计算机逻辑运算和逻辑部件

1）吸收律：
A+A•B=A
证明：A+A•B=A（1+B）=A•1=A
A•（A+B）=A
证明：A•A+A•B=A+A•B=A
A+A•B=A+B
证明：A+A•B=A+A•B+A•B =A+（A+A）•B=A+1•B=A+B
2）分配律： A·(B+C)=A· B+A·C (A+B) ·(A+C)=A+B·C
2.1 逻辑代数及基本运算
★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量 “0”、“1”及“与”、“或”、“非” 等 运算符号构成的代数系统。 ★ 逻辑变量集是指逻辑代数中所有可能的 变量集合,可用任何字母表示,但变量的 取值只能是1或0。 ★ 简单逻辑代数可描述任何复杂逻辑网络。
1、基本逻辑单元
三种基本的逻辑运算与逻辑单元是： 逻辑“与”运算和“与门”电路 逻辑“或”运算和“或门”电路 逻辑“非”运算和“非门”电路
1、存储逻辑电路
触发器：计算机中存放一位二进制信息的 基本单元器件。 触发器有两种稳定状态，分别表示0，1。 其状态取决于当前输入和以前的存储状态。 常用的触发器有基本触发器、RS触发器、 JK触发器、T触发器、D触发器等。 介绍两种触发器：D触发器、J—K触发器
1）D触发器
电路符号： D为数据输入端； CLK为时钟信号； S为置位信号端； CLR复位信号端； Q为输出信号端。 D触发器功能表： 正跳变触发有效。
F 0 0 0 1 0 1 1 1
2、逻辑表达式： ——由逻辑变量、逻辑常量和运算符组成的 表达式。它是逻辑变量的函数， 也是设计逻辑电路的根据。 根据真值表可以列出逻辑表达式。 方法是：把真值表中所有使函数值为1的自 变量组合项“或”起来。 如此，前述三人表决真值表的逻辑表达式为： F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC
2、逻辑代数在电路设计方面的应用 例：设计一个一位全加器电路（包括进位位C）
根据题意列出真值表如右： A 其中A为被加数，B为加数， 0 C为低级进位信号，S i为和， 0 C i为本级向上进位信号。 0 根据真值表得到逻辑表达式： 0
B 0 0 1 C 0 1 0 Si 0 1 1 Ci 0 0 0
二维卡诺图
输入为X1、X2，输出为 F。 左下图为真值表，右下图为卡诺图。 卡诺图的左边上边书写自变量的可能取值， 中间则表明 Mi最小项。最小项即一行真 值表中各自变量或其“非”的逻辑乘积项。
NO M0 M1 M2 M3 X1 X2 0 0 1 1 0 1 0 1 F F0 F1 F2 F3 1 X1 0 X2 0 1
逻辑“或”又称为逻辑反运算. — 运算符号：“ ”（上加横线） — 逻辑表达式为 L= A = 非门电路符号：
A
1 （A=0）
0 （A=1）
L
逻辑真值表： A L 0 1 1 0
2、常用的组合逻辑单元
基本逻辑运算可以构成复杂逻辑关系； 基本逻辑电路也可以形成组合逻辑电路。 常见组合逻辑及其电路如下： . 1）与非门 逻辑表达式： L=A•B 真值表： 电路符号：
BC A 0 1
BC
00
01
11
1
10
1
AC
1
1
AB
根据卡诺图化简结果：F=AB+BC+AC
卡诺图简化规则
◆ 若任何两个标“1”的相邻单元可以形成 一个圈，就可以消去一个变量； ◆ 若任何四个标“1”的相邻单元可以形成 一个圈，就可以消去两个变量； ◆ 若任何八个标“1”的相邻单元可以形成 一个圈，就可以消去三个变量；
根据化简后的逻辑表达式 F=AB+BC+AC， 可以画出相应的三人表决逻辑电路如下：
A
B AB
BC
AC
F
C
由逻辑表达式进行化简需要较强的技巧， 不熟练者很难判断，而卡诺图则直观方便。
3、卡诺图：
——逻辑关系的一种图形表示形式。同 时也是化简逻辑表达式的一种非常有效 的方法。
卡诺图是一种直观的平面方块图。 n 它根据输入变量的数量n将平面划分为2 个方格，用来表示全部输入变量组合项 或者表示全部输出项。 下面举例对此进行说明。
解：根据逻辑表达式做出卡诺图如下：
CD AB 00 00
01 01 11 10
根据卡诺图化简 规则，最后得到 化简后的结果：
FB
1
1
1
1
1
1
1
1
11
10
2.3 逻辑代数的应用
1、逻辑代数在数据处理方面的应用
例：设X=X1X2，Y=Y1Y2是两个二进制
整数，写出判断X>Y的逻辑表达式。 解：输入变量—— X1，X2，Y1，Y2 X1 Y1 X2 Y2 1 0 X X 输出变量—— 1 1 1 0 F=1 (X>Y) 0 0 1 0 F=0 (X<Y)
F 1 1 1
F X1Y1 X 1Y 1 X 2 Y 2 X1Y1 X 2 Y 2
化简上述表达式，得到：
F X 1Y1 X 1Y 1 X 2 Y 2 X 1Y1 X 2 Y 2 X 1Y1 X 2 Y 2 X 1Y1 X 2 Y 2 X 1Y1 ( X 1 X 1 )Y 1 X 2 Y 2 X 1 X 2 Y 2 (Y1 Y 1 ) X 1Y1 Y 1 X 2 Y 2 X 1 X 2 Y 2
X2Y2 00 01 X1Y1 00 01 11 1 1 1 1 1 11 10
若用卡诺图化简， 也得到同样结果：
F X1Y1 Y 1 X 2Y 2 X1 X 2 Y 2
10
例：
1）将寄存器R中的d5位清零，其它位不变。
解：R·(11011111)→ R 即 R= R·(11011111)
X1X2 X3 0 00 M0 01 11 10 M2 M6 M4 1 M1 M3 M7 M5
卡诺图简化规则
仍以前面所述的三人表决逻辑为例。 根据真值表得到的逻辑表达式为： F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC
NO A M0 0 M1 0 M2 0 M3 0 M4 1 M5 1 M6 1 M7 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Байду номын сангаас 0 0 0 1 0 1 1 1
1） 逻辑“与”运算和“与门” 电路
逻辑“与”又称为逻辑乘运算。 运算符号：“· ”,“∧” ,“AND‖等。 1 (A、B均为1) 逻辑表达式： L=A· B = A∧B= 0 (A、B中任一为0) A 与门电路符号：
B L
真值表：用表格说明输入输出变量之间的关系。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L= A· B 0 0 0 1
4）同或门 逻辑表达式：L=A⊙B=A⊕B=AB+AB
– –
真值表： A B 0 0 0 1 1 0 1 1
电路符号：
L 1 0 0 1
A B
L
3、基本运算规律和公式
基本运算规律： 加：A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=1 乘：A · 0=0，A · 1=A，A · A=A，A · A=0 — — 非：A+A=1，A · A=0，A=A 基本公式： 吸收律，分配律，交换律，结合律，反演律
◆ 卡诺图化简的过程就是在卡诺图上找出能 够覆盖给定函数全部为1的单元的个数最 少同时覆盖面尽可能大的圈，然后写出其 最简逻辑表达式。
例：试用卡诺图化简下面的逻辑表达式 。
F ( A, B, C, D) ABC D ABC D ABC D ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD
证明： (A+B) ·(A+C) =A· A+A·C+B· A+B· C =A(1+C+B)+B· C =A+B· C
3）交换律： A+B=B+A
4）结合率：
A· B=B· A
（A+B）+ C = A+（B+C） （A·B）·C = A· （B·C）
5）反演律：
A· B· C=A+B+C A+B+C=A · B· C
对C i采用卡诺图 进行化简得到：
C i=ABC+ABC+ABC+ABC BC 00 A 0 01 BC 1 11 1 1 1 AB 10
Ci AB AC BC
1
AC
根据上述结果画出的一位全加器的 逻辑电路图如下：
Ci AB AC BC
Si A B C
Ci
Si
2.4 计算机中常用的逻辑部件
解：根据逻辑表达式做出卡诺图如下：
根据卡诺图化简 规则，最后得到 化简后的结果：
F B D BD
CD 00 AB 00 01 1 01 11 10 1
1
1
1
1
11
10
1
1
例：试用卡诺图化简下面的逻辑表达式 。
F ( A, B, C, D) ABC D ABCD ABCD ABC D ABC D ABCD ABCD ABCD
D S Q Q CLK CLR
输入
S CLR CLK 0 0 D 1
输出
Q 1
0
1 0
0
0 1 X X
2）将寄存器R中的数据全部置“1”。 解：R+(11111111 )→ R 即R= R+ (11111111) 或 R⊙ R→ R R= R⊙ R 3）设有八位寄存器R1R2R3，试把R1中的高四 位和R2中的低四位合并成一个字节存入R3 。 解：R3 = [R1 ·(11110000) ]+[ R2 ·(00001111)]
2）逻辑“或”运算和“或门”电 路
逻辑“或”又称为逻辑加运算。 运算符号：“+”、“v‖、 ―OR‖等。 1 (A、B中任一为1) 逻辑表达式： L=A+B=A∨B= 0 (A、B均为0) 或门电路符号： 逻辑真值表： A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L=A+B 0 1 1 1
A B
L
3）逻辑“非”运算和“非门”电 路
第二章 计算机中逻辑运算与逻辑器件
★ 计算机是由数字逻辑电路组成的。 ★ 逻辑是指条件和结果之间的关系，即因 果关系。因果关系是二值逻辑。 ★ 电路的输入信号作为条件，输出信号作 为结果，输入输出代表一定逻辑关系。 ★ 逻辑代数是描述/分析/设计逻辑电路的 数学工具。逻辑代数也叫布尔代数。 ★ 运用逻辑运算可以设计最简逻辑电路。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 1 1 0
A B
L
2）或非门
真值表： A 0 0 1 L 1
逻辑表达式：L=A+B
B L 0 1 1 0 0 0 1 A 0
——
电路符号：
B
A B
L — —
3）异或门 逻辑表达式：L=A⊕B=AB+AB 真值表： A B L 电路符号： 0 0 0 0 1 1 A L 1 0 1 B 1 1 0
2.2 逻辑函数三种表示法及关系
1、真值表： ——由逻辑变量的所有可能取值的组合 及其对应的逻辑函数 值所构成的表格。 例：设计三人表 决逻辑电路。得 到真值表如右： ABC为选票， F为选举结果。
NO M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
每个逻辑表达式均可用一个逻辑电路实 现。如果能够用最简单的逻辑表达式描述一 个逻辑关系，就可以用最简单的电路实现之。 因此，化简逻辑表达式具有十分重要的意义。 下面以三人表决逻辑为例说明化简方法：
F ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ( ABC ABC) ( ABC ABC) ( ABC ABC) BC( A A) AC( B B) AB(C C ) BC AC AB
M0
M2
M1
M3
三维卡诺图
输入为X1、X2、X3，输出为 F。 左下图为真值表，右下图为卡诺图。 卡诺图的左边上边书写自变量的可能取值， 规则是最小跳跃。中间则表明最小项。
NO X1 X2 M0 0 0 M1 0 0 M2 0 1 M3 0 1 M4 1 0 M5 1 0 M6 1 1 M7 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 F F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
1
0 0
1
0 1
0
1 0
1
0 1
S i=ABC+ABC+ABC+ABC
C i=ABC+ABC+ABC+ABC
1 1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
现用代数法对“S i‖进行化简：
Si A BC ABC A BC ABC A( BC BC ) A( BC BC) A( B C ) A( B C ) A B C