连续模型优化(约束问题)

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《约束优化问题》课件

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借鉴物理退火过程的随机搜索 算法,通过概率接受劣解探索
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一,它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围,使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题,其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题,需要研究其可解释性 和鲁棒性,以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中,模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题,需要研究其可解释 性和鲁棒性,例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等,以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数,将约束优化问题转化为无约束优化问题,然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中,根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
,直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成,因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ,可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中,质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ,可以在保证质量的前提下,实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制

第四章约束问题的最优化方法

第四章约束问题的最优化方法

当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例: 用内点法求
min
f
(x)

x2 1

x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)

x2 1

x2 2

rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值,运用极值条件:
二. 直接解法:
基本思想:合理选择初始点,确定搜索方向,以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优,经过若干次迭代,收敛至最优点。 适用范围:只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点:选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则:每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性:迭代点必须在约束条件所限制的可行域内,即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中:gu (x) 0,u 1,2,...m
其中:gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性:当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的,即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件:
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件;
• 内点的收敛条件为: xk1 xk 1

满足约束条件的优化问题

满足约束条件的优化问题

满足约束条件的优化问题优化问题是指在一定的约束条件下,寻找最优解的过程。

满足约束条件的优化问题是指除了要求最优解外,还需要满足额外的约束条件。

下面我们来看一些常见的满足约束条件的优化问题。

1. 线性规划线性规划是一种常见的优化问题,它的约束条件和目标函数都是线性关系。

线性规划常常被用来解决资源分配和生产优化等问题。

例如,一个公司需要在不同的工厂生产不同的产品,而每个工厂的产能和资源有限,需要通过线性规划来确定最优的生产方案。

2. 整数规划整数规划是一种特殊的线性规划问题,其中所有变量必须是整数。

整数规划通常被用来解决分配问题、调度问题和路线规划等问题。

例如,在运输物品时,一些物品只能装载整数个,需要通过整数规划算法来确定最优的装载方案。

3. 二次规划二次规划是一种约束条件下目标函数为二次函数的优化问题。

二次规划通常被用来解决加工优化和精度控制等问题。

例如,在加工零件时,需要通过二次规划来确定加工参数,以达到最优的加工效果和精度要求。

4. 非线性规划非线性规划是一种约束条件下目标函数为非线性函数的优化问题。

非线性规划通常被用来解决生产调度、经济模型和工业设计等问题。

例如,制造企业需要通过非线性规划来确定最优的生产调度方案,以便在产品需求高峰期满足市场需求。

总之,满足约束条件的优化问题广泛应用于各个领域,它们可以通过各种算法和技术来求解,例如线性规划算法、整数规划算法、二次规划算法和非线性规划算法等。

在解决实际问题时,需要结合具体的情况和需求,选择最合适的优化算法和技术,来求解满足约束条件的最优解。

连续优化、离散优化、组合优化与整数优化

连续优化、离散优化、组合优化与整数优化

连续优化、离散优化、组合优化与整数优化最优化问题(optimization problem)⾃然地分成两类:⼀类是连续变量的问题,称为连续优化问题;另⼀类是离散变量的问题,称为离散优化问题。

1. 连续优化(continuous optimization)连续优化是求解连续优化是求解在连续变量的问题,其⼀般地是求⼀组实数,或者⼀个函数。

离散优化(discrete optimization)2. 离散优化连续优化是求解离散变量的问题,是从⼀个⽆限集或者可数⽆限集⾥寻找⼀个对象,典型地是⼀个整数,⼀个集合,⼀个排列,或者⼀个图。

3. 组合优化(combinatorial optimization)组合优化问题的⽬标是从组合问题的可⾏解集中求出最优解,通常可描述为:令Ω={s1,s2,…,sn}为所有状态构成的解空间,C(si)为状态si对应的⽬标函数值,要求寻找最优解s*,使得对于所有的si∈Ω,有C(s*)=minC(si)。

组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题,它是运筹学的⼀个重要分⽀。

典型的组合优化问题有旅⾏商问题(Traveling Salesman Problem-TSP)、加⼯调度问题(Scheduling Problem,如Flow-Shop,Job-Shop)、0-1背包问题(Knapsack Problem)、装箱问题(Bin Packing Problem)、图着⾊问题(Graph Coloring Problem)、聚类问题(Clustering Problem)等。

这些问题描述⾮常简单,并且有很强的⼯程代表性,但最优化求解很困难,其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运⾏时间与极⼤的存储空间,以致根本不可能在现有计算机上实现,即所谓的“组合爆炸”。

正是这些问题的代表性和复杂性激起了⼈们对组合优化理论与算法的研究兴趣。

4. 整数优化(integer programming, IP)要求所有的未知量都为整数的线性规划问题叫做整数规划 (integer programming, IP) 或整数线性规划 (integer linear programming, ILP) 问题。

约束条件下的最优化问题

约束条件下的最优化问题

在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下,寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。

这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。

常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。

等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系,而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。

数学上,约束条件可以表示为:
1. 等式约束:g(x) = 0,其中g(x)是一个关于变量x的函数。

2. 不等式约束:h(x) ≤0,其中h(x)是一个关于变量x的函数。

最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的,甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。

根据问题的具体形式,可以选择适合的优化算法进行求解,如线性规划、非线性规划、整数规划等。

常见的优化算法包括:
1. 梯度下降法:用于求解无约束或有约束的凸优化问题,在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。

2. KKT条件法:用于求解有约束的凸优化问题,通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。

3. 内点法:用于求解线性规划和凸优化问题,通过在可行域内寻找目标函数的最优解。

4. 遗传算法:用于求解复杂的非线性优化问题,通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。

5. 模拟退火算法:用于求解非线性优化问题,通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。

在实际应用中,约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。

通过合理地建立数学模型,并选择合适的优化算法,可以有效地解决这类问题,并得到最优解或接近最优解的结果。

数学建模优化模型中的约束条件分析与设计

数学建模优化模型中的约束条件分析与设计

数学建模优化模型中的约束条件分析与设计数学建模是一种将现实问题转化为数学问题,并通过数学方法解决问题的方法。

在数学建模中,优化模型是常见的一种模型类型,它通过改变某些变量,使得目标函数达到最优值。

然而,在进行优化模型设计的过程中,约束条件起到了至关重要的作用。

约束条件是指在优化模型中必须满足的条件,它们可以是物理限制、逻辑限制、经济限制等等。

约束条件的分析与设计是确保优化模型能够真实反映实际问题,并得到可行解的关键步骤。

下面将介绍数学建模中约束条件分析与设计的几个重要方面。

一、问题理解与约束条件梳理在进行优化模型设计之前,首先需要充分理解问题的背景与需求,并明确目标函数和决策变量。

然后,根据问题的特点,梳理整理约束条件。

约束条件的梳理可以从以下几个方面出发:1. 数据与实际限制:根据实际情况,确定决策变量的取值范围,如数量的非负性、时间的合理性等。

2. 物理限制:考虑物理因素对问题的影响,如能量守恒、质量平衡等。

3. 逻辑限制:根据问题的逻辑关系,确定决策变量之间的关系,如约束条件的逻辑限制。

4. 经济限制:考虑经济因素对问题的影响,如成本、资源利用率等。

二、约束条件建模与数学形式确定约束条件的建模是将实际问题中的限制条件转化为数学形式的过程。

在进行建模时,需要将问题中的约束条件与目标函数进行合理的数学表达。

具体步骤如下:1. 使用变量表示决策变量和目标函数。

变量的选择应该与问题的实际特点相符。

2. 将约束条件用数学的方式进行表示,可以使用不等式、等式等形式,确保约束条件的完整性。

3. 将目标函数用数学的方式进行表示,并与约束条件进行连接,形成一种综合考虑的数学模型。

这里需要考虑目标函数的优化方向(最大化或最小化)。

三、约束条件的灵活性与敏感度分析一旦建立了优化模型的约束条件,接下来需要对约束条件的灵活性和敏感度进行分析。

这是因为在实际问题中,约束条件可能会发生变化,或者存在一些不确定性。

灵活性和敏感度分析是评估优化模型的鲁棒性和稳定性的重要手段。

优化设计4约束优化方法

优化设计4约束优化方法

22
由此,这种方法的关键是如何确定初始点、搜索方向和搜索步长,而这 些都涉及到随机数问题.因此下面如何产生随机数的方法
23
随机数的产生 产生在区间(0,1)内分布的随机数列rj的常用方法有两种
N=10; DIM R(N) FOR I=1 TO N R(I)=RND(1)
PRINT R(I) NEXT I
条件,就可再加倍增大步长,继续迭代,不断产生新的迭代点。
如果该点已违反了可行性条件,
此时取它的前一迭代点X
(1) 3
作为沿
e1方向搜索的终点转而沿x2坐标
轴正向进行搜索
X 4(已1) 经违犯
了可行性条件
正向的第一个迭代点的目标函数 值增加,即不满足适用性条件,
改取负步长 0 进行迭代
下面的迭代方式与前面相同,直到违反适用性或
21
随机方向法在某个迭代点可以按照足够多的m个方向进行搜索,一般事先
约定搜索方向数m=50~500,m过小会影响最优方向的选择,过大会使收
敛速度降低。因此,随机方向法处理约束优化问题要比约束坐标轮换法灵
活和有效。
以二维约束优化问题为例说明随 机方向法的基本原理。在可行域 内任意选择的一个初始点X(0)出发 给定的步长α=α0按照以某种方法 产生的随机方向S(1)进行搜索,得到 迭代点X=X(0)+αS(1),如果同时满足 可行性和适用性,则表示点X探索成 功。再将点X作为起始点
足约束条件 gu(X) 0(u=1,2,…,m),则应重新随机选择出可行
i=ai(ba)
26
均匀分布的随机数列 i
初始点的选择
27
选择初始点注意:
根据设计变量上限和下限随机产生的初始点, X(0)[x1 (0),x2 (0),xn (0)]T

约束问题的最优化方法

约束问题的最优化方法

m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中:惩罚(加权)因子 降低系数 c:
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类: 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法:随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中:g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例: 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0

约束问题的优化方法

约束问题的优化方法

XR
变形的复合形
可行的新点,用新点代替最坏点, 构成新的复合形,复合形的形状 每改变一次,就向最优点移动一
XC
XL
初始复合形
步,直至逼近最优点。从复合形
法工作原理可看出,实现复合形 法最关键的是:构造复合形和复 合形变换等问题。
XH
0
x1
图4-4复合形法的算法原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.3.2 方法实现的关键技术
初始点更优的新点,至此完成一
轮迭代。然后,以新点为新的初
始点,即令 X 0 X 。重复以
0
上过程,经过若干次迭代计算后,
最终取得约束最优解。
X X
X1 X0
x1 图4-1 随机方向法的原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.2.2 方法实现的关键技术
实现随机方向法的关键包括初始点的选择,可行搜方 向的产生和搜索步长的选择等问题。 (1)初始点形成 随机方向法的初始点 X 0必须是一个可行点,即满足全 部不等式约束条件:g j (X 0 ) 0 ( j 1, 2, , m)。当约束条件 较为复杂,用人工不易选择可行初始点时,可用随机 选择的方法来产生。计算随机点的步骤如下: 1)输入设计变量的下限值和上限值,即
式计算随机单位向量 e j
ej
1
rr12jj
1
n
i 1
rij
22
rnj
( j 1, 2, , k)
(4-3)
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2)取一X 试j 验X步0 长0e0,j 按(4下-4式)计算K个随机点 显然,K个随机点分布在以初始点X 0为中心,以试验 步长 0为半径的超球面上。 3)检验K个随机点X j( j 1, 2, , k)是否为可行点,除 去非可行点,计算余下的可行随机点的目标函数值, 比较其大小,选出目标函数值最小的点 X L。 4)比较X L 和 X 0两点的目标函数值,若 f (X L ) f (X 0 ),则 取X L 和X 0的连线方向 f ( X L ) f ( X 0 ) 作为可行搜索方向 为止。如果缩小到很小(例如 0 106),仍然找不到 一个X L 使 f (X L ) f (X 0 )则说明 X 0 是一个局部极小点,此 时可更换初始点,转步骤1)。

最优化问题的数学模型

最优化问题的数学模型

为凸集.
1,
0 证明: x , y 为超球中的任意两点, 设
则有:
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集.
注: 常见的凸集:空集,整个欧氏空间 超平面: H
T
aR
n
和实数
,
使得: T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .

严格分离点
注: 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集,x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求,最优化模型有不同的形式, 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题

a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集, D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2

约束优化方法的讲解

约束优化方法的讲解
根据它们在惩罚函数中的作用,分别称障碍项和惩罚 项。 障碍项的作用是当迭代点在可行域内时,在迭代过程 中将阻止迭代点越出可形域。 惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约 束条件时,在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或 等式约束曲面。 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行,分为: 内点法、外点法及混合法。
2)按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ,可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等,不会因障碍项的值 太大则其支配作用,也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时,惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列,相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解,直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单,方法实用,其特点是:
1)由于整个过程在可行域内进行,因此,迭代计算不论 何时终止,都可以获得比初始点好的设计点。 2)若目标函数为凸函数,可行域为凸集,则可获得全域 最优解,否则,可能存在多个局部最优解,当选择的初始 点不同,而搜索到不同的局部最优解。 3)要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集;b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路:
将约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数结合起来, 构成一个新的目标函数,即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时,惩罚项愈大,这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0

连续优化

连续优化

连续优化(数学规划):当模型中决策变量的所有分量均为连续数值 线性规划:如果目标函数和约束函数均为线性函数。

非线性规划:如果目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数。

二次规划:目标函数是二次函数,约束函数是线性函数。

离散优化(组合优化):如果模型中决策变量的一个或多个分量只取离散值整数规划:决策变量的一个或者多个分离只取整数数值,进一步分为纯整数规划和混和整数规划。

0-1规划:决策变量的分量中取整数值的范围还限定为只取0和1。

光滑优化:连续优化中的目标函数和约束函数都在可行域内可导非光滑优化:连续优化中的目标函数和约束函数至少有一个在可行域内不可导 凸规划:连续优化中目标函数和约束函数在可行域内都是凸函数非凸规划:连续优化中目标函数和约束函数在可行域内至少有一个不是凸函数 确定性规划:优化模型中的参数和变量具有确定性不确定性规划:优化模型中的参数和变量具有不确定性(随机性或模糊性) 随机规划:优化模型中的参数和变量具有随机性 模糊规划:优化模型中的参数和变量具有模糊性 单目标优化:目标函数只有一个 多目标优化:目标函数有多个目标规划:在多目标优化中选取正负偏差量、目标的优先因子和权系数 单阶段优化(静态优化):决策变量在多个期间内与决策的序列无关 多阶段优化(动态优化):决策变量在多个期间内与决策的序列有关如例题:例 1 用H 乘子法解约束问题22121212min 2;. . 6, 2.x x s t x x x x ++=-+≥ 解 构造增广目标函数()()(){}{}()()22121221222122212122212 (;,,) 26 61 max 0,22.426 6, 4F x v x x x x x x v x x v x x x x x x λμλμμμλνμμ=+-+-++-⎡⎤+--+--⎣⎦+-+-++--= ()()(){}12222121212221212 222661 22, 242x x x x x x x x v x x v x x νμλμνμμμ⎧⎪⎪-+-≥⎪⎪⎨+-+-++-⎪⎪⎪+--+---+-<⎡⎤⎣⎦⎪⎩(1)考虑D:12 22x x νμ-+-≥的情形. 令 ()()()1122122260,,,0426x x x F x x x x λμλνμλμ-++-⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦,得121212,2346x x λμλμμμ++==++. 检验:12122482204646x x λμλμμμ+++-+-=--=-<++(对于足够大的μ),故未得到F 的极小点.(2)另考虑D 1:12 22x x νμ-+-<的情形. 这时,计算并令 ()()()()()()()1121221212 ;,,226220 (1),0 (2)42622F x x x x v x x x x x v x x λνμλμμλμμ∇⎛⎫-++-+--+-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-++----+-⎝⎭⎝⎭由(1)+(2)和(1)-(2)得()()1212121222 60,(3) (4)2220,x x x x x x v x x λμμ+-++-=⎧⎪⎨-+--+-=⎪⎩ 又由(3)+(4)和(3)-(4)得112224 80,44160,x v x x v x λμμλμμ-++-=⎧⎨--+-=⎩ 由此解得12816,2444x x λνμλνμμμ-+++==++. 检验:12122 2281622444 28161 222242 , 2x x vx x μλνμλνμνμμμλνλννμμμμμμνμ-+-+-=-+++-+++=-+⎛⎫++ ⎪⎪=+-⎪++ ⎪⎝⎭<(4)且在该点处 ()224,,,044F x μλνμμ+⎛⎫∇=>⎪+⎝⎭.所以()816,,,2444Tx λνμλνμλνμμμ⎡⎤-+++=⎢⎥++⎣⎦是F 的极小点.把上式中的,λν换为,k k λν,然后将1x 和2x 的表达式代入乘子迭代公式,得1181626,24448162 2.2444k k k k k kk k k kk k λνμλνμλλμμμλνμλνμννμμμ++⎧⎛⎫-+++=-+-⎪ ⎪++⎪⎝⎭⎨⎛⎫-+++⎪=--+- ⎪⎪++⎝⎭⎩当*μμ>时,对上式取k →∞的极限,则有********816 60,(5)2444 816(6) 20.2444λνμλνμμμλνμλνμμμ⎧-++++-=⎪++⎪⎨-+++⎪-+-=⎪++⎩由(5)+(6)和(5)-(6)得****168,(7)22 8(8) 4.12λνμμλνμμ⎧++=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩解之得**10,6λν==.于是,(只要*μμ>,得)原问题的最优解为()[]*10,6,2,4Tx x μ==. □例2用外部罚函数法求解约束问题2212121212min (2)(1);.. 10, 20, 0, 0.x x s t x x x x x x -+--+≥--+≥≥≥解 构造增广目标函数2212122211222121221212(,;) (2)(1) [()() (2)(2) (1)(1)],F x x x x x u x x u x x x u x x x x u x x μμ=-+-+++--+--++-+-+求解无约束问题()12min ,;F x x μ.(1) 考虑D :1212110,20, 0,x x x x x -+≥--+≥≥20x ≥,这时221212(,,)(2)(1)F x x x x μ=-+-,令()12,;0F x x μ∇= ,得[]()2,1T x μ=.将[]()2,1Tx μ=代入D 的约束条件中,有2(())10s x μ=-< ,故()x D μ∉,所以[]()2,1T x μ=不是最优解.(2) 考虑1D :1212110,20, 0, x x x x x -+≥--+<≥20x ≥,这时2221,21212(;)= (2)(1)(2)F x x x x x x μμ-+-+--+,令()12,;0F x x μ∇=,有1122122(2)2(2)0()2(1)2(2)0()x x x a x x x b μμ----+=⎧⎨----+=⎩, , (a )-(b )得211x x =-,再代回(a ),得12321,2121x x μμμμ++==++,有321(),2121Tx μμμμμ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦.将321(),2121Tx μμμμμ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦代入1D 的约束条件中,有1()x D μ∈,所以它是无约束问题()12min ,,F x x μ的最优解.而原问题的最优解则为*32131lim ()lim ,,212122TTx x μμμμμμμ→∞→∞⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. □。

模型优化的难题(含答案)

模型优化的难题(含答案)

模型优化的难题(含答案)模型优化是机器研究中的一个重要问题,通过优化模型可以提高其性能和准确性。

然而,模型优化过程中常常会遇到各种难题。

本文将探讨几个常见的模型优化难题以及对应的解决方案。

1. 过拟合解决方案::- 使用正则化技术:例如L1正则化和L2正则化可以限制模型的复杂度,防止过拟合的发生。

- 使用早停法:在训练过程中监控验证集上的表现,当模型开始过拟合时及时停止训练。

2. 欠拟合解决方案::- 增加模型复杂度:使用更深层次的神经网络或增加模型的参数数量,以提高模型的灵活性。

- 增加特征数量:通过添加更多的特征或使用更高阶的特征,可以提高模型的表达能力。

- 使用集成方法:如随机森林和梯度提升树等方法可以将多个弱研究器集成起来,提高模型的拟合能力。

3. 数据不平衡在某些问题中,不同类别的样本数量差异较大,导致模型对少数类别的预测能力较差。

解决方案::- 重采样技术:对多数类样本进行欠采样或对少数类样本进行过采样,使不同类别的样本数量平衡。

- 使用代价敏感研究:设置不同类别的分类错误所带来的代价,并优化模型使得代价最小化。

- 使用集成方法:如Bagging和Adaboost等方法可以通过集成多个模型来提高少数类别的预测准确性。

4. 特征选择在模型优化过程中,选择合适的特征对模型的性能有很大影响。

解决方案::- 特征相关性分析:通过统计方法分析特征和目标变量之间的相关性,选择相关性较高的特征。

- 使用模型选择特征:例如使用Lasso回归、岭回归等方法可以通过正则化选择具有较高权重的特征。

- 使用领域知识:根据问题的领域知识选择最相关的特征。

以上是几个常见的模型优化难题以及对应的解决方案。

在实际模型优化过程中,往往需要结合多种技巧和方法来解决复杂的问题。

希望本文对模型优化有所启发,并能帮助读者更好地处理模型优化中的难题。

等式约束优化问题的求解方法

等式约束优化问题的求解方法

等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。

它的求解方法在多个领域中得到广泛应用,如机器学习、运筹学、经济学等。

本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。

设等式约束为f(x)=0,目标函数为g(x),则拉格朗日函数为:L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中,λ称为拉格朗日乘子。

根据最优化问题的求解原理,若x*为最优解,则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。

我们可以通过对L(x,λ)求偏导数,然后令它们等于0,得到x*和λ*的值。

具体来说,求解过程如下:1. 求g(x)的梯度,令其等于λf(x)的梯度,即:∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值,令其等于0,即:f(x*)=03. 代入公式,解出λ*。

4. 代入公式,解出x*。

值得注意的是,拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立,即在f(x)=0的前提下,g(x)的最小值存在。

二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。

它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。

具体来说,求解过程如下:1. 初始化x0。

2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。

3. 利用二阶导数信息,优化一个二次模型,即:min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。

4. 求解约束最小二乘问题的解x*,即为下一轮的迭代结果。

5. 判断是否满足终止条件。

若满足,则停止迭代,输出结果。

否则,返回第2步。

牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效,但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。

三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。

其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。

这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。

约束优化问题的求解方法

约束优化问题的求解方法

约束优化问题的求解方法约束优化问题(Constrained Optimization Problem)是指在一个给定的约束条件下,在所有可行的解中找到最优解的问题。

这类问题在现实中广泛存在,包括物流配送、资源分配、工程设计等领域。

如何有效地求解约束优化问题是科学研究和工程实践中的一个重要问题。

求解约束优化问题的基本方法是利用数学模型和优化算法。

数学模型是对问题的抽象和表达,它将问题中的各种因素、变量、约束、目标函数都用数学符号和方程式来描述。

优化算法则是根据数学模型对解进行求解的方法和技术。

具体来说,一个典型的约束优化问题可以描述为:$$\min f(\mathbf{x})$$$$s.t. \quad g_j(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,2,...,m$$$$h_k(\mathbf{x})=0, k=1,2,...,p$$其中,$f(\mathbf{x})$是目标函数,$\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]$是决策变量向量,$g_j(\mathbf{x})$是不等式约束,$h_k(\mathbf{x})$是等式约束,$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的数量。

对于约束优化问题,大致有以下几种求解方法。

1. 等式约束和不等式约束均为线性约束的约束优化问题可以使用线性规划方法求解。

线性规划是指目标函数和所有约束均为线性函数的优化问题。

线性规划具有较好的求解效率且有高度的理论成熟度。

目前已经有很多线性规划求解器可供使用。

例如OpenSolver、Gurobi等。

2. 不等式约束为凸函数的约束优化问题可以使用凸优化方法求解。

凸优化问题是指其目标函数和不等式约束均为凸函数的优化问题。

凸优化具有全局最优性和求解效率高的特点,其求解方法有许多,例如基于梯度的方法、基于内点的方法等。

凸优化库MATLAB Optimization Toolbox和Python库CVXPY都提供了凸优化的求解工具。

第五章 约束优化方法

第五章 约束优化方法
如果点 是最优点,则必须满足K-T条件; 反之,满足K-T条件的点则不一定是约束最优点。
只有当目标函数是凸函数,约束构成的可行域是凸集 时,则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。
讨论: 约束最优解的必要条件——几何条件
当迭代点 有两个起作用约束,写出目标函数与 约束集的关系如下:
区域内
5.3.1 约束坐标轮换法
一、约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别
约束坐标轮换法的基本思想与无约束坐标轮换 法基本相同,其主要区别如下:
1、沿坐标方向搜索的迭代步长采用加速步长, 而不是采用最优步长。因为按照最优步长所得到的迭 代点往往超出了可行域。
2、对于每一个迭代点,不仅要检查目标函数值 是否下降,而且必须检查是否在可行域内,即进行适 用性和可行性的检查。
2、将非可行点移入可行域
用上述方法的随机点不一定是可行点。但是只 要它们中至少有一个点在可行域内,就可以用一定 的方法将非可行点移入可行域。如果k个随机点没 有一个是可行点,则应重新产生随机点,直至其中 有至少一个是可行点为止。
对于具有等式约束的优化问题,若出现两个或两个
以上的局部最优点,此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小的一个。
对于具有一般约束的优化问题,若出现两个或两个 以上的局部最优点,此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小且同时满足等式约束与不等式约束的一个。 例如:设数学模型为
该优化问题的最优点如下图所示,对于这两个局部最小
5.3.2 随机方向法
参看右图 预先选定可行初始点 , 利用随机函数构成随机方 向S1,按给定的初始步长
,沿S1方向取得 试探点
检查x点的适用性和可行性
若满足
继续按下面的迭代式在S1方向上获取新点。重复上 述步骤,迭代点可沿S1方向前进。直至到达某迭代点 不

约束问题的最优化方法

约束问题的最优化方法

3. 优化方法: 选用内点惩罚法,惩罚函数形式为: 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值,以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时; x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0


§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式:

x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中:gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析:
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法)
一. 基本思想: 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外,随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增,生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k)),在可行域外逐步
迭代,产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例:求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数:

数学建模中的优化问题与约束条件的求解

数学建模中的优化问题与约束条件的求解

数学建模中的优化问题与约束条件的求解数学建模是一门研究如何将实际问题抽象为数学模型,并利用数学方法解决这些问题的学科。

在数学建模中,优化问题是一类常见且重要的问题。

优化问题的目标是在给定的约束条件下,找到使某个指标达到最优的解。

而约束条件则是对解的限制,限制了解的取值范围。

在数学建模中,优化问题的求解可以通过多种方法来实现。

其中,最常用的方法之一是数学规划。

数学规划是一种通过建立数学模型来描述优化问题,并利用数学方法求解的技术。

常见的数学规划方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。

线性规划是一种常见且简单的数学规划方法。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的,因此可以通过线性代数的方法进行求解。

线性规划的求解过程可以通过图形法、单纯形法等方法来实现。

图形法通过绘制目标函数和约束条件的图形来找到最优解。

而单纯形法则是一种通过迭代计算来逐步逼近最优解的方法。

非线性规划是一种更为复杂的数学规划方法。

非线性规划的目标函数和约束条件可以是非线性的,因此求解过程需要使用更为复杂的数学方法。

常见的非线性规划方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法通过计算目标函数的梯度或者黑塞矩阵来实现迭代求解。

除了数学规划方法外,还有一些其他的优化方法可以用于求解优化问题。

其中,遗传算法是一种常见的启发式优化方法。

遗传算法通过模拟生物进化的过程,利用选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

遗传算法适用于一些复杂的优化问题,尤其是那些没有明确的数学模型的问题。

在数学建模中,约束条件的求解也是一个重要的问题。

约束条件可以分为等式约束和不等式约束两种。

等式约束是指解必须满足的等式条件,而不等式约束则是指解必须满足的不等式条件。

约束条件的求解可以通过拉格朗日乘子法来实现。

拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子,将约束条件转化为目标函数的一部分,从而将含约束的优化问题转化为无约束的优化问题。

除了拉格朗日乘子法外,还有一些其他的约束条件求解方法。

数学建模中的优化问题

数学建模中的优化问题
30
奥运会临时超市网点设计
23
奥运会临时超市网点设计
(找关键性语句)
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间,在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点, 称为迷你超市( Mini Supermarket, 以下记做 MS ) 网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ,在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求:满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
(找关键性语句)
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间,在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点, 称为迷你超市( Mini Supermarket, 以下记做 MS ) 网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ,在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求:满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
(找关键性语句)
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间,在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点, 称为迷你超市( Mini Supermarket, 以下记做 MS ) 网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ,在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求:满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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一般形式:
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
❖ 1.求解非线性规划问题的函数fmincon
1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均
输入参数语法:
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon, ...)
x1 2x2 2x3 0 x1 2x2 2x3 72
这是2个线性约束,形如 Ax b
这里: A=[-1 -2 -2; 1 2 2 ]; b=[0 72]’;
第三步:提供一个搜索起点,然后调用相 应函数,程序如下:
% 给一个初始搜索点
x0 = [10; 10; 10];
主程序(整体):
求解方法:主要由于约束条件、目标函数不同而不同
非线性规划的基本解法
惩罚函数法的基本思想:利用原问题的中的约束 函数构造适当的惩罚函数,并和原问题的目标函数 相加,得到带参数的增广目标函数,从而将原问题
转换为一系列无约束非线性规划问题。所以也称序
列无约束极小化技术(Sequential Unconstrained Minimization Technique, SUMT)
*采用黄金分割查找和抛物线插值算法
例2:求解
min f (x) cos(4x 5)
0 x
2
[x,fval]=fminbnd('cos(4*x+5)',0,pi/2) 结果:
x=
1.1062
fval =
-1.0000 表示当x=1.1062时,函数取得最小值-1。
2 fminsearch函数
例子:min f (x) 2(x1 1)2 3(x2 3)2
A b
eq
eq
l X u
注意:约束有线性等式、不等式约束
语法:
x = lsqlin(C,d,A,b) x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,resnorm] = lsqlin(...) [x,resnorm,residual] = lsqlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(...)
1 fminbnd求单变量函数最小值点 2 fminsearch求多变量函数最小值点 3 fminunc求多变量函数最小值点
1 fminbnd求单变量函数最小值点
x = fminbnd(fun,x1,x2) x = fminbnd(fun,x1,x2,options) x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...) [x,fval] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)
124.3622
最优化问题的解
局部最优解 f(X)
整体最优解
求解无约束最优化
一般形式: min f( X ) 或
max f( X )
标准形式: min f( X )
求解的基本思想 ( 以二元函数为例 )
f (x1 x2 )



微 0
x2
x1
迭代法一般步骤
(1) 选定初始点 X (0),k=0 (2) 寻找一个合适的方向 P (k),k=0,1,2,…
lsqnonlin(...)
返回参数说明
resnorm 等于 norm(C*x-d)^2 residual 等于C*x-d
例3:求解x,使得下式最小
10
(2 2k ekx1 ekx2)2
k 1
第一步:编写M文件myfun.m计算向量F
function F = myfun(x) k = 1:10; F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
❖ 4.非线性最小二乘lsqnonlin
适合模型:
min 1 2
F(X)
2 2
1 2
i
Fi
(
X
)
2
X
s.t. l X u
语法:
x = lsqnonlin(fun,x0) x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) x = lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2, ... ) [x,resnorm] = lsqnonlin(...) [x,resnorm,residual] = lsqnonlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonlin(...) [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =
fval = 3.1076e-009
exitflag = 1
求解有约束最gi (x) 0(i 1,2,, m)
h j (x) 0( j 1,2,,l)
其中f(x),gi(x),hj(x)均是En上的连续函数(i=1,2,…,m; j=1,2,…,l)。
1、编写函数: function f=fun1search(x) %通过fminsearch求极小值的函数 f=2*(x(1)-1)^2+3*(x(2)-3)^2; 2、输入命令求解: [x,fval,exitflag]=fminsearch('fu
n1search',[0 0])
结果:
x= 1.0000 3.0000
例2:求解如下最优化问题.
min f (x) x1x2 x3 s.t 0 x1 2x2 2x3 72
第一步:编写一个M文件返回目标函数f在点 x处的值函数程序
函数myfun.m function f = myfun(x) f = -x(1) * x(2) * x(3);
第二步:为了调用MATLAB函数,必须将模 型中的约束转化为如下形式(<=)。
P (k)为第 k+1 步的搜索方向。
(3) 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
(4) 得到新的点 X (k+1), X (k1) X (k) (k) P(k)
检验 X (k+1)是否最优,如果是最优,则迭代结束,
否则 k k 1,转到(2)执行。
Matlab求解无约束非线性最小化
第二步:调用优化函数lsqnonlin
% 给定搜索起点 x0 = [0.3 0.4] ; % 调用求解函数 [x,resnorm] = lsqnonlin('myfun',x0) x=
0.2578 0.2578 resnorm %residual or sum of squares resnorm =
连续模型优化
最优化问题的基本概念 求解无约束最优化 求解有约束最优化
最优化问题的基本概念
许多实际问题都可以归纳为最优化问题, 最优 化模型是数学建模中应用最广泛的模型之一;其 内容包括线性规划、整数线性规划、非线性规划、 动态规划、多目标规划、最优控制等.
最优化问题的一般形式
目标函数
约束条件
可行解域
1、罚函数法
惩罚函数法(SUMT外点法) 障碍函数法(SUMT内点法)
2、近似规划法
Matlab求解有约束非线性最小化
❖ 求解非线性规划问题的函数fmincon ❖ 非负条件下线性最小二乘lsqnonneg ❖ 有约束线性最小二乘lsqlin ❖ 有约束非线性最小二乘lsqnonlin
❖ 1.求解非线性规划问题的函数fmincon
对照约束条件编写myfun1.m
x12 x22 x32 100
x12 10x32 60
x1
x
2 2
x3
80
x13 x22 x3 80
function [c,ceq] = mycon1(x) c(1) = x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+x(3)*x(3)-100 c(2) = 60 - x(1)*x(1) + 10*x(3)*x(3) ceq(1) = x(1) + x(2)*x(2) + x(3) - 80 ceq(2) = x(1)^3 + x(2)*x(2) + x(3) - 80
A=[-1 -2 -2; 1 2 2 ]; b=[0 72]’;
% 给一个初始搜索点
x0 = [10; 10; 10]; [x,fval] = fmincon('myfun',x0,A,b)
最后得到如下结果:
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval = -3.4560e+03
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