3单纯形法第1部分
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为什麽？ ——分析 用非基变量表示目标函数的表达式 ， 如果 让负检验数所对应的变量进基 ，目标函数 值将下降！
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立
(1)表格结构：
Cj CB XB b xj
23300 x1 x2 x3 x4 x5
?j
0 X4 3
0 X5
9
11110 14701
-Z 0
23300
第四步：分析两个基本表达式，看看目 标函数是否可以改善？ ① 分析用非基变量表示目标函数的表达式
Z ? 2 x1 ? 3 x2 ? 3 x3
非基变量前面的系数均为正数，所以任 何一个非基变量进基都能使Z值增加
通常把非基变量前面的系数叫“检验数”；
② 选哪一个非基变量进基？
选x1为进基变量（换入变量） 问题：能否选其他的非基变量进基？
?
x1
?
min???31
,
9? 1??
?
?
3??
当x1的值从 0增加到 3时， x4首先变为 0，此时x5=6>0 因此选x4为出基变量（换出变量）。 这种用来确定出基变量的规则称为 “最小比值原则”（或θ原则）。
如果P1≤0，会出现什麽问题？ 最小比值原则会失效！
? 基变换
新的基变量——x1,x5；新的非基变量x2,x3,x4；
写出 用非基变量表示基变量的表达式：
由
?x4 ? 3? x1 ? x2 ? x3 →
??x5 ? 9? x1 ? 4x2 ? 7x3
?x1 ? 3? x2 ? x3 ? x4 ??x5 ? 6? 3x2 ? 6x3 ? x4
可得新的基本可行解 X（1）=（3，0，0，0，6）T
⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式:
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
（单纯形法的由来？ ）
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？
(2)目标函数何时达到最优——
判断标准是什麽？
二、单纯形法原理（用代数方法求解LP）
例1-6
max Z ? 2x1 ? 3x2 ? 3x3
?x1 ? x2 ? x3 ? 3 s.t.??x1 ? 4x2 ? 7x3 ? 9
wk.baidu.com
??am1x1 ? am2x2 ? ? ? amnxn ? xn?m ? bm
??? Z ? c1x1 ? c2x2 ? ? cn xn ? cn?1xn?1 ? ? cn?mxn?m ? 0
取出系数写成增广矩阵的形式：
-Z X1 X2 … Xn Xn+1 Xn+2 … Xn+m b
?0 ?
a11
? 任意一个 × ? 任意一个正检验数对应的非基变量 ? ? 最大正检验数对应的非基变量 ? ? 排在最前面的正检验数对应的非基变量 ?
③ 确定出基变量：
问题讨论
? x1进基意味着其取值从0变成一个正数（经济 意义——生产A产品），能否无限增大？ ? 当x1增加时，x4，x5如何变化？ ? 现在的非基变量是哪些？ ? 具体如何确定换出变量？
（2）表格设计依据：
将-Z看作不参与基变换的基变量，把目标 函数表达式改写成方程的形式，和原有的 m 个约束方程组成一个具有 n+m+1 个变量、
m+1个方程的方程组：
?a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1n xn ? xn?1 ? b1
?????a21x1
?
a22x2 ?
?
?
? a2n xn ? xn?2 ? b2 ?
由用非基变量表示基变量的表达式
? x 4 ? 3 ? x1 ? x 2 ? x3
? ?
x
5
?
9?
x1
?
4 x2
?
7 x3
当x1增加时，x4，x5会减小，但有限度——必 须大于等于0，以保持解的可行性！于是
?x4 ? 3? x1 ? 0
? ?
x5
?
9?
x1
?
0
?
? ?
x1
?
? ?
x1
? ?
3
1 9
1
1－3 单纯形法
图解法的局限性？
1947 年 G.B.Dantzig 提 出 的 单 纯 形法 提供了方便、有效的通用算法求 解线性规划。
一、单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行 解）开始，转移到另一个顶点（另一个 基本可行解）的迭代过程，转移的条件 是使目标函数值得到改善（逐步变优）， 当目标函数达到最优值时，问题也就得 到了最优解。
Z ? 2x1 ? 3x2 ? 3x3 ? 2(3 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 3x2 ? 3x3 ? 6 ? x2 ? x3 ? x4
可得相应的目标函数值为Z（1）=6 检验数仍有正的 返回①进行讨论。
第五步：上述过程何时停止？
当用非基变量表示目标函数的表达式中，非
基变量的系数（检验数）全部非正 时，当前的 基本可行解就是最优解!
?x4 ? 3? x1 ? x2 ? x3
? ?
x5
?
9
?
x1
?
4x2
?
7x3
?
初始基本可行解 X(0) ? (0,0,0,3,9)T
②用非基变量表示目标函数的11111 表达式
Z ? 2 x1 ? 3 x2 ? 3 x3 ?
当前的目标函数值
Z (0) ? 0
请解释结果的经济含义 —— 不生产任何产品，资源全部节余（x4=3， x5=9），三种产品的总利润为0！
a12 ?
?0 a21 a22 ?
x1
,
x2 ,
x3 , x4 ,
x5
?
0
(劳动力约束) （原材料约束）
第二步：寻求初始可行基，确定基变量
A? ????11
1 4
1 7
1 0
10????
B ? ?P4, P5 ?? ????10 10????
对应的基变量是 x4，x5；
第三步：写出初始基本可行解和相应 的目标函数值
两个关键的基本表达式： ①用非基变量表示基变量的表达式
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
转移条件？
? ?
x1
,
x2 ,
x3
?
0
(劳动力约束) （原材料约束）
第一步：引入非负的松弛变量x4,x5, 将该 LP化为标准型
max Z ? 2x1 ? 3x2 ? 3x3 ? 0x4 ? 0x5
?x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 3 s.t.??x1 ? 4x2 ? 7x3 ? x5 ? 9
? ?
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立
(1)表格结构：
Cj CB XB b xj
23300 x1 x2 x3 x4 x5
?j
0 X4 3
0 X5
9
11110 14701
-Z 0
23300
第四步：分析两个基本表达式，看看目 标函数是否可以改善？ ① 分析用非基变量表示目标函数的表达式
Z ? 2 x1 ? 3 x2 ? 3 x3
非基变量前面的系数均为正数，所以任 何一个非基变量进基都能使Z值增加
通常把非基变量前面的系数叫“检验数”；
② 选哪一个非基变量进基？
选x1为进基变量（换入变量） 问题：能否选其他的非基变量进基？
?
x1
?
min???31
,
9? 1??
?
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当x1的值从 0增加到 3时， x4首先变为 0，此时x5=6>0 因此选x4为出基变量（换出变量）。 这种用来确定出基变量的规则称为 “最小比值原则”（或θ原则）。
如果P1≤0，会出现什麽问题？ 最小比值原则会失效！
? 基变换
新的基变量——x1,x5；新的非基变量x2,x3,x4；
写出 用非基变量表示基变量的表达式：
由
?x4 ? 3? x1 ? x2 ? x3 →
??x5 ? 9? x1 ? 4x2 ? 7x3
?x1 ? 3? x2 ? x3 ? x4 ??x5 ? 6? 3x2 ? 6x3 ? x4
可得新的基本可行解 X（1）=（3，0，0，0，6）T
⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式:
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
（单纯形法的由来？ ）
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？
(2)目标函数何时达到最优——
判断标准是什麽？
二、单纯形法原理（用代数方法求解LP）
例1-6
max Z ? 2x1 ? 3x2 ? 3x3
?x1 ? x2 ? x3 ? 3 s.t.??x1 ? 4x2 ? 7x3 ? 9
wk.baidu.com
??am1x1 ? am2x2 ? ? ? amnxn ? xn?m ? bm
??? Z ? c1x1 ? c2x2 ? ? cn xn ? cn?1xn?1 ? ? cn?mxn?m ? 0
取出系数写成增广矩阵的形式：
-Z X1 X2 … Xn Xn+1 Xn+2 … Xn+m b
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a11
? 任意一个 × ? 任意一个正检验数对应的非基变量 ? ? 最大正检验数对应的非基变量 ? ? 排在最前面的正检验数对应的非基变量 ?
③ 确定出基变量：
问题讨论
? x1进基意味着其取值从0变成一个正数（经济 意义——生产A产品），能否无限增大？ ? 当x1增加时，x4，x5如何变化？ ? 现在的非基变量是哪些？ ? 具体如何确定换出变量？
（2）表格设计依据：
将-Z看作不参与基变换的基变量，把目标 函数表达式改写成方程的形式，和原有的 m 个约束方程组成一个具有 n+m+1 个变量、
m+1个方程的方程组：
?a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1n xn ? xn?1 ? b1
?????a21x1
?
a22x2 ?
?
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? a2n xn ? xn?2 ? b2 ?
由用非基变量表示基变量的表达式
? x 4 ? 3 ? x1 ? x 2 ? x3
? ?
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x1
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4 x2
?
7 x3
当x1增加时，x4，x5会减小，但有限度——必 须大于等于0，以保持解的可行性！于是
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?
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3
1 9
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1－3 单纯形法
图解法的局限性？
1947 年 G.B.Dantzig 提 出 的 单 纯 形法 提供了方便、有效的通用算法求 解线性规划。
一、单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行 解）开始，转移到另一个顶点（另一个 基本可行解）的迭代过程，转移的条件 是使目标函数值得到改善（逐步变优）， 当目标函数达到最优值时，问题也就得 到了最优解。
Z ? 2x1 ? 3x2 ? 3x3 ? 2(3 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 3x2 ? 3x3 ? 6 ? x2 ? x3 ? x4
可得相应的目标函数值为Z（1）=6 检验数仍有正的 返回①进行讨论。
第五步：上述过程何时停止？
当用非基变量表示目标函数的表达式中，非
基变量的系数（检验数）全部非正 时，当前的 基本可行解就是最优解!
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x1
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4x2
?
7x3
?
初始基本可行解 X(0) ? (0,0,0,3,9)T
②用非基变量表示目标函数的11111 表达式
Z ? 2 x1 ? 3 x2 ? 3 x3 ?
当前的目标函数值
Z (0) ? 0
请解释结果的经济含义 —— 不生产任何产品，资源全部节余（x4=3， x5=9），三种产品的总利润为0！
a12 ?
?0 a21 a22 ?
x1
,
x2 ,
x3 , x4 ,
x5
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0
(劳动力约束) （原材料约束）
第二步：寻求初始可行基，确定基变量
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1 4
1 7
1 0
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B ? ?P4, P5 ?? ????10 10????
对应的基变量是 x4，x5；
第三步：写出初始基本可行解和相应 的目标函数值
两个关键的基本表达式： ①用非基变量表示基变量的表达式
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
转移条件？
? ?
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,
x2 ,
x3
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(劳动力约束) （原材料约束）
第一步：引入非负的松弛变量x4,x5, 将该 LP化为标准型
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?x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 3 s.t.??x1 ? 4x2 ? 7x3 ? x5 ? 9
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