三角形重心的性质

A B C

D E F O 三角形重心性质定理

河南省嵩县城关镇二中 王向飞

教学目标：感受三角形重心的概念，三角形重心的性质的形成，并会应用三角形重心的性质求线段的长度和三角形的面积

教学重点：三角形重心的性质及其应用

教学难点：三角形重心的概念及性质的形成

教学过程

一、导入

让学生观察一组杂技图片，由此引入数学实验。

二、活动一 数学实验

1、用笔尖支撑三角形硬纸板，变化支撑点的位置，使三角形纸板保持 平衡，并标出支撑点的位置。

2、（1）在三角形纸板上任取一点，用细线在该点处将纸板悬挂。待纸板静 止后，在纸板上沿悬挂线方向画一条直线，所画直线与1中的支撑点有什么关系？

（2）再任意找一点，重复上述操作，画出两条所画直线的交点，用笔尖支撑该点，你有什么发现？

3、在2中的三角形纸板上画出三角形3条中线的交点，这个交点与2中找到的支撑点有什么关系？你发现了什么？

从而得到三角形重心的定义。

三、活动二 三角形重心性质定理的探究

1、性质推理

在△ABC 中，BD 、CE 是边AC 、AB 上的中线，BD 与CE 相交于O 。BO 与OD 的长度有什么关系？BD 与OD 又是什么关系？为什么？

分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心。这道习题要证明的结论是三角形

重心的一个重要数学性质：三角形的重心一边中点的连线长是相应中线长的1/3。证法1：课本上的证明方法

证法2取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）

∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB

又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB

∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形

∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD

同理可证：CG=2GF，BG=2GE

点评：证法2是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。

证法3：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。

∵G是BF的中点，D是BC的中点

∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC

由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF

∴AG=FC，即GD=AG

点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。

证法4：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）

2、三角形重心性质定理的应用

⑴求线段长

例1 如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6， 那么线段DG=_______。

⑵求面积

例2 在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若△BOD 的面积等于5，求 △ABC 的面积。

解：∵O 是△ABC 的重心，

∴AO ∶OD=2∶1

∴S △AOB ∶S △BOD =2∶1 即S △AOB =2 S △BOD =10

∴S △ABD = S △AOB + S △BOD =10+5=15

又AD 是△ABC 的中线

S △ABC =2 S △ABD =30。 点评：三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线把三角形分成了两个不同底， 但等高的小三角形。

四、练习：

1、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 相交于点O,AB=6,AC=8,BC=10。则线段OA=_____，OF=_____。

2、如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,若G为重心，求AG的长度。

五、作业

必做题：如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为_______。

选做题：如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G 是Rt△ABC的重心GE⊥AC于点E，若BC=6cm，求GE的长。

六、小结

今天你学会了什么？（由学生总结）