是(μ/4, 1)，那么输入任何在[(1 μ/4)μ×μ/4, μ/4]区间内的值都可以被线性地映射到区间[0, 1]上。

又知平面直线的两点式公式为：(x x0)/(x1 x0)=(y y0)/(y1 y0)，则将点((1 μ/4)μ×μ/4, 0)和点(μ/4, 1)代入公式，可得：
化简得：
则该公式得证。