最新高中数学选修1-1《全称量词与存在量词》教案

最新高中数学选修1-1《全称量词与存在量词》教案导学目标：

1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.

2.理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

自主梳理

1.逻辑联结词

命题中的或，且，非叫做逻辑联结词.“p且q”记作p∧q，“p 或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.

2.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p∧q p∨q 綈p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

3.全称量词与存在量词

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).

自我检测

1.命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是( )

A.∃x∈R，x2-2x+1≥0

B.∃x∈R，x2-2x+1>0

C.∀x∈R，x2-2x+1≥0

D.∀x∈R，x2-2x+1<0

答案 C

解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题.对x2-2x+1<0的否定为x2-2x+1≥0，故选C.

2.若命题p：x∈A∩B，则綈p是( )

A.x∈A且x B

B.x A或x B

C.x A且x B

D.x∈A∪B

答案 B

解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，

∴綈p：x A或x B.

3.(2011•大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有( )

A.p真q真

B.p假q假

C.p真q假

D.p假q真

答案 B

解析∵“p∨q”的否定是真命题，

∴“p∨q”是假命题，∴p，q都假.

4.(2010•湖南)下列命题中的假命题是( )

A.∀x∈R,2x-1>0

B.∀x∈N*，(x-1)2>0

C.∃x∈R，lg x<1

D.∃x∈R，tan x=2

答案 B

解析对于B选项x=1时，(x-1)2=0.

5.(2009•辽宁)下列4个命题：

p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;

p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;

p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;

p4：∀x∈(0，13)，(12)x

其中的真命题是( )

A.p1，p3

B.p1，p4

C.p2，p3

D.p2，p4

答案 D

解析取x=12，则log12x=1，log13x=log32<1，

p2正确.

当x∈(0，13)时，(12)x<1，而log13x>1，p4正确.

探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假

例1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假.

(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;

(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂直;

(3)p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.

解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为：①确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真假.

解(1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.

p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.

綈p：1不是素数.真命题.

(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.

p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.

綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题.

p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.

綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题.

变式迁移1 (2011•厦门月考)已知命题p：∃x∈R，使tan x=1，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是( )

A.②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

答案 D

解析命题p：∃x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1

∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;

③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.

探究点二全(特)称命题及真假判断

例2 判断下列命题的真假.

(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.

(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.

(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.

(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.

解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可.

(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.

解(1)真命题，

因为x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.

(2)真命题，如α=π4，β=π2，符合题意.

(3)假命题，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.

(4)真命题，例如x0=0，y0=3符合题意.

变式迁移2 (2011•日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是( )

A.∀x∈R，x2+3<0

B.∀x∈N，x2≥1

C.∃x∈Z，使x5<1