精品2019高中数学第2章概率2.5随机变量的均值和方差教学案苏教版选修2-3
2019年高二数学 2.5随机变量的均值和方差导学案 苏教版选修2-3
2.5 随机变量的均值和方差1．离散型随机变量的均值(数学期望)若离散型随机变量X 的概率分布为P (X ＝x i )＝p i (i ＝1,2，…，n )，则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定，如，E (X )＝0.5，在试验中未出现．2．离散型随机变量的方差与标准差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为：，则(x i －μ)2(μ＝E (X ))描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值μ的偏离程度，故(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n (其中p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为V (X )或σ2.即V (X )＝σ2＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ，其中，p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.方差也可用公式V (X )＝ i ＝1n x 2i p i －μ2计算．随机变量X 的方差也称为X的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ＝V (X ).预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为0.6，(1)求一次投篮时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．思路分析：(1)X只能取0,1这两个值，列出分布列，求出X的均值(数学期望)．(2)Y服从Y～B(5,0.6)，利用E(Y)＝np求出Y的均值(数学期望)．解：(1)投篮一次，命中次数X的分布列为，则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np ＝5×0.6＝3.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．(2)由E(X)的定义得：E(X)＝(1＋2＋8＋9)×15＋(3＋4＋6＋7)×15＋5×5＝5.求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的值；(2)求出X 取每个值时的概率；(3)写出X的概率分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求出E(X)．二、离散型随机变量的方差和标准差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y.X和Y的分布列如下：思路分析：对两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的情况下生产出次品数的平均值即数学期望；二是看次品数波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X 的平均值和方差分别为：E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7， V (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81； 工人乙生产出次品数Y 的平均值和方差分别为：E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7. V (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61. 由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品数的均值相同，两人技术水平相当，但V (X )＞V (Y )．可见乙工人的技术水平比较稳定．已知X(1)求V (X )；(2)设Y ＝2X －E (X )，求V (Y )．解：(1)∵E (X )＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16， ∴V (X )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384. (2)∵Y ＝2X －E (X∴E (Y )＝－16×13＋4×5＋24×15＋84×15＋104×15＝16. V (Y )＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1 536. 已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式V (X )＝ i ＝1nx 2i p i －μ2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况．在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，则E (X )＝__________.答案：52解析：∵P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，∴E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52. 2．一批产品中的次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则σ＝__________. 答案：223解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴V (X )＝σ2＝np (1－p )＝4×13×23＝89，∴σ＝223. 3．设随机变量X ～B (n ，p )且E (X )＝1.6，V (X )＝1.28，则n ＝__________，p ＝__________. 答案：8 0.2解析：∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解之得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝0.2. 4．若随机变量X若E (X )＝1.1，则V (X )＝答案：0.49解析：由15＋p ＋310＝1，得p ＝12. 又∵E (X )＝1.1，∴0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，∴x ＝2. ∴V (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 5．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X ，Y (单位：s)． 其分布列为：解：∵E (X )＝0，E (Y )＝0，∴E (X )＝E (Y )．又∵V (X )＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，V (Y )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝0.9，∴V (X )＜V (Y )．∴A 面大钟的质量较好．。
2019-2020年高中数学2.5随机变量的均值和方差教学案理(无答案)苏教版选修2-3
2019-2020年高中数学2.5随机变量的均值和方差教学案理（无答案）苏教版选修2-3教学目标：1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学方法：问题链导学．教学过程：一、问题情境1．情景．前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下．2．问题．如何比较甲、乙两个工人的技术？二、学生活动1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三、建构数学1．定义．在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值．类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ．2．性质．（1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数）四、数学应用1．例题．例 1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)．说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np．例3 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场,那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．分析先由题意求出分布列，然后求期望．2．练习．根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1 运走设备，此时需花费3 800元；方案2 建一个保护围墙，需花费2 000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60 000元；方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失1 000元．尝试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法．。
【文库精品】高中数学 第2章 概率 2.5 随机变量的均值和方差教学案 苏教版选修2-3
2.5 随机变量的均值和方差第1课时 离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg ，3个重6 kg ，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 的取值是多少？ 提示：x ＝5，6，7.问题2：x 取上述值时，对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？ 提示：5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量的均值或数学期望，也称为X 的概率分布的均值，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ．其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N． (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ．1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的概率分布和均值．[思路点拨] 首先确定X 的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 24＝12，P (B )＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P (D )＝C 13C 4·C 24C 6＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝415＋15＝715.(3)X 可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P (X ＝0)＝15，P (X ＝1)＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310.所以X故X 的均值E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求出均值．1．(广东高考)则X 的均值E (X )＝________．解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：322．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E (X )．解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，X 可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝115， P (X ＝1)＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×45＝25， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，X故E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y . (1)求X 的概率分布； (2)求X 和Y 的均值．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的概率分布如下表：(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (X )＝3×12＝1.5，E (Y )＝3×23＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值．解：(1)投篮一次，命中次数则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5，0.6)． 则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X 表示摸出的黑球数，写出X 的概率分布并求X 的均值．解：记“至少摸出一个白球”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，则P (A )＝C 34C 36＝15，P (A )＝1－P (A )＝45，即至少摸出一个白球的概率等于45.(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13·C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23·C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120.X 的概率分布为所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X 的数学期望为32.[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的均值．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负． (2)X 的取值为0，1，2.[精解详析] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14， P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58， E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的均值等于a 的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x 元保险金，以保险公司的收益额X 作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a .6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的概率分布及均值． 解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＋P (B －CD )＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －)P (C )P (D ) ＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝148，P (X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝18.P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B －C －D )＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23＝1148，P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －CD )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝14，P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38.故X 的概率分布是所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝176..1．求随机变量X 的均值，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．课下能力提升(十五)一、填空题1则E (X )＝________．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，于是，X 的概率分布为所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.答案：－17302．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________． 解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8. 答案：0.076 83．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________． 解析：依题意X 服从两点分布，其概率分布为所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.7 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)， 则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：355. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：65二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？根据均值公式，得E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2， P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k1002，∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2，∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18， P (D )＝12×79×78＝49144. 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144. 所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.第2课时 离散型随机变量的方差和标准差A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A 机床B 机床问题112提示：E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E (X 1)和E (X 2)的值说明了什么？ 提示：E (X 1)＝E (X 2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？ 提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X 的均值为μ， 其概率分布为则(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)p 2＋…＋(x n －μ)p n (其中i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)称为离散型随机变量X 的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V (X )或σ2．②变形公式：V (X )＝ i ＝1nx 2i p i －μ2．③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差 (1)若X ～0－1分布，则V (X )＝p (1－p )； (2)若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N （N －1）；(3)若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1] 已知随机变量X若E (X )＝23，求V (X )．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1np i ＝1求出p 值，然后借助E (X )＝23，求出x 的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴V (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59.[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．1．已知X则V (X )＝________．解析：∵E (X )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3 ＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V (X )＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45. 答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则V (X )＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴V (X )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.答案：916[例2] 某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断． [精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X 1万元， 则X 1的概率分布为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元，则X 2的概率分布为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．V (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，V (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的局数，则X ～B (10，0.51)，故E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的局数，则Y ～B (10，0.49)． 故E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局． 又V (X )＝10×0.51×0.49＝2.499， V (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499. 所以他们技术的稳定性一样.[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X 的取值→计算概率→列出概率分布表→求E （X ），V （X ）[精解详析] X 可能取的值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， V (X )＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] 求离散型随机变量X 的均值与方差的基本步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的概率分布； (4)由均值的定义求E (X )； (5)由方差的定义求V (X )．4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y 的均值和方差．”解：由题意知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15，∴E (Y )＝5×15＝1，V (Y )＝5×15×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝45.5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X 的均值和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2， 则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝ P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92. 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8.(2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B )＝0.4×0.2＝0.08， P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P (X ＝2)＝P (A )P (B )＝0.6×0.8＝0.48. X 的概率分布为E (X )V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.1728＝0.4.1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用X 的均值，方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．课下能力提升(十六)1．已知X 的概率分布为则V (X )＝________．解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.812．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X ，则V (X )的值为________．解析：由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14， 故V (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34.答案：343．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，V (X )＝6，则p ＝________. 解析：∵E (X )＝np ＝7，V (X )＝np (1－p )＝6， ∴1－p ＝67，即p ＝17.答案：174．已知随机变量X且E (X )＝1.1，则V (X )的值为________．解析：由随机变量分布列的性质可得p ＝1－15－310＝12.又E (X )＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2，可得V (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49. 答案：0.49 5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X ，服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7×0.3＝0.21.二、解答题6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X ，求E (X )和V (X )．解：这3张卡片上的数字和X 的可能取值为6，9，12. X ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P (X ＝6)＝C 38C 310＝715.X ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.X ＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以X所以E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X 的均值和方差为E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，V (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的均值和方差为 E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，V (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，V (X )＞V (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X ，求V (X )．解：先求X 的分布列．X ＝0，1，2，3.X ＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P (X ＝0)＝23！＝13； X ＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P (X ＝1)＝33！＝12； X ＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P (X ＝2)＝0； X ＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P (X ＝3)＝13！＝16. 所以X所以E (X )＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1， V (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.。
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_3202012251156
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
条件概率
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_32
指数分布
ex ,
f (x)
0 服从参数为 的指数分
布。 X 的分布函数为
F(x)
1 ex , 0,
x 0,
x<0。
记住积分公式：
x nex dx n!
0
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e ， 2 2 x ，
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
。
参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记
为 X ~ N(0,1) ，其密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1
x
e
t2
2
dt
。
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 1 。 2
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公式 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
条件概率
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
基 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
高中数学 2.5《离散型随机变量的均值与方差》教案 苏教版选修23
2.5 离散型随机变量的均值与方差教学目标（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平； （2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题． 教学过程 一．问题情境 复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式． 2．练习设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = ； 答案：8,0.2n p ==二．数学运用 1．例题：例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差． 解：（1）4411689(4),(3)0,(2),(1),(0)24242424P X P X P X P X P X A ===========，因此X 的分布列为X1234P924 824 624 0 124 （2）9861()012304124242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222229861()(01)(11)(21)(31)0(41)124242424V X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：s ），其分布列如下：X1- 0 1 P0.1 0.8 0.1Y 2- 1- 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较．解：()10.100.810.10()E X s =-⨯+⨯+⨯=，()20.110.200.410.220.10()E Y s =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=所以 ()()E X E Y =，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为2222()(10)0.1(00)0.8(10)0.10.2()V X s =--+-+-=gg g 222222()(20)0.1(10)0.2(00)0.4(10)0.2(20)0.1 1.2()V Y s =--+--+-+-+-=g g g g g 所以()()V X V Y <，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需322ξ≤即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件123,,A A A ． 由已知123,,A A A 相互独立，123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+g g g g123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=所以ξ的分布列为()10.7630.24 1.48E ξ=⨯+⨯=（Ⅱ）解法一：因为2239()()1,24f x x ξξ=-+-所以函数 ξ1 3P 0.76 0.2423()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间上单调递增，要使()[2,)f x +∞在上单调递增，当且仅当342,.23ξξ≤≤即从而4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===解法二：ξ的可能取值为1，3.当1ξ=时，函数2()31[2,)f x x x =-++∞在区间上单调递增， 当3ξ=时，函数2()91[2,)f x x x =-++∞在区间上不单调递增. 所以()(1)0.76.P A P ξ===例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．解：设庄家获利的数额为随机变量X ，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏X 30- 20- 10- 10 20 30 P236 436 636 836 1036 636所以246810665()(30)(20)(10)1020303636363636369E X =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家． 五．回顾小结：1． 已知随机变量的分布列，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解； 2． 如能分析所给随机变量，是服从常见的分布（如两点分布、二项分布、超几何分布等），可直接用它们的期望、方差公式计算；3． 对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差． 六．课外作业：。
高中数学 2.5 随机变量的均值和方差(第2课时)(二)教案
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)课时目标1.进一步理解方差的概念，解决一些应用题.2.掌握几种特殊随机变量的方差．1．特殊随机变量的方差(1)若随机变量X ～0－1分布，则V (X )＝________.(2)若随机变量X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).(3)当X ～B (n ，p )时，V (X )＝________.2．若X 是任意一个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a 、b 为常数， 则Y 也是随机变量，且E (Y )＝________，V (Y )＝________.一、填空题1．若X ～B (n ，p )，E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则P (X ＝1)＝________.(用式子表示)2．某射手每次射击命中目标的概率为35，若现在连续射击3次，则击中次数X 的方差为________．3．某射手击中目标的概率为p ，则他射击一次击中目标的次数X 的期望是________，标准差是________．4．已知随机变量ξ的方差V (ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V (η)＝________. 5．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X 表示解出此题的人数，则E (X )＝________，V (X )＝________.6．假定300名同学中有20名女同学，从中抽取了3人进行体检，抽到女同学的个数为X ，则V (X )大约为________．7．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，D (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别为________． 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．二、解答题9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ，求：(1)随机变量X 的概率分布表；(2)X 的数学期望和方差．10．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时的误差分别为X，Y(单位：s)，其概率分布表如下表，试比较两种品牌手表的质量．X －10 1P 0.10.80.1Y －2－101 2P 0.10.20.40.20.1能力提升11．已知离散型随机变量X的概率分布如下表：X －101 2P a b c1 12若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝______，b＝________.12．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 000 1 400 1 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.11．对特殊随机变量的方差，可直接利用公式计算． 2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)答案知识梳理1．(1)p (1－p ) (3)np (1－p )2．aE (X )＋b a 2Y (X ) 作业设计1．C 16×0.4×0.65解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴n ＝6，p ＝0.4. ∴P (X ＝1)＝C 16×0.4×0.65. 2.1825解析 X ～(3，35)，∴V (X )＝3×35×25＝1825.3．p p (1－p )4．165．0.6 0.42 6．0.123解析 X ～H (3,20,300)，则V (X )＝3×20×280×19790 000×299≈0.123.7．10,0.8解析 因为ξ～B (n ，p )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝np ＝8，V (ξ)＝np (1－p )＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.8.125 解析 V (X )＝100p (1－p )＝100[p (1－p )]2≤100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤p ＋(1－p )22＝25，故标准差V (X )≤5，当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时，等号成立．9．解 (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，则P (X ＝4)＝1A 44＝124；P (X ＝2)＝624；P (X ＝1)＝824；P (X ＝0)＝924.因此X X 0 1 2 4P 924 824 624 124(2)E (X )＝0×924＋1×24＋2×24＋4×24＝1，V (X )＝(0－1)2×924＋(1－1)2×824＋(2－1)2×624＋(4－1)2×124＝1.10．解 E (X )＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)；E (Y )＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)， 所以E (X )＝E (Y )，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为V (X )＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s 2)V (Y )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s 2)，所以V (X )<V (Y )，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲质量高于乙．11.512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.12．解 根据月工资的概率分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，V (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，V (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000，因为E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．。
高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修23
2.5.1 离散型随机变量的均值1．了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理 离散型随机变量的均值 阅读教材P 68～P 70，完成下列问题．1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义 若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N. (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________． 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 43[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.(2)某运动员投篮命中率为p ＝0.6，则 ①求一次投篮时命中次数ξ的均值E (ξ)； ②求重复5次投篮时，命中次数η的均值E (η)． 【精彩点拨】 (1)利用超几何分布求E (X )． (2)利用二项分布求E (ξ)和E (η)．【自主解答】 (1)由题意可知，X ～H (2,3,5)，∴E (X )＝2×35＝65.【答案】 65(2)①由题意可知，ξ～B (1,0.6)，∴E (ξ)＝0.6. ②由题意可知，η～B (5,0.6)，∴E (η)＝5×0.6＝3.1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤： (1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布； (2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E (X )．[再练一题]1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400【解析】 由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.【答案】 B全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【精彩点拨】 (1)利用古典概型求解．(2)先写出X 的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解． 【自主解答】 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.1．求解本题的关键是明确随机变量X 的含义，同时计算P (X ＝2)时采用了间接法． 2．定义法求数学期望的步骤： (1)确定随机变量的取值； (2)求随机变量的概率分布；(3)根据E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求数学期望E (X )．[再练一题]2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×10＋3×10＝2.[探究共研型]的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出X 的取值→写出X 的分布列→求出数学期望E X →利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63， P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1， P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为：(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示．图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． 【解】 (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．[构建·体系]1．随机变量X 的概率分布为：【解析】 E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 【答案】 2.42．将一颗骰子连掷100次，则点数6出现次数X 的均值E (X )＝________.【导学号：29440054】【解析】 ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，16，∴E (X )＝100×16＝503.【答案】5033．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4.【答案】 0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ， P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为(2)E (X )＝0×6＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于________.【导学号：29440055】【解析】 ∵X ～B (40，p )，E (X )＝16， ∴40p ＝16，∴p ＝25.【答案】 252．已知E (Y )＝6，Y ＝4X －2，则E (X )＝________. 【解析】 ∵Y ＝4X －2，E (Y )＝4E (X )－2， ∴6＝4E (X )－2，∴E (X )＝2. 【答案】 23．某一随机变量X 的概率分布如下表．且E (X )＝1.5，则m －n2的值为________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0.8，m ＋2n ＋0.3＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0.4，n ＝0.4，∴m －n2＝0.4－0.2＝0.2.【答案】 0.24．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X ，Y 的分布列分别是：据此判定________【解析】 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.显然E (X )＜E (Y )，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好． 【答案】 甲5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为________．【解析】 X ＝2,3，P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.故E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 836．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的期望E (X )＝________. 【导学号：29440056】【解析】 由题意可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝23.【答案】 237．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数X 的数学期望为________．【解析】 由题意可知，次品数X 服从超几何分布， 其中n ＝2，M ＝3，N ＝10， ∴E (X )＝2×310＝35.【答案】 358．如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于________．图252【解析】 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 【答案】 65二、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1，…，3 000)， ∴P (ξ＝k )＝C k3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k，则ξ～B (3 000,0.04)，那么E (ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝5(个)．[能力提升]1．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则检查得次品数X 的数学期望为________．【解析】 次品率为p ＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布．由公式，得E (X )＝np ＝150×115＝10. 【答案】 102．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是________．【解析】 X 的所有可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝1－p (1－p )－p ＝1－2p ＋p 2，∴E (X )＝1×p ＋2×(1－p )p ＋3×(1－2p ＋p 2)＝3－3p ＋p 2. 由E (X )＞1.75，得3－3p ＋p 2＞1.75，解得p ＜12或p ＞52(舍去)，∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，123．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此，P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.。
2019最新版高中数学 第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学案 苏教版选修2-3
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X 和Y的概率分布如下：思考1 试求E(X)，E(Y)思考2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X 的均值为μ，其概率分布表如下：①方差：V (X )＝σ2＝，其中，p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.变形公式：V (X )＝∑i ＝1nx 2i pi －μ2.②标准差：σ＝________.③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的________程度． (2)方差的性质：V (aX ＋b )＝________.知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差 1．两点分布：若X ～0－1分布，则V (X )＝________________________________________________________________________. 2．超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．二项分布：若X ～B (n ，p )，则V (X )＝__________.类型一 求随机变量的方差例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求V(X)．跟踪训练1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．类型二两点分布与二项分布的方差例2 某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)．跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则V (3ξ)＝________.1．已知随机变量X 的概率分布为则下列式子：①E (X )＝－13；②V (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确式子的序号为________．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V (ξ)＝________.3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，若E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.4.已知随机变量X ～B (100,0.2)，那么V (4X ＋3)的值为________．5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和V(ξ)．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差V(X)越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差V(X)越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．答案精析问题导学 知识点一思考1 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710， E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为E (X )＝E (Y )． 思考3 方差．梳理 (1)①(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ②V (X ) ③平均偏离 (2)a 2V (X ) 知识点二1．p (1－p ) 3.np (1－p ) 题型探究例1 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V (X )＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.跟踪训练1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B .设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2， 则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，∴P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2) ＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92， 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8. (2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.2＝0.08，P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44. ∴X 的概率分布为E (X )＝0.44＋0.96＝1.4，V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4. 例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数， 则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98，所以V (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X 表示抽得的正品数， 则X ～B (10,0.98)，所以V (X )＝10×0.98×0.02＝0.196， 标准差为V (X )≈0.44. 跟踪训练2 (1)13 (2)10解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.(2)由题意知，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 则V (ξ)＝5×13×23＝109，所以V (3ξ)＝9V (ξ)＝9×109＝10.当堂训练1．①③ 2.158 3.512 144.2565．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.V (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。
高中数学 2.5 离散型随机变量的均值与方差(第2课时)离散型随机变量的方差与标准差(一)教案 苏教
§2.离散型随机变量的方差和标准差〔一〕教学目标1．理解随机变量的方差和标准差的含义；2．会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题． 教学重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的意义教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教学过程 一、自学导航 1．复习：⑴离散型随机变量的数学期望1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++，数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 ⑵特殊的分布的数学期望假设X ~0-1分布 那么E (X ) ＝p ； 假设X ~B (n ,p ) 那么E (X )＝np ； 假设X ~H (n ,M ,N ) 那么E (X )＝nMN2．思考：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？3．学生活动我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 二、探究新知1．一般地，假设离散型随机变量X 的概率分布如表所示：那么2()(())i x E X μμ-=描述了(1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度， 故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，〔其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=〕刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2σ．2．方差的意义:方差是一个常用来表达随机变量X V(X) 值大, 表示X 取值分散程度大,EX 的代表性差;而如果 V(X) 值小, 那么表示X 的取值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好.3．方差公式也可用公式221()nii i V X xp μ==-∑计算．4．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X的标准差，即σ=思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 三、例题精讲例1 假设随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X． 解：因为0(1)1p p p μ=⨯-+⨯=，所以22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-，=例2求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差． 解：第2.5.1节例1中超几何分布如表所示：数学期望53μ=，由公式221()ni i i V X x p μ==-∑有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-2047500.9579213759=≈故标准差 0.9787σ≈．例3求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差． 解：0.05p =，那么该分布如表所示：由第2.5.1节例2知()0.5E X μ==，由221()ni i i V X x p μ==-∑得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5C C C σ=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-0.7250.250.475≈-=故标准差0.6892σ≈．说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)X H n M N 时，2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-， 当~(,)X B n p 时，()(1)V X np p =-． 当X~0—1分布时，()(1)V X p p =-例4有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：试分析两名学生的答题成绩水平．解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：X E ⨯⨯⨯甲（）=800.2+900.6+1000.2=90，X E ⨯⨯⨯乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下：222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240V X =-⨯+-⨯+-⨯=甲 222()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480V X =-⨯+-⨯+-⨯=乙由上面数据可知()(),()()E X E X V X V X =<乙乙甲甲，这说明，甲、乙两人所得分数的平均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大． 四、课堂精练 (1)课本701,2P(2)设X ～B ( n , p )，如果E 〔X 〕= 12，V 〔X 〕= 4，求n , p(3)设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下：求q 值，并求E 〔X 〕，V 〔X 〕 .⑷甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量 大致相等，而两个野生动物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数 的分布如表，试评定这两个保护区的管理水平.(甲) (乙) 五、回顾小结1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义； 2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法； 3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法． 六、拓展延伸书本P71 探究拓展题 七、课后作业71P 2，3，4 八、教学后记。
精品2019高中数学 第2章 概率章末小结与测评教学案 苏教版选修2-3
第2章 概率一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）.(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝m n.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，…，n ，q ＝1－p . 二、随机变量的概率分布1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的概率分布 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k q n －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X 的概率分布为：则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N 2（N －1）.3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知离散型随机变量X则E (X )＝________．解析：∵k ＋2k ＋3k ＝1，∴k ＝16，∴E (X )＝1×16＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：732．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝________．解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×35＝15.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝3×23×19＝29. 答案：294．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1，2，3)，则a ＝________． 解析：依题意得a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (AB )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×35＝12.答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0，2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13.答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________．解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________．解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6，1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.答案：2310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________． 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44， ∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np （1－p ）＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，所以E (X )＝3×25＝65. 答案：6513. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：1314．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89. 答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B . (1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验． (1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值．解：(1)X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的概率分布为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，所以E (X )＝5×35＝3. 17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率；(2)求X 的概率分布和均值．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝516.(2)由题意知，X 可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝2×C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝5)＝2×C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×12＝14，P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝516，故X 的概率分布为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的概率分布、均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的概率分布为：所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.19．(本小题满分16分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的概率分布和均值．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝r )＝C r4·C 3－r6C 310(r ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的均值E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； (3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较E (X )与x 的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”． 则C ＝AB ∪AB ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝(AB )＋P (AB )＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。
高中数学 第二章 概率 2.5 随机变量的均值和方差课前导引 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3
..DOC版. 2.5 随机变量的均值和方差课前导引情景导入甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲：所得环数X110 9 8 概率P0.2 0.6 0.2射手乙：所得环数X210 9 8 概率P0.4 0.2 0.4谁的射击水平比较稳定？解析：E（X1）=10×0.2+9×0.6+8×0.2=9,D(X1)=(10-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(8-9)2×0.2=0.2+0.2=0.4,E(X2)=10×0.4+9×0.2+8×0.4=9,D(X2)=(10-9）2×0.4+(9-9)2×0.2+(8-9)2×0.4=0.4+0.4=0.8.由D（X1）<D(X2)，可知甲的射击水平比乙稳定.这即是我们本节所要讨论的方差问题.知识预览把（X1-Eξ）2·P1+(X2-Eξ)2·P2+…+(X n-Eξ)2·P n+…叫做随机变量ξ的_________，简称为_____________；标准差是σξ=_______-,D(aξ+b)=__________;若ξ～B(n,P),那么Dξ=_______(P=1-q). 第一，Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.反之,Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近.统计中常用ξD来描述ξ的分散程度.第二，Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.求离散型随机变量的期望与方差是本章的重点内容，求它们的一般步骤为：（1）先求出随机变量ξ的分布列；（2）利用公式先求Eξ，再求Dξ，Eξ=∑∞[]n=1X n P n=X1P1+X2P2+…+X n P n+….均方差方差ξD a2Dξnp q。
精品2019高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布教学案 苏教版选修2-3
2.2 超几何分布1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X. 问题1：X 取什么数字？ 提示：X ＝0，1，2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果． 问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． 3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球． 问题3：若用X 表示所含红球个数，则X 的取值是什么？ 提示：X ＝0，1，2，3，4.1．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． 2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示.1．抛掷一颗骰子，用X 表示骰子向上一面的点数． 问题1：X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝1，2，3，4，5，6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码． 问题3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X ＝3，4，5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系．提示：问题6：试求概率和．提示：其和等于1.1．随机变量X的分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，3，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为的分布列，也可以用下表表示：通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的p i(i＝1，2，…，n)满足条件p i≥0，p1＋p2＋…＋p n＝1．2．0－1分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．[一点通](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．判断下列变量中是否是随机变量．(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量．解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.\[例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y 所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[思路点拨]分析随机变量的实际背景―→写出随机变量的可能取值→得出具体随机试验的结果[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y ＝12}表示(6，6)．(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是__________________________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X ； (2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X . 解：(1)X 的所有可能的取值为0，1，2，其中，X ＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔； X ＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔； X ＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔； X ＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔； (2)X 可取3，4，5，6，7.其中，X ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片； X ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片； X ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片； X ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[思路点拨] 解答本题先确定X 的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可． [精解详析] 随机变量X 可取的值为2，3，4，P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12 ＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：[一点通] 随机变量的分布列的作用对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．5．已知随机变量X则的值为________．解析：由k n ＋k n ＋…＋k n n 个k n＝1，得k ＝1. 答案：16．设随机变量X 概率分布P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解：由题意知随机变量X(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝55 ＝315＋415＋515＝45， 或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25.7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（两球全红），1（两球非全红）.求X 的概率分布．解：因为X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的概率分布为8. 如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，求X 的概率分布．解：由已知X 的取值为7，8，9，10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布为1．随机变量的三个特征 (1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．课下能力提升(十)一、填空题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中是真命题的有________．(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确． 答案：①②③④2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝5表示的随机试验结果是________． 解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点． 答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点 3．设离散型随机变量X 的概率分布如下：则p 的值为________．解析：∵12p ＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：134．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________． 解析：∵随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，∴取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案：105．随机变量X 的概率分布规律P (X ＝k )＝c k （k ＋1）(k ＝1，2，3，4，其中c 是常数)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为______．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1. ∴c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1， ∴c ＝54.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝541×2＋542×3＝58＋524＝2024＝56. 答案：56二、解答题6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的概率分布；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的概率分布．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝34＋3＝37，P (X ＝1)＝44＋3＝47， 故X 的概率分布如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67，故X 的概率分布如下表：7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的概率分布及P (X >1)的值．解：依题意得P (X ＝1)＝2P (X ＝2)，P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由于概率分布的总和等于1，故P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)＝1.所以P (X ＝2)＝27.随机变量X 的概率分布如下：所以P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X 的概率分布列．解：得分X 的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3. X ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (X ＝－3)＝C 33C 311＝1165；X ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (X ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，∴P (X ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355； X ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (X ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13； X ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (X ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355； X ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (X ＝2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝3时表示取得3个白球，∴P (X ＝3)＝C 33C 311＝1165；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.5 随机变量的均值和方差第1课时离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示：x＝5，6，7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：13，14，512.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n．其中，x i是随机变量X的可能取值，p i是概率，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1．(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nM N．(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值．[思路点拨] 首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P(A)＝C23C24＝12，P(B)＝C24C26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且P(C)＝C23C24·C12·C14C26＝415，P(D)＝C13C24·C24C26＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715.(3)X可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(X＝0)＝15，P(X＝1)＝715，P(X＝3)＝C13C24·1C26＝130.从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝3 10.所以X的概率分布为X 012 3P 15715310130故X的均值E(X)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X 12 3P 35310110则X的均值E(X)＝________．解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：3 22．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E(X)．解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－45＝115，P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×1－45＋1－23×45＝25，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815.所以，X的分布列如下表：X 01 2P11525815故E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的均值．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P(X＝0)＝C03123＝18；P(X＝1)＝C13123＝38；P(X＝2)＝C23123＝38；P(X＝3)＝C33123＝18.所以X的概率分布如下表：X 012 3P 18383818(2)由(1)知E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5，或由题意X～B3，12，Y～B3，23，所以E(X)＝3×12＝1.5，E(Y)＝3×23＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：X 0 1P 0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值．解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A为“摸出的3个球中没有白球”，则P(A)＝C34C36＝15，P(A)＝1－P(A)＝4 5，即至少摸出一个白球的概率等于4 5 .(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13·C23C36＝920，P(X＝2)＝C23·C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120.X的概率分布为X 012 3P120920920120所以E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X的数学期望为32.[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负．(2)X的取值为0，1，2.[精解详析] (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1 4 .(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(B－1·B3)＝P(B－1)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－18－14＝58，E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝9 8 .[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：X x x－aP1－p p由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的均值为E (X )＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ，由题意可知x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .即投保人交(0.1＋p )a 元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a .6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的概率分布及均值．解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BCD －)＋P (B C －D )＋P (B －CD )＝P (B )P (C )P (D －)＋P (B )P (C －)P (D )＋P (B －)P (C )P (D ) ＝34×34×1－23＋34×1－34×23＋1－34×34×23＝716.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝1－34×1－34×1－23＝148，P(X ＝1)＝P (B C －D －)＋P (B －CD －)＝34×1－34×1－23＋1－34×34×1－23＝18. P (X ＝2)＝P (BCD －)＋P (B －C －D )＝34×34×1－23＋1－34×1－34×23＝1148，P (X ＝3)＝P (B C －D )＋P (B －CD )＝34×1－34×23＋1－34×34×23＝14，P(X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38. 故X 的概率分布是X 0123 4 P1481811481438所以E (X )＝0×148＋1×18＋2×1148＋3×14＋4×38＝176..1．求随机变量X 的均值，关键是正确求出X 的分布列，在求X 取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．课下能力提升(十五)一、填空题1．已知随机变量X的概率分布为X －2－101 2P 141315m120则E(X)＝________．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16，于是，X的概率分布为X －2－101 2P 14131516120所以E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.答案：－17 302．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝________．解析：∵X～B(n，0.6)，E(X)＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.∴P(X＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.答案：0.076 83．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X＝1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X的均值为________．解析：依题意X服从两点分布，其概率分布为X 10P 0.70.3所以X的均值是E(X)＝0.7.答案：0.74．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设取得次品数为X(X＝0，1，2)，则P(X＝0)＝C03C27C210＝715，P(X＝1)＝C13C17C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，∴E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：3 55. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________．解析：X的取值为0，1，2，3且P (X＝0)＝27 125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：6 5二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？解：设这次射击比赛中战士甲得X分，战士乙得Y分，则它们的概率分布如下：X 12 3P 0.40.10.5Y 12 3P 0.10.60.3根据均值公式，得E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝ 2.1，E(Y)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝ 2.2.∵E(Y)＞E(X)，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值．解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2，P(X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X 的概率分布列为X 0123 4 P0.090.30.370.20.04所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8. 8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P(x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k1002，∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2，∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18，P (D )＝12×79×78＝49144.由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －·C )＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝12＋1－12·29＋1－12·1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144.所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.第2课时离散型随机变量的方差和标准差A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 1012 3 P0.70.20.060.04B 机床次品数X 2012 3 P0.80.060.040.10问题1：试求E (X 1)，E (X 2)．提示：E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E (X 1)和E (X 2)的值说明了什么？提示：E (X 1)＝E (X 2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X 的均值为μ，其概率分布为X x 1x 2…x n Pp 1p 2…p n则(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n (其中p i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1)称为离散型随机变量X 的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V (X )或σ2．②变形公式：V (X )＝i ＝1nx 2ip i －μ2．③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ＝V （X ）．2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X ～0－1分布，则V (X )＝p (1－p )；(2)若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N 2（N －1）；(3)若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1]已知随机变量X 的概率分布为X 01x P1213p若E (X )＝23，求V (X )．[思路点拨] 解答本题可先根据i ＝1np i ＝1求出p 值，然后借助E (X )＝23，求出x 的取值，最后代入公式求方差．[精解详析]由12＋13＋p ＝1，得p ＝16. 又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴V (X )＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝59.[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．1．已知X 的概率分布为X 123 4 P0.30.20.20.3则V (X )＝________．解析：∵E (X )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V (X )＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45. 答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B3，14，∴V(X)＝3×14×1－14＝916.答案：916[例2] 某投资公司在2016年年初准备将 1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断．[精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的概率分布为X1300－150P 7929∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为X2500－3000P 3513115∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．V(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，V(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？解：用X表示10局中甲赢的局数，则X～B (10，0.51)，故E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢 5.1局．用Y表示10局中乙赢的局数，则Y～B(10，0.49)．故E(Y)＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢 4.9局．又V(X)＝10×0.51×0.49＝ 2.499，V(Y)＝10×0.49×0.51＝ 2.499.所以他们技术的稳定性一样.[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．[思路点拨] 确定X的取值→计算概率→列出概率分布表→求E（X），V（X）[精解详析] X可能取的值为1，2，3，4，5.P(X＝1)＝1 5，P(X＝2)＝45×14＝15，P(X＝3)＝45×34×13＝15，P(X＝4)＝45×34×23×12＝15，P(X＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X的概率分布为X 1234 5P 0.20.20.20.20.2由定义知，E(X)＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V(X)＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] 求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布；(4)由均值的定义求E(X)；(5)由方差的定义求V(X)．4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y的均值和方差．”解：由题意知Y～B5，15，∴E(Y)＝5×15＝1，V(Y)＝5×15×1－15＝45.5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，P(A＋B)＝1－P(A B)＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92，∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92.则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.6×0.8＝0.48.X的概率分布为X 01 2P 0.080.440.48E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V(X)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4.1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．课下能力提升(十六)一、填空题1．已知X的概率分布为X 12 3P a 0.10.6则V(X)＝________．解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝ 2.3.∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.答案：0.812．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则V(X)的值为________．解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B4，14，故V(X)＝np·(1－p)＝4×14×34＝34.答案：3 43．已知X～B(n，p)，且E(X)＝7，V(X)＝6，则p＝________. 解析：∵E(X)＝np＝7，V(X)＝np(1－p)＝6，∴1－p＝67，即p＝17.答案：1 74．已知随机变量X的概率分布为X 01xP 15p310且E(X)＝1.1，则V(X)的值为________．解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－15－310＝12.又E(X)＝0×15＋1×12＋x×310＝1.1，解得x＝2，可得V(X)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.答案：0.495．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X 0 1P 0.30.7所以V(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.答案：0.21二、解答题6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6，9，12.X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(X＝6)＝C38C310＝715.X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(X＝9)＝C28C12C310＝715.X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P(X＝12)＝C18C22C310＝115.所以X的分布列如下表：X 6912P715715115所以E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V(X)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：X 012 3P 0.30.30.20.2Y 01 2P 0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X的均值和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝ 1.3，V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的均值和方差为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝ 1.3，V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，V(X)＞V(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．解：先求X的分布列．X＝0，1，2，3.X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P(X＝0)＝23！＝13；X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P(X＝1)＝33！＝12；X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P(X＝3)＝13！＝16.所以X的概率分布如下：X 012 3P 131216所以E(X)＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1，V(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.。