三重积分详解

x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域 。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
Ω
1− x
I =
.
∫∫ dxdy ∫
D
xy
0
f ( x , y , z )d z =
2 x y 2
∫∫∫ z dxdydz = ∫1 dx∫0 dy∫0
Ω
zdz
1 2 dx x y2dy 1 2 3 = ∫1 ∫0 x dx = 5 . = 8 24 ∫1 32
例
为三次积分， 化三重积分I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三次积分，
Ω
Ω为由曲面 z = x2 + 2y2 及 其中积分区域
面上投影， Ω向xoy 面上投影，得到 D。
1 ≤ x ≤ 2, D: 0 ≤ y ≤ x.
1 2
o
D
y
x
, 过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴的直线 得到
y 0≤ z ≤ . 2
于是， 于是，
1 ≤ x ≤ 2, 即 Ω : 0 ≤ y ≤ x， 0 ≤ z ≤ y 2.
z
0
.
6
y
2
x
6
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = z6所围成的区域 所围成的区域
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
(2)在 个 vi 上 取 点 ξi ,ηi ,ζ i ) 作 积 每 ∆ (2)在 任 一 ( 乘 f (ξi ,ηi ,ζ i ) ⋅ ∆vi ， i = 1,2,⋯, n)， (
(3)
∑ f (ξ ,η , ζ
i =1 i i
n
i
)∆vi
λ (4)如果当各小闭区域的直径中的最大值 (4)如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 在， 时 这和 的 限 在， 此 限 函 f ( x, y, z) 在 ， 式 极 存 则称 极 为 数 闭区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫ f ( x, y, z)dv ,即 上的三重积分，
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法） 2.截面法（先二后一法） 截面法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
其中 = {( x , y , z ) | c1 ≤ z ≤ c 2 , ( x , y ) ∈ Dz }
先做二重积分，后做定积分 先做二重积分，
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
c2
c1
Ω
Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法） 2.截面法（先二后一法） 截面法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
其中 = {( x , y , z ) | c1 ≤ z ≤ c 2 , ( x , y ) ∈ Dz }
先做二重积分，后做定积分 先做二重积分，
c2
z
Ω
Dz
z
c1
解
z
面上投影， Ω向xoy 面上投影，得到 D。
1 ≤ x ≤ 2, D: 0 ≤ y ≤ x.
1 2
o
D
y
x
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴的直线 得到 ,
y 0≤ z ≤ . 2
1 ≤ x ≤ 2, 即 Ω : 0 ≤ y ≤ x， 0 ≤ z ≤ y 2.
z
解
z = x2 + y2 +.
1
o
4
x
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
: 曲面 z = x 2 + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域 z
取第一卦限部分
z = x2 + y2 + 1
y
x+ y = 4
.
1 1
o
4
x
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
0
.
6
y
2
x
6
例
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
1.先一后二法 先一后二法
I=
z z2(x,y)
∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
Ω
I =∫∫ dxdy
D
∫
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程： 三重积分化为三次积分的过程：
第二节
三 重 积 分
一、三重积分的概念
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数，
(1)将 闭 域 ∆ ⋯ (1)将 区 Ω任 分 n 个 闭 域 v1 ， v2 , , ∆vn， 意 成 小 区 ∆ 个小闭区域， 也表示它的体积, 其中∆vi 表示第i 个小闭区域，也表示它的体积,
: 曲面 z = x 2 + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域 z
I=
∫∫ dxdy ∫
D
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
=
∫
4
0
dx ∫
4− x
0
dy ∫
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
. .
Ω
y
y=0
x+ y = 4
于是， 于是，
∫∫∫ x dxdydz = ∫0dx∫0 Ω
1
Ω
1− x 1−x−2 y 2 dy xdz
∫0
= ∫0 dx∫0 = ∫0 dx∫0
1
1
1
1− x 2
[ xz] 1−x−2 y dy 0
1− x 2 ( x − x2 − 2xy)dy
= ∫0 ( x − x ) y − xy
2
2
[
2
dz ∫∫ f ( x,y,z )dxdy
Dz
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法） 2.截面法（先二后一法） 截面法
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 , 的直线 得到
1
z
1
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是， 于是，
∫∫∫ x dxdydz = ∫0dx∫0 Ω
Ω
1− x 1−x−2 y 2 dy xdz
∫0
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 , 的直线 得到
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
z = 2 − x2 所围成的闭区域. 所围成的闭区域.
z = x2 + 2 y2 , 解 由 2 z = 2− x
2 2 得交线投影区域 x + y ≤ 1,
−1 ≤ x ≤ 1 故 Ω： − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
z1 ( x, y )
f ( x, y, z)dz.
x
∫∫∫ f ( x, y, z)dv =
Ω
∫a dx∫y1( x) dy∫z1( x, y)
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭 相交不多于两点情形． 区域Ω 的边界曲面S 相交不多于两点情形．
∫ dx ∫
0
1
0
dy ∫
xy
0
f ( x , y , z )dz
x
2.截面法（先二后一法） 2.截面法（先二后一法） 截面法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
c2
z
其中 = {( x , y , z ) | c1 ≤ z ≤ c 2 , ( x , y ) ∈ Dz }
先做二重积分，后做定积分 先做二重积分，
]
1− x 2
0
1 1( x 2x2 x3 )dx dx = ∫0 − + 4
1
1 x − 2 x3 + 1 x4 1 . = = 48 4 2 3 4 0
例
计算三重积分∫∫∫ z dxdydz。
Ω
其中 Ω：平面 x = 1, x = 2, y = x, z = 0,及
2z = y 所围成的闭区域. 所围成的闭区域.
Ω
z
N
z2(x,y)
I =∫∫ dxdy
D
∫
z2 ( x , y )
Ω
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
z1(x,y)
M
闭区域Ω 在 xoy 闭区域Ω 面上的投影为闭区域D,
S1 : z = z1( x, y), S2 : z = z2( x, y),
. .
0 y
D
x
P
二、直角坐标系下三重积分的累次积分法
−1 ≤ x ≤ 1 故 Ω： − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , 2 x + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
因此， 因此，I = ∫−1dx∫−
1
1−x2 1−x2
dy∫x2+2 y2 f ( x, y, z)dz.
2−x2
例
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z =z 6所围成的区域 所围成的区域
6 x+y+z=6
y=0
.
0
z=0
6
y
2 4
x
6
例.
y
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域
6 z
6− x − y
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
6
I = ∫∫ dxdy ∫
D
0
f ( x , y , z )dz
. .
0
D 2 4
x 0
.
6
2y 3 y 2− 3 4− 6− x − y
y
2 4
x
D
I = ∫ dy ∫
0
6
dx ∫
0
f ( x, y, z )dz
6
例
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
: 曲面 z = x 2 + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域 z
Ω
lim ∫∫∫ f ( x, y, z)dv = λ→0 ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi .
Ω i=1
n
其中dv 其中 叫做体积元素.
在直角坐标系中， 用平行于坐标面的平面 在直角坐标系中，如果 来划分Ω, 则∆vi = ∆x j ∆yk∆zl .
三重积分记为 三重积分
lim ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz= λ→0 ∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi .
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = z 6所围成的区域 所围成的区域
6 x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 z 所围成的区域
z
z2 z1
(1) Ω向xoy 面上投影，得到D。 面上投影，
(2) 过点 ( x, y) ∈ D 作直线 ,
得到 z1( x, y) ≤ z ≤ z2( x, y).
Ω
(3)
∫∫∫ f ( x, y, z)dv
Ω
a
b
o
( x, y)
D
y
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y )
a ≤ x ≤ b, (4) D x 轴投影，得到 D : 向 y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
1
.
D
o
4
x
例.
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.例 例
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 相交多于两点时， 闭区域Ω的边界曲面S 相交多于两点时，把 ． Ω分若干个小区域来讨论
例
计算三重积分∫∫∫ xdxdydz，其中Ω为三个坐标 所围成的闭区域. 面及平面x + 2 y + z = 1所围成的闭区域.
Ω
解
面上投影， Ω向xoy 面上投影，得到 D。 0 ≤ x ≤ 1, D: 0 ≤ y ≤ 1− x . 2
Ω
i=1 n
其中dxdydz叫做直角坐标系中的体 其中 积元素 .
三重积分的性质与二重积分的类似。 三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， 特别地， 被积函数 f ( x, y, z) = 1时，
∫∫∫ dv = Ω的体积.
Ω
二、直角坐标系下三重积分的累次积分法
1.先一后二法 先一后二法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz