纤维混凝土在弯曲下的微观力学上的耐久性研究

纤维混凝土在弯曲下的微观力学上的耐久性研究
摘要
基于细观力学耐久性模型来预测薄层水泥基复合材料的弯曲性能增强的成品和未精制的纤维素纤维的复合材料进行了测试，在干，湿，和加速老化（碳化）。

该模型是基于断裂力学的直接链接的材料结构的变化导致的环境恶化工艺复合材料弯曲力学性能。

该模型被用来作为一种工具来定量评价纤维素纤维基体界面的微观参数，很难测量的实验。

合理的协议被发现在复合材料弯曲力学性能和纤维失效模式模型的预测与实验确定的趋势（拔出或断裂）作为一个功能的环境。

这支持了所提出的细观力学模型参数的有效性。

©1999 Elsevier科学有限公司保留权利。

关键词：微观力学；耐久性；复合材料；弯曲强度；建模
石棉纤维的纤维水泥广泛应用
业为薄水泥复合加固直到
研究表明，暴露于石棉引起的肺癌，石棉，和人类间皮瘤[ 1 ]。

使用石棉
停止，引发了广泛的替代研究
光纤系统。

对替代纤维的要求
高性能，高加工性，和
在富碱胶凝材料的环境耐久性。

纤维素纤维实现了第一个要求。

纤维素纤维本质上是强大的，和细化（或
机械打浆）的纤维素纤维，大大提高了
其加工的必要，如果复合材料是使用Hatschek生产方法研制成功
[ 2，4 ]–。

然而，当纤维素纤维增强水泥
复合材料暴露于户外环境中，复合材料的性能和力学性能变化，这意味着耐久性差[ 5 ]。

微观结构研究的复合材料用扫描电子显微镜观察发现，
在纤维素纤维结构和纤维母体接触面积
通过改变环境[ 6 ]影响–8。

本文重点研究确定在物质的变化
干精制和未精制的纤维素纤维复合材料暴露于水后加速年龄结构（碳
信息）环境和连接这些变化对复合材料
机械性能通过细观力学耐久性模型。

复合材料结构的划分
为三个方面：纤维，基体和纤维基体界面，
过渡区。

细观力学参数是用来描述材料的结构强度的光纤参数，
刚度，长度和直径，刚度，韧性矩阵参数，和初始裂纹尺寸和fibermatrix界面摩擦和相互作用参数
化学键与吸收系数。

一条弯曲的细观力学模型，使用这些输入参数来预测复合材料的力学性能[ 9 ]。

量化
基于细观力学参数变化的环境效应将使该模型可用于预测复合材料的耐久性。

这种预测是可能的如果
细观力学参数可以测量实验。

然而，纤维素纤维基体界面参数不能被直接测量，因为纤维太小。

单纤维拔出技术不能用。

因此，该模型将作为一个工具来估计债券
的纤维素纤维水泥基体的影响
这种债券的环境。

基于断裂力学的细观力学模型
用于预测复合材料的力学性能将描述。

特别强调的是理论上的迪威乐邮件：PJAK”工程。

密歇根大学。

教育。

*通讯作者。

荷兰国际集团（SB-D）公认的纤维复合材料的关系
本构关系[9-11]。

然后，微机械建模参数将被定义和环境对纤维相关的参数和上纤维- 基质相互作用参数的影响将被确定。

核查
用于纤维素纤维复合材料的微机械性能
建模得到：
1.如果仿照弯曲的机械性能有
同样的幅度，并按照相同的趋势，在
实验获得的干，湿，并老化环境弯曲的机械性能，并
2.如果模型正确地预测纤维素的模式
纤维含量不合格，折叠，或破裂。

1.弯曲造型：纤维素水泥耐久性
纤维素纤维增强薄板水泥基复合材料
通过当弯曲开裂加载失败。

复合失败的一个现实的描述由断裂力学提供
利用力的平衡和变形协调分析[9]。

在负载下，边缘开裂的张力侧形式
薄片的（图1）。

纤维桥接横跨的影响
裂缝飞机将使用光纤桥接描述
应力与裂纹开口（SB-D）的关系。

纤维素复合材料的耐久性是通过识别在理论上评估
影响变化的环境（干，湿，或老化的）对纤维，基质和界面性质，或者作为一个整体，SB-D 关系。

这些变化影响了复合材料的抗弯
机械性能和它们的负荷- 弯曲特性。

1.1。

细观力学模型的理论概念
强加初始裂纹（预先存在的裂纹状缺陷）
从板的下均匀拉伸侧传播
弯矩到板（图1）的压侧。

这个单一裂缝分析由耦合方程的理事说明。

（1）和（2）。

裂纹扩展时产生的应力时，
在裂纹尖端，Ktip，强度因子等于水泥基质，公里的断裂韧性：
（1）
其中K
技巧是外加力矩M功能，
裂纹长度a，板形状，并且在纤维桥接应力
与裂纹张开关系。

它是嘉，由于施加载荷应力强度因子，和KB，负应力强度因子的总和，由于纤维桥接应力（附录A）。

式。

（2）是基于涉及平衡负荷（SM由于挠曲负荷）卡氏定理的裂缝开口
曲线D（X）。

（2）其中G（）是一个权重函数，它表示一个单元的力贡献裂纹尖端应力强度因子（附录A），
D（x）是裂缝开口轮廓，SM（X9）是弯曲应力引起的外部负载M和SB（四（X9））的桥接应力与裂纹张开与来自光束的拉伸侧测量X的关系。

E和w为复合材料的弹性模量和梁深度分别。

该耦合方程。

（1）和（2）必须数值求解
[10]。

对于每个施加的增量裂纹长度a，该平衡负载M被计算，得到复合材料的力学
属性。

比例（LOP），或复合材料的限制第一
打击力量，是进行当复合弯曲应力
初始缺陷传播。

断裂模量（MOR）是指复合材料的最大弯曲应力。

用于复合随机分布的不连续体积分数V纤维男，李等人。

[12]表明，该在复合式SB-D的关系。

（3）可以通过平均只有那些个别纤维的贡献来预测穿过裂缝面：（3）其中L
女，DF，和f是纤维长度，纤维直径，以及不压井系数，分别与P（z）和P（u）的重心是和角的概率密度函数。

P（D）是
单纤荷载位移关系的排列的纤维。

为均匀的二维纤维分布，P（u）的5
2 / P和P（Z）5 2 / LF。

环境恶化的影响
进程通过SB-D的关系，P（D）EFU，用纤维，基质和纤维基质相互作用的微机械参数来计算的机械部分进入。

该纤维
桥接应力与裂纹开口（SB-D）的关系是输入
到方程。

（1）和（2）。

另一个（但一致的）模型被用来从一个三点弯曲载荷- 挠度模拟预测复合挠曲韧性。

复合材料弯曲韧性（IMOR）是下的载荷- 挠度曲线高达MOR区域。

IMOR预测是必要的耐久性的建模，因为劣化处理可以显著影响复合韧性
[4,13]。

当桥接纤维通过一个等效桥接应力分布在每个平衡状态改为
该板或薄片，该复合材料可被视为线性弹性体。

唯一的载荷弯曲载荷和
纤维诱发施加牵引力于裂纹的表面上。

该
支持充当位移约束。

叠加原理适用，所以负荷点挠度D可如等式来获得。

（4）（图2）：其中，DNO裂纹未开裂板挠度和Dcrack是
裂纹板挠度（附录B）。

负载，裂纹长度，
和纤维桥接应力可以在每个平衡来获得
从微机械模型步骤。

的载荷- 挠度
然后可以生成曲线。

1.2。

细观力学模型参数
使用微观力学为基础的模式，复合弯曲性能由纤维基质系统[9]的11微机械性质进行说明。

这些纤维，基质，
和光纤矩阵互动性治理纤维如何弥合裂痕。

因此，它们起到了关键的作用
控制所述板的弯曲响应。

试样的几何形状（厚度，间距和宽度）也输入参数。

微机械建模参数被定义
如下：
光纤参数：
L楼纤维长度（mm）
ð女，纤维直径（mm）
Ë楼纤维刚度（GPA）
s福，纤维强度（MPa）
V女，纤维体积含有率（％）。

矩阵参数：
Ë米，基体硬度（GPA）千米
，矩阵断裂韧性（兆帕√m）
C，初始缺陷尺寸（mm）。

纤维基质相互作用参数：
吨O，界面摩擦债券（兆帕）
摹D，界面化学脱粘能量（焦耳/平方米）
楼光纤冷落系数。

试件的几何参数：
S，弯曲样本范围（毫米）
B，挠曲试样厚度（mm）
瓦特，挠曲试样宽度（毫米）。

纤维素水泥2.实验测试
纤维素纤维增强薄板水泥基复合材料
（VF 5 10％）通过使用压滤机技术（200 3 78 36立方毫米生产）在实验室。

水与水泥之比为0.25。

纤维素纤维的二维然
该复合内DOM取向。

两个精致（150no裂缝+Δcrack
CSF）和未精制的（700 CSF）的牛皮纸制浆辐射松
纤维素纤维被使用。

复合材料（28天空气治愈）
在三点弯曲以146毫米的跨度进行测试
为20mm /干湿条件下分。

潮湿的条件
被定义为在复合体浸没在水中24至36小时
之前的测试。

此外，加快老年标本
测试风干检查的30碳化衰老的作用
周期。

碳化循环已示出以模拟长期自然风化的准确对纤维素复合材料的影响[5]。

一24小时的碳化周期如下：
在208C淹没在水中8小时
在烘箱中在808C1小时
在208C中的饱和CO在炉5小时
2
环境
在烘箱中在808C 9 H
1小时冷却下来，从808C至208C [5]。

实验挠曲载荷- 挠度曲线的复合材料被示于图3A和4A的精致和粗纤维复合材料，分别为。

模型预测（图3B和4B）将在后面的部分中进行讨论。

在复合材料的力学性能的环保趋势可以
总结：LOP
年龄。

LOPdry。

LOPwet，MORaged $
MOR
干燥。

的Morwet和IMORaged，IMORdry，IMORwet。

同样，纤维素纤维失效模式与变化的环境条件：占主导地位的破裂对老年人，组合
拉拔/破裂的干燥，湿撤军。

干，
湿复合材料不合格多个开裂，而年龄
复合材料的失败，一个裂纹。

这些趋势，无论持有
是否纤维素纤维进行了细化或粗。

3.确定微型机械的
模型的参数
纤维素纤维和基质微参数提取
从文献中，但纤维素纤维基质interfacia
rameters不可用。

他们没有被实验确定，由于长辐射松的不可用性
纤维素纤维的单纤拔出测试。

因此，该
模型可以作为其估计的有用工具。

所估计的界面建模参数（于，钆，和f）是有影响力的预测环境依赖性复合弯曲机械性能（LOP，MOR和IMOR）。

同样，他们确定的纤维素纤维故障模式，
破裂或拔出。

3.1。

纤维素纤维参数
纤维素是一种中空的天然有机亲水木质纤维周围的纤维复合管同心分层组成。

当在张力加载，所述纤维素纤维的
截面积降低[14]。

纤维特性，结构，
和机械加强能力是高度可变的，这取决于木材纤维源和制浆[15]的方法。

细观力学模型的参数被选为代表的干精制牛皮纸的平均属性值制浆
辐射松的纤维素纤维（表1）。

它们是基于
测量值（LF和DF）和文献综述（SFU和EF）
[4,16]。

高度精制的纤维素纤维（150 CSF）有
长度为0.1至7mm，平均为2.5毫米变化。

同样地，纤维直径，平均显著变化
30毫米的价值。

纤维素纤维在湿拉伸试验
环境显示纤维刚度的损失，而纤维
相比，干强度不发生变化，但在纤维确实遇到更大的扩展[16]。

老化后，纤维素纤维石化和失败的脆性方式;纤维刚度
和强度已推测增加[6]。

对于造型简单，纤维强度保持不变，无论
的环境。

未精制的纤维素纤维（700 CSF）有
改进的机械性能（表1）。

精致
会使纤维长度减小，纤维强度降低，因为外部原纤化，和纤维刚度降低由于内部原纤化，使纤维更适形的[2]。

3.2。

纤维素纤维基质相互作用参数
纤维素纤维- 基质界面粘结，反映在
的纤维素纤维失败在复合材料中的改变的模式图。

4.（A）实验测试，未精制的纤维素复合材料。

（B）为蓝本不登大雅之堂纤维素复合材料。

表1精致不登大雅之堂纤维素微机械模型参数干，湿，并老化环境
断裂面，随环境（干，湿，并岁）。

纤维素纤维与水泥基材的粘结被摩擦和化学性质，通过摩擦量化键（至）和化学脱胶能源（GD）[3,9]。

干精制纤维素纤维的摩擦的近似值
债券（5 0.8兆帕）采用理论模型复合是由麦[17]。

适度值（GD 5 3焦耳/平方米）假设。

化学脱粘能量被定义为所需的关键界面剥离能源推进单位面积的剥离区。

干纤维素纤维锁定成由大量的氢的刚性水泥基质通过羟基桥接站点键[3]。

为了比较，水泥糊剂的典型韧性变化从2至10焦耳/平方米。

该压井系数，它代表一个纤维的效果以一个角度通过摩擦轮拉动时，还没有被确定为纤维素纤维。

人们发现，从0.7变化到0.9对聚丙烯和尼龙纤维，分别[18]。

该varible f而假定为0.8干精制纤维素纤维。

即使聚丙烯和纤维素纤维是不是化学相似，假定的，机械的他们冷落系数将是有可比性的，并数量级的顺序相同。

纤维素纤维的摩擦债券假设保持不变，无论干燥或潮湿环境中。

依据这个假设是实验性的。

单纤维拉拔试验采用聚丙烯和PVA纤维显示数据获得可忽略的变化，其值对于干和湿条件[19]。

环境对界面结合的作用聚丙烯和PVA纤维的性质被用作纤维素之间相似粘结性能的变化的指导纤维和水泥基体。

在潮湿条件下，可以推测水分子的插入纤维素之间纤维和基体破坏其fibermatrix氢键[3]。

化学键的损失将支持观测纤维素在干燥的条件下，结合撤军和破裂比较潮湿条件下的纤维拉出。

1焦耳/平方米的钆被选中。

湿纤维素纤维不压井系数
降至0.5，因为纤维的刚性下降时，潮湿。

加速老化之后，纤维素纤维石化和有一个实心的横截面。

的PVA，具有不同的固体纤维从该纤维素纤维，债券的化学组成摩擦和化学用水泥。

的PVA水泥碳化老化[19]后摩擦键显著增加（Z300％），所以为3.0MPa被认为适于纤维素纤维。

老化的原因的界面基质致密，并增加与该增强纤维[8]接触。

在PVA化学键小幅上升后加速老化。

这反映在老年人纤维素的选择纤维的化学键，3.5焦耳/平方米。

0.8干冷落系数保留年龄条件。

对于未精制的纤维素纤维，界面摩擦键而相比于成品冷落系数的降低以考虑以下的纤维素纤维原纤化[20];以减少到0.6兆帕和f下降到0.7。

化学键保持不变。

人们认为变化的环境中会导致相同的百分比变化的界面
属性为粗大豆作为精制纤维素纤维。

Thevalues选择在建模来，钆浮动参数，和f不调谐到精确匹配的纤维素纤维综合实验数据。

相反，这些值被用来预测在弯曲机械propertiesof纤
维素水泥趋势不断变化的环境中。

这些参数为精制和粗cellulosefibers的actualvalues可能不同于水泥基质的这些估计values.Fracture韧性具有类似水与水泥的比率作为该的实验测试复合材料被使用; 5公里，0.2兆帕√m[21]。

初始未桥连的缺陷尺寸，C，被选择为基于薄片复合材料的扫描型电子显微镜检查60毫米。

公里和c均假定不变，不受
变化的环境。

这些简化矩阵的假设来作出的援助在确定改变的影响
环境对纤维素纤维和仅纤维素纤维基体的界面的特性。

纤维体积分数（VF），试样尺寸（S3瓦特3 b）和综合刚度（EM）建模用于被选择来匹配实验值。

使用这些微机械模型参数，THES
BD关系的细化和粗纤维素纤维
干，湿，并老化条件下的复合材料可以产生（图5A和5B）。

高桥接应力在非常小的
破解干燥和老化的条件开放（0.002 MM）
dicates高LOP与低架桥压力比较
该湿的复合材料（如在图3和图4所示）。

在弥合应力在大年龄复合材料的急剧下降
裂缝宽度（0.03 MM）意味着极端的纤维断裂。

该
这一转变（从小到大裂缝开口）的斜率
从年龄降低到干到湿。

类似的趋势被发现
为粗纤维素纤维复合材料（图5B）。

更高桥接应力为粗纤维素纤维可以归因于提高纤维的性能（见表1）。

4.模型验证
实验和模拟弯曲stressdeflection曲线精致和粗纤维素纤维的比较
复合材料是在图提供的。

图3A，3B，4A和4B。

该
模型正确地预测趋势的复合性
（LOP和MOR）不断变化的环境中，但有一个
差异在预测复合材料的韧性（IMOR）
对于干和湿条件下（图6）。

这归因于
1裂纹到模型的故障假设。

如果仿照
韧性乘以多个裂纹数
干燥和潮湿的条件下，模型预测下形成
会更准确。

然而，一个裂纹失效
模型确实显示增加复合材料的韧性趋势
从中年过渡到干到湿。

粗纤维素的改进的纤维特性有助于提高
复合材料的韧性。

这些合理的韧性好
协议进一步灌输信心模型预测。

为了证明光纤故障对复合材料的断裂
通过对精致的造型不登大雅之堂表面
纤维素纤维，无限高的纤维强度是假设（图7A和7B）。

这是通过的情况相比其中，纤维断裂，当一个独特的，确定性的纤维
强度被达到。

如果纤维强度是无限高，
纤维也不会破裂，但会撤军。

用于干精制纤维素复合体，这些比较表明
有撤军和破裂的结合，同时也
湿纤维素纤维只拔出（图7A）。

下
年龄条件，这种比较极端的指示纤维
破裂（图7B）。

这些趋势是根据实验观察。

5.结论
下列结论可从当前绘制
研究：
1.细观力学为基础的模型能够预测精致不登大雅之堂纤维素广泛趋势
水泥的抗弯强度和韧性（LOP，MOR，
和IMOR）作为的函数的干，湿，并加速了
（碳化）老化的环境条件。

2.建模的目的，改变纤维素纤维
与环境属性和纤维素纤维基质相互作用参数估计如下
为完善和未精制的纤维素水泥的抗弯复合性能预测：
纤维刚度：电子
˚F岁。

EF干燥。

EF湿
纤维强度：SFU岁žSFU干žSFU湿
界面摩擦保证金：吨
Ø岁。

干Z到湿
界面化学键：摹
ð岁。

GD干燥。

GD湿
不压井作业系数：fagedžFDRY。

fwet。

3.损失纤维素水泥韧性与衰老归因于纤维素纤维在水泥基体，这将导致增加纤维的增加的界面结合破裂。

4.由于界面的实验测量纤维素纤维在水泥基体作为属性环境功能不可用，他们必须要回计算使用耐久性模型实验复合弯曲机械数据。

不预期此反演过程，以产生唯一的一组接口的参数值。

然而，耐久性模型能够预测的性能的纤维素复合材料作为环境的函数，并且识别所述纤维素纤维基体界面为复合材料的材料结构组件最
受变化的环境。

致谢这项研究是由赠款大学支持密歇根州，密歇根州安阿伯，从Redco比利时和埃特尼特瑞士。

支持P.J.K.由提供
海军研究办公室和美国国家科学基金会的研究生奖学金。

附录A裂纹尖端的应力强度因子是由于应用压力和光纤桥接压力。

它被描述为Ktip 5ķ1 KB，其中嘉5应力强度因子，由于应用装载和KB 5应力强度因子由于光纤桥接压力。

此外，如在等式给出。

（5）：
（5）其中，有5裂纹长度，W 5板深度，
s5施加的外部应力的拉伸面，并且x是从光束[23]的张力面测量的。

所以涉及
通过外部弯矩其中M 5应用的外部弯矩和b 5波束宽度。

G是加权函数，表示一个单元的力贡献于裂纹尖端的应力强度因子，如下：且h1给出[23]。

同样
其中S
B（D）5光纤桥接应力与裂缝宽度的关系和d（x）的5裂打开配置文件。

由于裂缝
开口轮廓是不知道先验，这要求溶液
的积分方程。

（2）。

附录B
DNO裂缝可以通过经典梁理论被发现
其中，E 5的复合弹性模量和Dcrack获得人
集成式的。

（6）：
（6）
其中w 5板宽度，5裂长度，SM（X）5应用
加载压力，SB（x）的5光纤桥接压力，x被测量
从板和f（x）5重量函数对应加载点由一对产生位移的拉伸侧
单位集中力量，在任意位置x沿
裂纹线。

函数f（x）可以衍生自式。

（7）[22,23]：
（7）
参考
[1] JB Studinka，诠释J杰姆比较Ltwt Concr 2（1989）73-78。

[2] R.S.P.库茨，合成材料15（2）（1984）139-143。

[3] R.S.P.库茨，P. Kightly，J材料科学19（1984）3355-3359。

[4] A. Bentur，S Mindess。

纤维增强水泥基复合材料，
爱思唯尔应用科学，纽约1990年。

[5] S.A.S.埃克斯，JB Studinka，诠释J杰姆比较Ltwt Concr 11（2）
（1989）93-97。

[6] A. Bentur，S.A.S.埃克斯，诠释J杰姆比较Ltwt Concr 11（2）（1989年）
99-109。

ķ
B 2 G X一（）σ，W B（）δ（）×DX
a∫0
= -
PS3
= 4 ---------------- Eb3w
Δ
破解W（）σM（）ΣX - B（）×
a∫0
= F×（）DX
˚F×（）6撒下
- 2 - 1
- 一- X-1 2/
- A - X- 1+λ
---------------- Eb2w-F ab
-- 1
哪里
参考文献
[1] JB Studinka，诠释J杰姆比较Ltwt Concr2（1989）73-78。

[2] R.S.P.库茨，合成材料15（2）（1984139-143。

[3] R.S.P.库茨，P. Kightly，J材料科学19（1984）3355-3359。

[4] A. Bentur，S Mindess。

纤维增强水泥基复合材料，
爱思唯尔应用科学，纽约1990年。

[5] S.A.S.埃克斯，JB Studinka，诠释J杰姆比较Ltwt Concr11（2）
（1989）93-97。

[6] A. Bentur，S.A.S.埃克斯，诠释J杰姆比较Ltwt Concr11（2）（1989）
99-109
[7] R.S.P.库茨，P. Kightly，J材料科学17（1982）1801年至1806年。

[8] B.J.皮里，F.P.格拉瑟，C.施密特Henco，S.A.S.埃克斯，杰姆Concr
比较12（1990）233-244。

[9] Z.林，T.神田，V.C。

李，在界面特性描述和
纤维的性能增强水泥基复合材料，提交
到J浓科学与工程。

[10] B.N.考克斯，D.B.马歇尔，金属学报母校39（4）（1991）579-589。

[11] V.C。

李，林Z.，T.松本，光纤桥接的结构尺寸效应的影响，诠释J固体结构体35（31-32）（1998）4223-4238。

[12] V.C。

李，王勇，S.靠山，J机甲物理学。

固体39（5）（1991）607-
625。

[13] P. Soroushian，J.H。

韩元，PROC诠释SYMP脆矩阵成份4
（1994）381-390。

[14] DH页，F. EL-Hosseiny，K.温克勒，自然229（1971）252-253
[15]医学博士坎贝尔，R.S.P.库茨，J材料科学15（1980）162-170。

[16] Y.W.麦，M.I。

奥拉朱旺，J材料科学19（1984）501-508。

[17] Y.W.麦，断裂力学中的应用，以钢筋混凝土，爱思唯尔应用科学，纽约，1990年，第201-231。

[18]王勇，力学纤维混凝土，博士论文，
麻省理工学院，剑桥，麻省，1989年。

[19] P.J.金，未发表的数据。

[20] X.林，M.R。

Silsbee，D.M.罗伊，母校RES SOC SYMP PROC370
（1995）487-496。

[21] V.C。

李D.K.米什拉，H.C。

吴母校结构体28（1995）586-595。

[22] H.田田，裂缝手册，第二版的应力分析。

巴黎PROC。

公司，圣路易斯，密苏里州，1985年。

[23]吴X.，权函数和应力强度因子解决方案，第1
版。

Pergamon出版社，纽约，1991。

（7）
()b a b a b a b a b a V F V b a b a b a b a b a b a b a F a x a x b a F w Eb Sa x f /166.004.278.328.276.02,77.1294.3482.3657.1958.5/1/121126)(23212143222/1-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
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