三角形重心的性质
三角形的重心与外心
三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。
一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
三角形的重心
三角形的重心三角形的重心是指连接三角形的三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
三角形重心的坐标可通过计算三个顶点坐标的平均值得出。
重心在三角形内部，距离三个顶点的距离相等。
三角形的重心在数学和几何学中有很重要的应用。
它是很多定理的基础，也是许多几何问题的解决方案。
在本文中，我们将更深入地了解三角形的重心，并探讨一些与它相关的性质和定理。
首先，让我们考虑一个普通三角形ABC。
我们可以通过连接顶点A 与边BC的中点D，顶点B与边AC的中点E，以及顶点C与边AB的中点F，得到三条中线AD，BE，CF。
我们可以使用以下公式来计算重心的坐标：重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x 坐标) / 3重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y 坐标) / 3例如，对于一个三角形ABC，假设A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，我们可以通过代入这些坐标计算重心的坐标。
重心的x坐标 = (1 + 3 + 5) / 3 = 3重心的y坐标 = (2 + 4 + 6) / 3 = 4因此，重心的坐标为(3,4)。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个性质是，重心将每条中线按两个比例分割。
具体来说，重心将AD分割成2:1，BE分割成2:1，CF分割成2:1。
这意味着重心到顶点的距离是重心到对应中点距离的二倍。
另一个重要的性质是，三角形的内心、重心和垂心共线。
内心是三角形内切圆的圆心，垂心是通过连接三角形的顶点与对应边垂直平分线的交点。
这个性质被称为Euler定理。
此外，重心还有其他一些性质。
例如，重心和对边的中点连线垂直。
重心还将每个顶点与重心的连线分割成1:2比例。
在许多三角形问题中，重心是求解问题的关键。
例如，通过重心可以确定一个三角形是否是等边三角形或等腰三角形。
如果一个三角形的三个顶点在同一直线上，那么这个三角形的重心就是这条直线的同一点。
三角形中心的性质
三角形中心的性质三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
而三角形的中心是指三角形内部的一个点，可以是重心、外心、内心、垂心等。
这些中心点都具有各自独特的性质，对于研究三角形有着重要的作用。
重心三角形的重心是由三条中线的交点构成的，中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心到各个顶点的距离是相等的，同时重心距离每条边的距离也是相等的。
因此，重心是三角形的一个重要几何中心，它将三角形平分成六个三角形，并且重心到顶点的线段与重心到对边中点的线段成比例关系。
外心三角形的外心是通过三个顶点的垂直平分线的交点构成的，外心是三角形外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离相等，同时外心与三个顶点构成的角的大小是三个直角的平分线。
外心具有稳定性好、便于构造等特点，因此在解决三角形相关问题时经常会用到。
内心三角形的内心是由三条角平分线的交点构成的，内心是三角形内切圆的圆心。
内心到三条边的距离相等，即到三边的距离和是固定的，这个和称为内切圆半径。
内心同时也满足了三角形的性质：三个角的平分线交于一点，这在解决以角度为中心的几何问题时非常有用。
垂心三角形的垂心是由三条高的交点构成的，垂心是三角形外接圆的直径的端点之一。
垂心具有重要的作用，在解决与垂直关系相关的几何问题时经常会涉及到。
垂心到三个顶点的距离是可变的，通过垂心，我们可以推导出三角形的内切圆半径和三角形各边的关系。
综上所述，三角形中心的性质包括重心、外心、内心和垂心，它们分别对应了三角形的不同特性。
掌握这些中心的性质，有助于我们更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
三角形中心的研究是几何学中的重要内容之一，通过深入了解和运用这些性质，我们可以更好地理解和掌握三角形的特性和规律。
三角形重心位置的确定方法
三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形)
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]; 空间直角坐标系--X坐标:(X1+X2+X3)/3，Y坐标:(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标:(Z1+Z2+Z3)/3.
5.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
三角形重心公式推导：
△ABC中:AD是BC的中线,BE是AC的中线,AD,BE交于O,连CO延长交AB 于F,请证明:F是AB的中点.
设△BOD=△COD=x(都是面积,下同)△COE=△AOE=y,△AOF=m,△BOF=n,
设△ABC面积为1,由D是BC的中点,E是AC的中点,
∴2x+y=1/2(1)x+2y=1/2(2)∴x=y=1/6.由△ACF=1/2,∴m+2y=1/2m=1/2-1/3=1/6.同理:n=m=1/6.∴AF=BF,即CF也是AB的中线,∴O是△ABC的重心.。
三角形重心、外心、垂心、内心性质
三角形重心性质定理1三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
2重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
3重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
4重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
5在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/36重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
7重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。
三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2∠BOA = 90 °+∠C/2∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结在数学的几何世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的重心，则是三角形中的一个关键概念。
接下来，咱们就详细聊聊三角形重心的相关知识。
首先，什么是三角形的重心呢？三角形的重心是三角形三条中线的交点。
那中线又是什么呢？连接三角形一个顶点和它对边中点的线段就是中线。
为了更直观地理解重心，咱们可以通过一些实验或者实际操作来感受一下。
比如，用一块质地均匀的三角形木板，通过支撑点让它平衡，这个平衡的支撑点大致就是重心的位置。
重心有一些非常有趣且重要的性质。
其中一个重要性质是，重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ：1 。
也就是说，如果设重心为 G ，三角形的三个顶点分别为 A 、 B 、 C ，对应的三条中线分别为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 分别为 BC 、 AC 、 AB 的中点，那么 AG ： GD ＝ BG ： GE ＝ CG ： GF ＝ 2 ： 1 。
这一性质在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。
比如，在计算三角形内部某些线段的长度比例关系时，或者在证明一些几何定理时。
另外，三角形的重心还有一个特点，就是它把每条中线都分成了长度比为 2 ： 1 的两段。
这意味着，如果中线的长度为 L ，那么重心到顶点的距离就是 2L ／ 3 ，重心到对边中点的距离就是 L ／ 3 。
在实际应用中，重心的概念也经常出现。
比如在物理学中，如果把三角形看作一个均匀的薄板，那么重心就是薄板的质心。
当薄板在重力作用下平衡时，重心就在通过支撑点的铅垂线上。
我们还可以通过坐标法来确定三角形的重心坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为 A （ x₁, y₁）、 B （ x₂, y₂）、 C （ x₃,y₃），那么三角形重心 G 的坐标为（（ x₁＋ x₂＋ x₃）／ 3, （ y₁＋ y₂＋ y₃）／ 3 ）。
通过这个坐标公式，我们可以方便地在已知三角形顶点坐标的情况下求出重心的坐标，进而解决一些与坐标相关的几何问题。
三角形的重心外心与内心
三角形的重心外心与内心三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，它由连结三个非共线点而成。
三角形具有许多重要的性质和特点，其中包括重心、外心和内心。
本文将从重心、外心和内心的定义、性质、计算方法以及应用等方面进行探讨和讲解。
一、重心重心是一个三角形内部一个特殊点，它由三个三角形的垂直平分线的交点所确定。
垂直平分线是由三角形的顶点连结对边中点而成。
重心的性质如下：1. 重心所在的垂直平分线，将三角形分成两等面积的三角形。
（垂直平分线将底边分成相等的两部分，因此上下两个三角形面积相等）2. 重心到三角形的各顶点的距离，分别相等且比重心到任意其他点的距离短。
（重心是三角形内到各顶点距离之和最短的点）3. 三角形的重心是三角形内所有到各顶点距离之和最小的点。
计算重心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，重心为G，则重心的坐标为：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
二、外心外心是一个三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆是经过三个顶点的圆。
外心的性质如下：1. 三角形的三条边都是外接圆的直径。
2. 外心到三个顶点的距离都相等，且外心到任意一边的距离等于该边的半径。
计算外心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，外心为O，半径为r，则外心的坐标为：x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
三角形的五“心”及其性质
三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。
1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。
重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。
2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。
外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。
3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。
内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。
4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。
5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。
旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。
这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。
- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。
- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。
- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。
- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。
三角形重心定理
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 三角形五心定理二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
直角三角形重心知识点总结
直角三角形重心知识点总结一、重心的概念重心是一个几何形状的质心，表征着这个形状的整体重量的几何中心。
在直角三角形中，三条中线的交点就是重心，位于三角形的内部。
重心是一个三角形的重要性质，能够帮助我们研究三角形的性质和相关定理。
二、重心的性质1. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形2. 重心到顶点的距离是中线到所在边中点距离的二分之一3. 重心到对边中点的距离是重心到这条边的距离的二分之一4. 重心到任一顶点的距离是重心到非对角顶点中点的距离的二分之一5. 重心同时在三条中线上三、如何求直角三角形的重心通常我们可以通过以下几种方法来求解直角三角形的重心：1. 根据重心的定义来求解2. 利用中线长度关系来求解3. 利用坐标方法来求解下面我们就分别来看一下这几种方法的具体步骤。
四、根据重心的定义来求解在直角三角形中，重心就是三条中线的交点，所以我们可以通过以下步骤来求解：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线的定义，找到AB、BC、AC的中点D、E、F3. 用直线相交的方法求解出重心G这种方法简单直接，但是需要保证我们能够准确地找到中点和重心的坐标。
五、利用中线长度关系来求解在直角三角形中，三条中线的长度关系是：AG^2 = 2 * BG^2 = 2 * CG^2。
我们可以通过这个关系来求解重心。
具体步骤如下：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线长度关系，求解出重心G的坐标这种方法相对简单，只需要比较中线长度关系即可求解出重心的坐标。
六、利用坐标方法来求解在直角三角形中，我们可以利用坐标方法来求解重心的坐标。
具体步骤如下：1. 已知直角三角形的三个顶点A、B、C的坐标2. 分别求得AB、BC、AC的中点D、E、F的坐标3. 利用中点和重心的关系，求解出重心G的坐标这种方法是最直接的，只需要根据坐标计算的方法，即可求解出重心的坐标。
七、直角三角形重心的应用1. 利用重心来求解三角形的面积直角三角形的重心可以将三角形分成三个面积相等的三角形，利用这一性质，我们可以通过重心来求解三角形的面积。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1 、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰ 1 。
2 、重心和三角形
3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3 、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形
外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。
2、三角形外心 O、重心 G 和垂心H 三点共线，且 OG ︰ GH=1 ︰ 2 。
（此直线称为三角形的欧拉线（ Euler line））
3 、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形重心有什么性质
三角形重心有什么性质
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²) -1/3(AB²+BC²+CA²)。
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则A B/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB ²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
扩展资料：
重心确定方法
1，组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。
2，负面积法
如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。
3，实验法（平衡法）
如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。
主要包括悬挂法和称重法。
证明三角形重心判定性质
证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。
在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。
在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。
三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。
这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。
三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。
首先，我们需要知道中线是什么。
中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。
因此，三角形有三条中线。
中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。
假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。
这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。
等边三角形重心的性质
等边三角形重心的性质
三角形重心是三角形三条中线的交点。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）
性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
性质六、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
性质七、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
关于重心的顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为重心
重心分割中线段，线段之比二比一；。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形中心的性质与应用
三角形中心的性质与应用在三角形中，有许多不同的中心，包括重心、外心、内心和垂心，这些中心有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我们将深入探讨这些性质和应用，并展示它们在几何学中的重要地位。
重心重心是三角形的质心，它由三条中线的交点定义。
中线是从三角形每个角的顶点到相对边的中点的线段。
重心是三条中线所形成的三角形的重心。
重心有一个有趣的性质：它分割每条中线的长度比例为2:1。
这意味着，从三角形的每个角到中点的距离与从中点到重心的距离的比值为2:1。
这个性质可以很容易地用向量证明。
此外，重心还有其他有趣的性质。
例如，重心到每个角的距离之和等于三角形周长的三分之一。
这可以用三角形面积和周长的关系很容易证明。
重心的应用非常广泛。
例如，重心是确定三角形的平衡点的重要工具。
在艺术和建筑中，平衡非常重要，因此重心经常被用于确定正确的比例和布局。
外心外心是三角形外接圆的圆心。
即外接圆是包含了三角形的三个顶点的圆，外心是这个圆的中心。
外接圆的特点是，三角形的三条边均切该圆，则该圆是三角形内接圆中最大的一个。
用向量证明，外心到三个顶点构成的向量垂直于相应的边，即外角。
另外，三角形外接圆的直径等于三角形的最长边。
外心还有许多其他有趣的性质。
例如，它到三个顶点的距离相等；同时也是三个外角的平分线相交处。
外心的应用在于测量和定位。
在建筑和制造业中，我们可以使用外心来确定圆的位置和大小。
同样地，外心可以用来处理用于医疗成像和三维扫描的点云数据。
内心内心是三角形内切圆的圆心。
内切圆的特点是该圆在三角形内部接触三角形的三条边，也就是该圆是包含于三角形内部的光学最大圆。
内心有很多有趣的性质。
例如，它到三角形三边的距离是相等的，这个距离就是内切圆的半径。
同时，内心也是三个内角平分线的交点。
在实际应用中，内心的应用广泛。
例如，在制造业中，它可以被用来设计圆锥形零件。
同样地，它也可以用来解决与呼吸和循环系统有关的一些医学问题。
垂心垂心是三角形三条高的交点。
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A B C
D E F O 三角形重心性质定理
河南省嵩县城关镇二中 王向飞
教学目标：感受三角形重心的概念，三角形重心的性质的形成，并会应用三角形重心的性质求线段的长度和三角形的面积
教学重点：三角形重心的性质及其应用
教学难点：三角形重心的概念及性质的形成
教学过程
一、导入
让学生观察一组杂技图片，由此引入数学实验。
二、活动一 数学实验
1、用笔尖支撑三角形硬纸板，变化支撑点的位置，使三角形纸板保持 平衡，并标出支撑点的位置。
2、（1）在三角形纸板上任取一点，用细线在该点处将纸板悬挂。
待纸板静 止后，在纸板上沿悬挂线方向画一条直线，所画直线与1中的支撑点有什么关系？
（2）再任意找一点，重复上述操作，画出两条所画直线的交点，用笔尖支撑该点，你有什么发现？
3、在2中的三角形纸板上画出三角形3条中线的交点，这个交点与2中找到的支撑点有什么关系？你发现了什么？
从而得到三角形重心的定义。
三、活动二 三角形重心性质定理的探究
1、性质推理
在△ABC 中，BD 、CE 是边AC 、AB 上的中线，BD 与CE 相交于O 。
BO 与OD 的长度有什么关系？BD 与OD 又是什么关系？为什么？
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心。
这道习题要证明的结论是三角形
重心的一个重要数学性质：三角形的重心一边中点的连线长是相应中线长的1/3。
证法1：课本上的证明方法
证法2取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。
（如图1）
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评：证法2是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法3：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。
∵G是BF的中点，D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC
由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF
∴AG=FC，即GD=AG
点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法4：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。
（证明过程略）
2、三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6， 那么线段DG=_______。
⑵求面积
例2 在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若△BOD 的面积等于5，求 △ABC 的面积。
解：∵O 是△ABC 的重心，
∴AO ∶OD=2∶1
∴S △AOB ∶S △BOD =2∶1 即S △AOB =2 S △BOD =10
∴S △ABD = S △AOB + S △BOD =10+5=15
又AD 是△ABC 的中线
S △ABC =2 S △ABD =30。
点评：三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线把三角形分成了两个不同底， 但等高的小三角形。
四、练习：
1、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O,AB=6,AC=8,BC=10。
则线段OA=_____，OF=_____。
2、如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,若G为重心，求AG的长度。
五、作业
必做题：如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为_______。
选做题：如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G 是Rt△ABC的重心GE⊥AC于点E，若BC=6cm，求GE的长。
六、小结
今天你学会了什么？（由学生总结）。