人教版A版高中数学高二版选修2-1练习 2.1.2求曲线的方程

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 曲线与方程

2.1.2 求曲线的方程

A 级 基础巩固

一、选择题

1．平面内有两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA →＋PB →|＝4，

则点P 的轨迹是( )

A ．线段

B ．半圆

C ．圆

D ．直线

解析：以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立直角

坐标系，则A (－2，0)、B (2，0)．设P (x ，y )，则PA →＋PB →＝2PO →＝2(－

x ，－y )．所以x 2＋y 2＝4.

答案：C

2．若点M 到两坐标轴的距离的积为2 015，则点M 的轨迹方程是( )

A ．xy ＝2 015

B ．xy ＝－2 015

C ．xy ＝±2 015

D ．xy ＝±2 015(x ＞0)

解析：设M (x ，y )，则由题意知：|x |·|y |＝2 015，

所以xy ＝±2 015.

答案：C

3．与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是()

A．x2＋y2＝1 B．y2＋y2＝1(x≠±1)

C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)

答案：B

4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)

解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，

所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，

所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，

整理得，x2＋y2＝4.

因为M，N，P不共线，所以x≠±2，

所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．

答案：D

5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C 的轨迹方程是()

A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0

B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0

C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0

D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0

解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －0

4－0＝x ＋12＋1

，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝（2＋1）2＋42＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5

＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.

答案：B

二、填空题

6．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是__________________．

解析：由截距式可得直线为x 5＋y 5

＝1⇒线段方程为x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)．

答案：x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)

7．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_______．

解析：可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5

＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.

所以所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.

答案：4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0

8．已知为A (0，－1)，当B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________________________________．

解析：设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.①

设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12

，从而得x 0＝2x ，

y 0＝2y ＋1.代入①式，得2y ＋1＝2×(2x )2＋1即y ＝4x 2.

答案：y ＝4x 2

三、解答题

9．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别为A (4，2)，B (－2，0)，A 为顶点，求另一腰的一个端点C 的轨迹方程．

解：设点C 的坐标为(x ，y )，

因为△ABC 为等腰三角形，且A 为顶点．所以AB ＝AC .

又因为|AB |＝

（4＋2）2＋22＝210， 所以|AC |＝ （x －4）2＋（y －2）2＝210.

所以(x －4)2＋(y －2)2＝40.

又因为点C 不能与B 重合，也不能使A 、B 、C 三点共线． 所以x ≠－2且x ≠10.

所以点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝40(x ≠－2且x ≠10)．

10．已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，

NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．

解：设点P (x ，y )，由M (－1，0)，N (1，0)，得

PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，

MN →＝－NM →＝(2，0)．所以MP →·MN →＝2(x ＋1)，

PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，

NM →·NP →＝2(1－x )．

由MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，得

⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2（x ＋1）＋2（1－x ）]，2（1－x ）－2（x ＋1）＜0，

即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x ＞0.

所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ＞0)．

B 级 能力提升

1．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

答案：B

2．直线x a ＋y 2－a

＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是_______． 解析：(参数法)直线x a ＋y 2－a

＝1与x 、y 轴交点为A (a ，0)，B (0，2－a )，设AB 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a 2

，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0，a ≠2，所以x ≠0，x ≠1.

答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)

3．已知B (－3，0)、C (3，0)，△ABC 中BC 边上的高的长为3，求△ABC 的垂心H 的轨迹方程．

解：设H 的坐标为(x ，y )，则A 点的坐标为(x ，3)或(x ，－3)，