复杂网络间同步的最优连接方式
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与两个网络间所有可能的连接方式下整体 网络连接矩阵的第二大本征值中的最小值
λ02 （图中用“o”表示）进行比较。显然，当 λb2 = λ02 时，即最优连接策略是两个网络在
只有一条边连接下构成的整体网络同步能 力最优的一种连接方式。由图 3（a）可知， 这一结果不依赖于生成网络的参数 m。为了 进一步确定最优连接与随机连接对连接后 整体网络的同步能力的影响，我们计算了随 机连接时，整体网络的连接矩阵的第二大本
内部的拓扑结构对网络同步能力的影响，他 们对如何改变网络自身拓扑结构来增加网 络的同步能力做出了重要贡献。然而，不同 网络之间的同步现象也广泛存在于我们的 生活中，并值得我们关注，如果同步是有利 的，我们应该尽量增强它；相反，就应该减 弱它。这里我们列举两个例子来说明。从社 会科学的角度来看，我们的世界可以分为两 个网络：由发达国家组成的网络和由发展中 国家组成的网络。随着国际间交流的日益增 多，这两个网络将会达到一个同步状态，我 们的世界就会变成一个和谐的社会。从计算 机网络的角度看，所有教育家的计算机组成 教育网,而科学家的计算机组成的科学家网， 它们通过万维网连接,当两个网络同时访问 同一网络资源时就会出现网络阻塞，这是不 希望出现的同步，应该尽量避免[6]。现实中 我们也常会遇到两个结构相对固定的复杂 网络之间怎样连接能使整体网络的同步能 力最优的问题。比如两个公司内部员工之间 的联系非常紧密，而公司之间员工的联系非 常稀疏，如果有个消息要在两个公司传递， 而两个公司员工之间又只能有很少人有联 系，那么我们该如何在两个公司选择负责联 系的人能让消息更快的传递给每个员工 呢？文献[7]分析了两个相同的群（复杂网 络）之间的群同步现象。文献[6]从理论上得
可以有丰富的动力学行为。ε 为耦合强
度． H (⋅) 为各节点状态变量之间的内部耦
合函数。Ａ为连接矩阵，定义如下：若节点
i 和 j 之间有连接，则 aij = a ji = 1 ，否则
n
∑ aij = a ji = 0(i ≠ j) ，且 ai,i = − ai, j ， j=1, j≠i
∑ 即满足耗散耦合条件 aij = 0 。此时，显 j
类[12]：第一类中，网络的同步能力用 λ2 来 刻画。 λ2 越小，网络的同步性能越好。第 二类中，网络的同步能力则用 β = λN / λ2 来刻画。β 越小同步能力越好。这两个结果
似乎是矛盾的，但研究表明它们都是正确
的，因为他们分别针对 f (⋅) 具有不同形状的
同步化区域的情形。其中，第一种类型的同 步化区域是无界的，而第二种类型则是有界 的[13]。本文采用第一类中判断同步的标准， 即连接后整体网络的连接矩阵 A 的第二大
此可见，最优连接策略对很多实际网络都适 用，它可以很方便使提高两个网络连接后的 同步化能力。
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测通过在两个复杂网络的度最大的节点或 者中心节点之间进行连接可以使网络的同 步能力最优。该连接方式即为本文提出的复 杂网络间只有一条连接下整体同步能力最 优的连接策略—度最大或中心连接策略。这 一策略不仅操作方便且不依赖于网络的大 小，对大网络的数值模拟表明，这个策略 也是成立的。进一步研究发现，大多数情 况下度最大的节点和中心都是同一点。而 当两者不是同一点时，则比较这两种连接
是适用的。尽管 λb2 与 λ02 有不重合的时候， 但绝大多数情况下 λb2 = λ02 都成立。即使在 不重合时，λb2 也比 λr2 更接近 λ02 。这说明我
们提出的最优连接策略能在很大程度上提 高网络的同步能力，而且在大部分网络中就 是网络间同步的最优连接方式。值得一提的 是,当两者不吻合时，通常选择群内度次大或 最短路径次小的节点连接时网络的同步化 能力最好。即使在不吻合的时候，最优连接 策略下网络的同步能力和实际最优网络的 同步能力之间的偏差也很小。采用最优连接 策略仍比随机连接更有助于网络的同步。由
图 1 （a） 随机选取的两个网络 （b）-（g） 图 （a）中两个网络之间存在的所有连接方式，相应
的连接后整个网络的第二大本征值为别为：
λ2 = −0.2679 ， λ2 = −0.2955 ， λ2 = −0.2254 ， λ2 = −0.3403 ， λ2 = −0.3983 ， λ2 = −0.2679 。
1.本课题得到基国家自然科学基金（10575016)和江西省教育厅科技计划项目( [2007]209)的资助
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出了两个复杂网络间达到同步的基本条件。 本文主要研究两个复杂网络（群）在有限连 接下的整体同步问题。在两个复杂网络间只 增加一条边连接的前提下，提出了使两者组 成的整体网络的同步能力最优且普适的最 优连接策略──最大度节点连接或中心连接 策略。以无标度网络、随机网络和小世界网 络作为模型进行数值仿真，结果表明这种连 接策略的效果远优于随机连接策略。
大本征值 λ2i ，它们的关系如图 2(a)所示。
由拟合曲线可知连接后系统同步能力与所 选点的的最短路径 d i呈线性关系,所选节点
的 di越小，则 λ2i 越小，同步能力越大即选
择网络的中心点连接时更容易同步。接下来 我们用同样的方法考查度最大的节点对连 接后的整体网络同步能力的影响。图 2(b)为 所选节点的度 ki和该点连接后整个网络连
文章编号：
１ 引言
1998 年 Watts 和 Strogatz 指出,许多现 实世界中的复杂网络不是规则网络或者随 机网络,而是具有小世界特性的网络,即是一 种具有小的最短路径和高的聚类系数的一 种网络结构[1]。 1999 年,Barabási 和 Albert 指出,许多现实世界的复杂网络还具有无标 度的特点,进一步引起了人们对复杂网络研 究的兴趣[2]。对于物理学家而言，研究复杂 网络的终极目标之一就是理解网络的拓扑 结构对物理过程的影响。而网络上的同步正 是在网络的拓扑性质和网络的功能之间搭 起了一座桥梁。到目前为止，大部分的工作 专注于复杂网络内部的拓扑结构对同步的 影响。有研究指出，相比于规则网络和随机 网络，小世界网络能够更有效地促进网络上 振子的同步。这个现象的重要原因是小世界 网络具有较小的平均最短路径，而小的平均 最短路径能够使得网络上的信息传播更加 有效，更加迅速[3]。同时，也有一些文章指 出，整个网络拓扑结构的非均匀性能够抑制 小的平均最短路径对混沌同步的贡献[4]。文 献[5]利用自组织演化模型指出均匀网络是 最适合网络同步的，它具有小的平均最短路 径，小的网络边上最大流和小的集聚系数。 所有上面提到的这些工作关注的都是网络
（WS 模型，网络节点数 N=100，初始规 则网络中每个节点都与它左右相邻的各 K/2 节点相连，这里我们取 K=4，断边重 连概率 p=0.5）为例（该网络其它参数下， 和其它网络结构如无标度网络下也有同样 的结果）。简单起见，选取两个相同的小世 界网络作为待连接的网络组，在两个网络中 各取相同位置的节点进行连接，计算出每个 连接的点在单个网络中的平均最短路径 d i 以及此点连接后整个网络连接矩阵的第二
２ 同步能力判断准则
两个复杂网络(节点数分别为
N
和
1
N 2)
连接后的整体可以看成是一个由
N
1+N
个
2
相同的节点构成的连续时间耗散耦合动态
系统，第 i 个节点的状态方程为[8,9]：
N
∑ u&i = f (ui ) + ε aij H (u j )
这里 u j ∈ R n ， f (uj=)1 具有非线性并且
方式下各自的 λ2 大小来确定哪种连接方
式更好。大量数值结果表明，此时选择度 最大的节点的概率大于选择中心的概率。
为了看清中心节点在网络连接中对同 步能力的影响，我们计算两个网络相连时 所选节点的平均最短路径（连接前的单个 网络中）与连接后的整个网络连接矩阵的
第二大本征值 λ2 的关系，以小世界模型
接的前提下，提出了使两者组成的整体网络的同步能力尽量最优且普适的连接策略，称之为
最优连接策略。通过对无标度网络、随机网络和小世界模型进行数值仿真，发现该连接策略
是使两网络在只有一条边连接时整体同步能力最佳的连接方式。
关键词: 复杂网络；同步；网络间连接；最优连接
中图分类号: TN338.8
文献标识码: A
本征值 λ2 越小，则说明这种连接对提高网
络间同步的能力越好。
3 最优连接策略
3.1 提出策略
我们关注的是在两个结构相对固定的 网络间怎样增加一条边相连，能使整体网络 的同步能力最优的问题。首先考虑两个网络 比较小的情况，这时可以列举出所有可能的 连接方式，直观地比较出最优化连接的特 点。图 1（a）为随机选取的两个小网络模型， （b）-（g）为它们之间所有可能的连接方 式。
首先考查无标度网络，采用 BA 模型， 参数 m（每增加一个节点时该点与网络原有 节点相连的边数）的值决定了所生成网络的 平均度，网络的大小 N=500。我们计算出两
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个网络在最优连接策略下整体网络的连接
矩阵的第二大本征值 λb2 （图中用“+”表示）
征值 λr2（图中用“ Δ ”表示）。结果表明，随 机连接时 λr2 明显大于 λb2 ，即随机连接时整
体网络的同步能力远小于最优连接。值得说 明的是，为了尽量消除网络的随机结构对结 果的影响,对于每个参数 m 值,上述量的结果 都是取 20 对网络组的平均值，而且结果不 受网络的大小 N 影响。下面我们考查小世界 模型和随机网络，采用 WS 小世界模型，初 始规则网络中每个节点都与它左右相邻的 各 K/2 节点相连，这里我们取 K=10，断边 重连概率为 p。我们同样计算不同 p 值时与 BA 模型相应的几个量的关系如图 3(b)所 示。显然，当 p=1 时，网络为完全随机网络。 从图中可以看出，度最大节点或中心连接策 略对具小世界特性的网络和对随机网络也
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复杂网络间同步的最优连接方式 1
陈月华 1，吴晔 1，刘维清 1,2，肖井华 1
Leabharlann Baidu
1 北京邮电大学理学院，北京（100876） ２江西理工大学理学院，江西赣州（341000）
E-mail: abc@bupt.edu.cn
摘 要: 研究了两个复杂网络在有限连接下的整体同步问题。在两个网络间只增加一条边连
然Ａ是实对称矩阵，由矩阵理论可知，其本 征值均为实数，可记为
0 = λ1 > λ2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ≥ λN 。网络的同步化区 域则由孤立节点的动力学函数 f (⋅) 和内部 耦合函数 H (⋅) 确定[8-11]。同步稳定性要求除 λ1 =0 外，所有本征值都落在同步化区域里。
目前，对网络同步能力的判断准则主要有两
此时，连接矩阵的第二大本征值 λ2 分
别如图 1 所示。显然图 1（f）的连接方式下
的 λ2 最小，也就是这种连接下网络的同步
能力最优。我们再来分析下这种最优连接的 特点，显然，这条边是加在每个网络的度最 大的节点之间，同时这两个点也分别是各自 网络的中心。这里，中心是指网络其他点到 它的平均最短路径最小的点。据此，我们推
图 2 连接前网络节点的 (a)平均最短路径 di，(b) 节点度 ki 与连接后网络的 λ2i 的关系
3.2 模拟验证及分析
接下来，我们来验证这个策略是否是两 个网络间同步的一个最优方法。因为小世界 模型、无标度网络和随机网络是比较典型的 复杂网络模型，可以代表一大部分实际网 络，所以我们分别通过这三种经典网络模型 来验证度最大节点或中心连接策略的可靠 性。并将随机连接策略（随机在两群内选择 节点连接）下整体网络的同步能力与最优策 略作比较。结果表明，该策略是最优连接策 略。
接矩阵的第二大本征值 λ2i 的关系。以无标
度网络（BA 模型，网络节点总数 N=100， 初始网络为节点数为 5 的全连通网络，每增
加一个节点时该点与网络原有节点相连的 边数 m=5）为例，由图 2(b)可见随着所选节
点的度的增大， λ2i 有减小的趋势，同步能
力变大,即选择网络度最大的节点连接时网 络同步能力会更好。
λ02 （图中用“o”表示）进行比较。显然，当 λb2 = λ02 时，即最优连接策略是两个网络在
只有一条边连接下构成的整体网络同步能 力最优的一种连接方式。由图 3（a）可知， 这一结果不依赖于生成网络的参数 m。为了 进一步确定最优连接与随机连接对连接后 整体网络的同步能力的影响，我们计算了随 机连接时，整体网络的连接矩阵的第二大本
内部的拓扑结构对网络同步能力的影响，他 们对如何改变网络自身拓扑结构来增加网 络的同步能力做出了重要贡献。然而，不同 网络之间的同步现象也广泛存在于我们的 生活中，并值得我们关注，如果同步是有利 的，我们应该尽量增强它；相反，就应该减 弱它。这里我们列举两个例子来说明。从社 会科学的角度来看，我们的世界可以分为两 个网络：由发达国家组成的网络和由发展中 国家组成的网络。随着国际间交流的日益增 多，这两个网络将会达到一个同步状态，我 们的世界就会变成一个和谐的社会。从计算 机网络的角度看，所有教育家的计算机组成 教育网,而科学家的计算机组成的科学家网， 它们通过万维网连接,当两个网络同时访问 同一网络资源时就会出现网络阻塞，这是不 希望出现的同步，应该尽量避免[6]。现实中 我们也常会遇到两个结构相对固定的复杂 网络之间怎样连接能使整体网络的同步能 力最优的问题。比如两个公司内部员工之间 的联系非常紧密，而公司之间员工的联系非 常稀疏，如果有个消息要在两个公司传递， 而两个公司员工之间又只能有很少人有联 系，那么我们该如何在两个公司选择负责联 系的人能让消息更快的传递给每个员工 呢？文献[7]分析了两个相同的群（复杂网 络）之间的群同步现象。文献[6]从理论上得
可以有丰富的动力学行为。ε 为耦合强
度． H (⋅) 为各节点状态变量之间的内部耦
合函数。Ａ为连接矩阵，定义如下：若节点
i 和 j 之间有连接，则 aij = a ji = 1 ，否则
n
∑ aij = a ji = 0(i ≠ j) ，且 ai,i = − ai, j ， j=1, j≠i
∑ 即满足耗散耦合条件 aij = 0 。此时，显 j
类[12]：第一类中，网络的同步能力用 λ2 来 刻画。 λ2 越小，网络的同步性能越好。第 二类中，网络的同步能力则用 β = λN / λ2 来刻画。β 越小同步能力越好。这两个结果
似乎是矛盾的，但研究表明它们都是正确
的，因为他们分别针对 f (⋅) 具有不同形状的
同步化区域的情形。其中，第一种类型的同 步化区域是无界的，而第二种类型则是有界 的[13]。本文采用第一类中判断同步的标准， 即连接后整体网络的连接矩阵 A 的第二大
此可见，最优连接策略对很多实际网络都适 用，它可以很方便使提高两个网络连接后的 同步化能力。
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测通过在两个复杂网络的度最大的节点或 者中心节点之间进行连接可以使网络的同 步能力最优。该连接方式即为本文提出的复 杂网络间只有一条连接下整体同步能力最 优的连接策略—度最大或中心连接策略。这 一策略不仅操作方便且不依赖于网络的大 小，对大网络的数值模拟表明，这个策略 也是成立的。进一步研究发现，大多数情 况下度最大的节点和中心都是同一点。而 当两者不是同一点时，则比较这两种连接
是适用的。尽管 λb2 与 λ02 有不重合的时候， 但绝大多数情况下 λb2 = λ02 都成立。即使在 不重合时，λb2 也比 λr2 更接近 λ02 。这说明我
们提出的最优连接策略能在很大程度上提 高网络的同步能力，而且在大部分网络中就 是网络间同步的最优连接方式。值得一提的 是,当两者不吻合时，通常选择群内度次大或 最短路径次小的节点连接时网络的同步化 能力最好。即使在不吻合的时候，最优连接 策略下网络的同步能力和实际最优网络的 同步能力之间的偏差也很小。采用最优连接 策略仍比随机连接更有助于网络的同步。由
图 1 （a） 随机选取的两个网络 （b）-（g） 图 （a）中两个网络之间存在的所有连接方式，相应
的连接后整个网络的第二大本征值为别为：
λ2 = −0.2679 ， λ2 = −0.2955 ， λ2 = −0.2254 ， λ2 = −0.3403 ， λ2 = −0.3983 ， λ2 = −0.2679 。
1.本课题得到基国家自然科学基金（10575016)和江西省教育厅科技计划项目( [2007]209)的资助
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出了两个复杂网络间达到同步的基本条件。 本文主要研究两个复杂网络（群）在有限连 接下的整体同步问题。在两个复杂网络间只 增加一条边连接的前提下，提出了使两者组 成的整体网络的同步能力最优且普适的最 优连接策略──最大度节点连接或中心连接 策略。以无标度网络、随机网络和小世界网 络作为模型进行数值仿真，结果表明这种连 接策略的效果远优于随机连接策略。
大本征值 λ2i ，它们的关系如图 2(a)所示。
由拟合曲线可知连接后系统同步能力与所 选点的的最短路径 d i呈线性关系,所选节点
的 di越小，则 λ2i 越小，同步能力越大即选
择网络的中心点连接时更容易同步。接下来 我们用同样的方法考查度最大的节点对连 接后的整体网络同步能力的影响。图 2(b)为 所选节点的度 ki和该点连接后整个网络连
文章编号：
１ 引言
1998 年 Watts 和 Strogatz 指出,许多现 实世界中的复杂网络不是规则网络或者随 机网络,而是具有小世界特性的网络,即是一 种具有小的最短路径和高的聚类系数的一 种网络结构[1]。 1999 年,Barabási 和 Albert 指出,许多现实世界的复杂网络还具有无标 度的特点,进一步引起了人们对复杂网络研 究的兴趣[2]。对于物理学家而言，研究复杂 网络的终极目标之一就是理解网络的拓扑 结构对物理过程的影响。而网络上的同步正 是在网络的拓扑性质和网络的功能之间搭 起了一座桥梁。到目前为止，大部分的工作 专注于复杂网络内部的拓扑结构对同步的 影响。有研究指出，相比于规则网络和随机 网络，小世界网络能够更有效地促进网络上 振子的同步。这个现象的重要原因是小世界 网络具有较小的平均最短路径，而小的平均 最短路径能够使得网络上的信息传播更加 有效，更加迅速[3]。同时，也有一些文章指 出，整个网络拓扑结构的非均匀性能够抑制 小的平均最短路径对混沌同步的贡献[4]。文 献[5]利用自组织演化模型指出均匀网络是 最适合网络同步的，它具有小的平均最短路 径，小的网络边上最大流和小的集聚系数。 所有上面提到的这些工作关注的都是网络
（WS 模型，网络节点数 N=100，初始规 则网络中每个节点都与它左右相邻的各 K/2 节点相连，这里我们取 K=4，断边重 连概率 p=0.5）为例（该网络其它参数下， 和其它网络结构如无标度网络下也有同样 的结果）。简单起见，选取两个相同的小世 界网络作为待连接的网络组，在两个网络中 各取相同位置的节点进行连接，计算出每个 连接的点在单个网络中的平均最短路径 d i 以及此点连接后整个网络连接矩阵的第二
２ 同步能力判断准则
两个复杂网络(节点数分别为
N
和
1
N 2)
连接后的整体可以看成是一个由
N
1+N
个
2
相同的节点构成的连续时间耗散耦合动态
系统，第 i 个节点的状态方程为[8,9]：
N
∑ u&i = f (ui ) + ε aij H (u j )
这里 u j ∈ R n ， f (uj=)1 具有非线性并且
方式下各自的 λ2 大小来确定哪种连接方
式更好。大量数值结果表明，此时选择度 最大的节点的概率大于选择中心的概率。
为了看清中心节点在网络连接中对同 步能力的影响，我们计算两个网络相连时 所选节点的平均最短路径（连接前的单个 网络中）与连接后的整个网络连接矩阵的
第二大本征值 λ2 的关系，以小世界模型
接的前提下，提出了使两者组成的整体网络的同步能力尽量最优且普适的连接策略，称之为
最优连接策略。通过对无标度网络、随机网络和小世界模型进行数值仿真，发现该连接策略
是使两网络在只有一条边连接时整体同步能力最佳的连接方式。
关键词: 复杂网络；同步；网络间连接；最优连接
中图分类号: TN338.8
文献标识码: A
本征值 λ2 越小，则说明这种连接对提高网
络间同步的能力越好。
3 最优连接策略
3.1 提出策略
我们关注的是在两个结构相对固定的 网络间怎样增加一条边相连，能使整体网络 的同步能力最优的问题。首先考虑两个网络 比较小的情况，这时可以列举出所有可能的 连接方式，直观地比较出最优化连接的特 点。图 1（a）为随机选取的两个小网络模型， （b）-（g）为它们之间所有可能的连接方 式。
首先考查无标度网络，采用 BA 模型， 参数 m（每增加一个节点时该点与网络原有 节点相连的边数）的值决定了所生成网络的 平均度，网络的大小 N=500。我们计算出两
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个网络在最优连接策略下整体网络的连接
矩阵的第二大本征值 λb2 （图中用“+”表示）
征值 λr2（图中用“ Δ ”表示）。结果表明，随 机连接时 λr2 明显大于 λb2 ，即随机连接时整
体网络的同步能力远小于最优连接。值得说 明的是，为了尽量消除网络的随机结构对结 果的影响,对于每个参数 m 值,上述量的结果 都是取 20 对网络组的平均值，而且结果不 受网络的大小 N 影响。下面我们考查小世界 模型和随机网络，采用 WS 小世界模型，初 始规则网络中每个节点都与它左右相邻的 各 K/2 节点相连，这里我们取 K=10，断边 重连概率为 p。我们同样计算不同 p 值时与 BA 模型相应的几个量的关系如图 3(b)所 示。显然，当 p=1 时，网络为完全随机网络。 从图中可以看出，度最大节点或中心连接策 略对具小世界特性的网络和对随机网络也
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复杂网络间同步的最优连接方式 1
陈月华 1，吴晔 1，刘维清 1,2，肖井华 1
Leabharlann Baidu
1 北京邮电大学理学院，北京（100876） ２江西理工大学理学院，江西赣州（341000）
E-mail: abc@bupt.edu.cn
摘 要: 研究了两个复杂网络在有限连接下的整体同步问题。在两个网络间只增加一条边连
然Ａ是实对称矩阵，由矩阵理论可知，其本 征值均为实数，可记为
0 = λ1 > λ2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ≥ λN 。网络的同步化区 域则由孤立节点的动力学函数 f (⋅) 和内部 耦合函数 H (⋅) 确定[8-11]。同步稳定性要求除 λ1 =0 外，所有本征值都落在同步化区域里。
目前，对网络同步能力的判断准则主要有两
此时，连接矩阵的第二大本征值 λ2 分
别如图 1 所示。显然图 1（f）的连接方式下
的 λ2 最小，也就是这种连接下网络的同步
能力最优。我们再来分析下这种最优连接的 特点，显然，这条边是加在每个网络的度最 大的节点之间，同时这两个点也分别是各自 网络的中心。这里，中心是指网络其他点到 它的平均最短路径最小的点。据此，我们推
图 2 连接前网络节点的 (a)平均最短路径 di，(b) 节点度 ki 与连接后网络的 λ2i 的关系
3.2 模拟验证及分析
接下来，我们来验证这个策略是否是两 个网络间同步的一个最优方法。因为小世界 模型、无标度网络和随机网络是比较典型的 复杂网络模型，可以代表一大部分实际网 络，所以我们分别通过这三种经典网络模型 来验证度最大节点或中心连接策略的可靠 性。并将随机连接策略（随机在两群内选择 节点连接）下整体网络的同步能力与最优策 略作比较。结果表明，该策略是最优连接策 略。
接矩阵的第二大本征值 λ2i 的关系。以无标
度网络（BA 模型，网络节点总数 N=100， 初始网络为节点数为 5 的全连通网络，每增
加一个节点时该点与网络原有节点相连的 边数 m=5）为例，由图 2(b)可见随着所选节
点的度的增大， λ2i 有减小的趋势，同步能
力变大,即选择网络度最大的节点连接时网 络同步能力会更好。