第六章 测量误差基本知识

偶然误差的特性 偶然误差的特性
有限性：在有限次观测 有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。 渐降性：误差小的出现 渐降性：误差小的出现 的概率大 对称性：绝对值相等的 对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等 抵偿性：当观测次数无 抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
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正态分布
1 f ( x) = ⋅e σ 2π −∞ < x < ∞
( x−µ )2 − 2σ 2
σ >0 若µ = 0, σ = 1
1 则f ( x) = ⋅e 2π
( x )2 − 2
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♦两组观测值中误差图形的比较： 两组观测值中误差图形的比较：
2.7″ m1=±2.7″ 3.6″ m2=±3.6″
∆i = X −li
真 误 差 真 值 观 测 值
(6-1-1) (6-
9
例如： 对358个三角形在相同的 358个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内 角，三角形内角和的误差
∆ i为 ∆i= 180 –(αi +βi+ γI)
γ
其结果如表6 ，图6 其结果如表6-1，图6-1, 分析三角形内角和的误 差∆I的规律。
4
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 系统误差——在相同的观测条件下，误差 在相同的观测条件下， 系统误差 在相同的观测条件下 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 变化。 变化。
误差 钢尺尺长误差∆ 钢尺尺长误差∆Dk 钢尺温度误差∆ 钢尺温度误差∆Dt 水准仪视准轴误差i 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C 经纬仪视准轴误差C …… 处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均) 操作时抵消(盘左盘右取平均) ……
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值 如何取值？ 取值？
如何评价数据的精度？
8
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义： 1.偶然误差的定义： 偶然误差的定义
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 l1,l2,L ln , ，则产生了n个真误 差 ∆ ,∆2,L∆n： , 1
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∫µ
µ + 3σ
−3σ
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x 随机变量X在区间（x1x2） 之 间的概率为 间的概率为
P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ x1 , x2 ∈ ( −∞ ,+∞ )
x2
x1
f ( x ) dx
∫
∞
−∞
f ( x ) dx = 1
则函数 f (x)是连续型随 机变量X 机变量X的分布密度函数
( x−µ )2 2σ 2
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如果
就得正态分布 就得正态分布
− 1 f ( x) = e σ 2π
三、极限误差
若µ = 0 1 则f ( x) = ⋅e σ 2π +σ ∫ f (x) = P(−σ ≤ X ≤ σ ) = 0.6826
−σ
x2 − 2 2σ
∫ σ f (x) = 0.9545
−2
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； 较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； 较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
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正态分布的特征
正态分布密度以 x = µ 为对称轴,并在 x = µ 处 为对称轴, 达到最大。 达到最大。 当 x → ±∞ 时，f(x)→ 0，所以f(x)以x轴为渐近 所以f(x)以 线。 用求导方法可知， 用求导方法可知，在 x = µ ± σ 处f(x)有两个拐 f(x)有两个拐 点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率
中位数：设把n个观测值按大小排列， 中位数：设把n个观测值按大小排列，这 时位于最中间的数就是“中位数” 时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中， 众数：在n个数中，重复出现次数最多的 数就是“众数” 数就是“众数”。 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。 以后的平均数。
[l ] lim n = X n →∞
n
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二、观测值的改正值
若被观测对象的真值不知，则取平均数l 为最优解x 为最优解x 似真差 定义改正值 v = l −l = x −l
i
改正值的特性
满足最小二乘原则的最优解
[v] = ∑ v
∑v v
i i
i
i
i
=0
最小二乘
= min
d [vv] = 2[v] = 2[ x - l] = 0 dx
1 f ( x) = ⋅e 2π
( x )2 − 2
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§6 -2评定精度的标准
一、方差和标准差（中误差） 方差和标准差（中误差）
方差： σ = D ( ∆ ) =
2
∫∆
−∞ 2 2
+∞
2
f (∆ )d∆
离散型 σ =
2
∑
i =1
n
pi∆ i ,
n i
1 2 i =1 当 pi = ,σ = , σ 叫标准差 n n 式中： ∆ i 是观测值 l i的偶然误差
m2 = ±
Σ∆ 2 = ± 3 .6 n
θ1 = θ 2 =
∆ n
= 2 . 4 ′′
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概率
如果函数 f (x)是连续型 随机变量X 随机变量X的分布密度函数
P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ x1 , x2 ∈ ( −∞ ,+∞ )
x2
x1
f ( x ) dx
∫
∞
−∞
f ( x ) dx = 1
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同济大学 测量与国土信息工程系
1
第六章
测量误差基础知识
2
§6-1 测量误差的概念
一、测量误差的来源 1、仪器精度的局限性 、 2、观测者感官的局限性 、 3、外界环境的影响 、
3
产生测量 测量误差的原因 一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 产生测量误差的三大因素： 测量误差的三大因素 仪器精度的局限,轴系残余误差, 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 判断力和分辨率的限制,经验, 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 气象因素(温度变化, 大气折光) 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
α β
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表6-1 误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上 24以上 负误差 K K/n 45 0.126 40 0.112 33 0.092 23 0.064 17 0.047 13 0.036 6 0.017 4 0.011 0 0
59ˊ 58" 179° 00ˊ 03" 180°
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第 组 测 二 观 观 值l 测 Δ 0 00ˊ 00" 180° + 1 59ˊ 59" 159° -7 00ˊ 07" 180° -2 00ˊ 02" 180° -1 00ˊ 01" 180°
粗差——特别大的误差（错误） 粗差
6
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正 找出规律， 系统误差 找出规律 偶然误差——多余观测，制定限差 多余观测， 偶然误差 多余观测 粗差——细心，多余观测 细心， 粗差 细心
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如何处理含有偶然误差的数据？ 如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n 对同一量观测了n次
5
例：
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 一 偶然误差——在相同的观测条件下，误 在相同的观测条件下， 偶然误差 在相同的观测条件下 差出现的符号和数值大小都不相同， 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性， 表面看没有任何规律性，但大量的误差 统计规律” 有“统计规律”
估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差∆ 导致观测值产生误差∆ 。
Σ
181 0.505
177 0.495
358 1.000
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有限性：
偶然误差应 小于限值。
k/d∆
渐降性：
误差小的出 现的概率大
抵偿性：
当观测次 数无限增 大时，偶 然误差的 平均数趋 近于零。
对称性：
绝对值相等 的正负误差 概率相等
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 12 X=∆
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随机变量X服从参数 当X ~ N ( µ , σ )时 为µ , σ 2的正态分布
2
∫ f ( x) = 1 µ σ ∫µ σ f ( x) = P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0.6826
−∞ + −
∞
∫µ
µ + 2σ
− 2σ
f ( x) = P( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0.9545 f ( x) = P( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0.9973
偶然误差的统计 正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
59ˊ 59" 179° 59ˊ 52" 179° 00ˊ 00" 180° 59ˊ 57" 179° 00ˊ 01" 180°
Δ 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
2
0 -4 +3 +2 -3 24
+ 1 + 8 0 + 3 -1 24
Σ 2 ∆ m1 = ± = ±2.7 中 差 误 n
一.产生测 产生测 量误差的原 因
有关名词： 有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测: 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测 等精度观测。 次观测，称为等精度观测。 结论：观测误差不可避免 结论：观测误差不可避免(粗差除外)
− − −
l1 l l
2
∆ n = X − ln
n
n
∆ 1 = v1 + ( X − x ) ∆ 2 = v2 + ( X − x) L ∆ n = vn + ( X − x)
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分别取平方
∆ i = vi + 2vi ( X − x ) + ( X − x )
2 2
2
取和 2 [ ∆∆ ] = [ vv ] + 2 [v ]( X − x ) + n ( X − x )
+2σ +3σ
∫ σ f (x) = 0.9973
−3
23
∆ 允 = 2m
或： ∆ 允 = 3 m
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§6 -3观测值的算术
平均值及改正值
但大多数被观测对象的真值不知， 任何评定观测值的精度，即： ∆=？ m=？ m=？ 寻找最接近真值的值x 寻找最接近真值的值x
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集中趋势的测度（最优值） 集中趋势的测度（最优值）
[ ∆∆ ] = [ vv ] + n ( X − x )
2
32
对
∆ =v +(X −x) i i
取和
代入前式
[∆] =[v]+n(X −x) = n(X −x) [∆] (X −x) = n 2 2 [∆]2 ∆1 +∆2 +L ∆n + 2 (X −x)2 = 2 = 2 n n 2(∆1∆2 +∆1∆3 +L ∆n−1∆n ) [∆ ] + ∆ + = 2 2 n n
Σ( x − li ) = 0
[l ] ∴ =x n
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§6 -4观测值的精度评定
标准差可按下式计算
σ =
2
∑v
i =1
n
2 i
n −1
中误差
m=
∑v
i =1
n
2 i
n −1
30
证明
∆ 1 = X − l1 ∆ 2 = X − l2 L
将上列左右两式相减，得
v v L v
1 2
= = =
x x x
算术平均数：
l
=
∑
n
i=1
li
n
= x
26
满足最小二乘原则的最优解
一、算术平均值：
l
=
∑
n
i=1
li
n
[l ] = = x n
满足最） 证明（x是最或然值）
将上列等式相加，并除以n,得到 将上列等式相加，并除以n,得到 [∆] = X − [l ] n n 更据偶然误差第（4）特性 [∆ ] = 0 [l ] lim n n→∞ ∴ =x
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∑∆
中误差
§6 -2评定精度的标准
一、中误差
[∆∆] m=± n
θ =
Σ∆ n
平均误差
二、相对中误差
σ
l
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按观测值的真误差计算中误差
次 序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ || 第 组 测 一 观 观 值l 测 Δ -3 00ˊ 03" 180° -2 00ˊ 02" 180° +2 59ˊ 58" 179° +4 59ˊ 56" 179° -1 00ˊ 01" 180° 00ˊ 00" 180° 180° 00ˊ 04" 59ˊ 57" 179°