现代光学导论考试复习资料

2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为045，与y 轴夹角为060，
试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。

答：λ23=x f , λ22=y f , ()()()0,0,0λ222λ3πexpj2jkz exp ,,11U y x z y x U ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+= 2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面
上的透射光场的角谱。

答：()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=b y rect a x rect y x U , ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，
2.4 参看图2.13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在()ηξ,点。

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。

画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

答：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛2=000000a ηy rect a ξx rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()
y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2
2
00π,F
()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+1
=
2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,
()2
222⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2,
2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为d 。

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。

假定a b 4=及a d 51=.，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。

如果对其中一个矩形引入位相差π，上述结果有何变化？
图 题2.5 （1）
答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)2d
及(0,)2
d
-的矩形孔径振幅透射率之和：
00
00022(,)(
)()()()d d
x x y y t x y rect rect rect rect a
b a b
-
+=+ （1） 由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
000(,)1U x y = ，
透射光场
00
0000000022(,)(,)(,)(
)()()()d d
y y x x U x y U x y t x y rect rect rect rect a
b a b
-
+==+ （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x
y
f f z
z
λλ=
=
），即
{}
2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z
λ⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=⨯F （3）
利用傅立叶变换的相移定理，得到
{}00000022(,)()()()()d d y y x x U x y rect rect rect rect a b a b ⎧⎫⎧⎫-+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
F F F sin ()sin ()[exp()exp()]x y y y ab c af c bf j f d j f d ππ=⨯-+
2sin ()sin ()cos()ax by dy
ab c c z z z
πλλλ=⨯ 把它带入（3）式，则有
22exp()exp ()2(,)2sin ()sin ()cos()k jkz j x y ax by dy z U x y ab c c j z z z z
πλλλλ⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=
⨯⨯
强度分布
2
2222(,)sin sin cos ax by dy ab I x y c c z z
z z πλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：
11000000(,),,22x y d d t x y rect rect x y x y a b δδ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=*-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）
它和（1）式本质上是相同的。

由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。

代入所给条件b=4a,d=1.5a
22224 1.58(,)sin sin cos ax ay ay a I x y c c z z z z πλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
沿x 轴，此时0y f =
()22(,)8sin =x y x I f f a c af
中心光强：I(0,0)=8a 2 极小值位置为：(1,2,)x n
f n a
=
=±±
x 方向上强度分布的截面图示意如下：
图题2.5（2）
沿y轴：
此时0
x
f=，故
()
222
(,)8sin(4)cos 1.5π
=
x y y y
I f f a c af af
中心光强：I(0,0)=8a2
极小值位置：
12
(1,2,) 43
y y
n n
f f n
a a
±
===±±
及
y方向上强度分布的截面图示意如下：
图题2.5（3）
[][][]00000000000000111(,),exp ,22,exp ,222exp x y d d t x y rect rect x y j x y a b x y d d rect rect x y j x y a b d y x x rect rect j rect a b
a δπδδπδπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=*--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=*--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛
⎫- ⎪⎛⎫
⎛=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎪⎝
⎭12d y rect b
⎛⎫
+ ⎪⎫
⎪ ⎪⎭ ⎪⎝
⎭
由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
011(,)1U x y = ，
透射光场,b=4a,d=1.5a 时
[][]110111*********(,)(,)(,)
22exp 0.750.75exp 44ππ=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
U x y U x y t x y d d y y x x rect rect j rect rect a b a b x y a x y a rect rect j rect rect a a a a （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x
y
f f z
z
λλ=
=
），即
{}
2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z
λ⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=⨯F （3）
利用傅立叶变换的相移定理，得到
{}[]0000000.750.75(,)exp 44x y a x y a U x y rect rect j rect rect a a a a π⎧-⎫⎧+⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎨⎬⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩
⎭F F F ()22
8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp 8sin ()sin (4)exp(1.5)πππ⎡⎤=--+⎣⎦
x y y x y y a c af c af j f j a c af c af j f ()28sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)πππ=⨯--+x y y y a c af c af j f j j f
把它带入（3）式，则有
()
222222exp()exp ()2(,)8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)exp()exp ()428sin ()sin ()1.5 1.5exp exp()exp()222x y y y k jkz j x y z U x y a c af c af j z j f j j f k jkz j x y ax ay z a c c j z z z j y j y j j j z z λπππλλλπππππλλ⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=⨯⨯--+⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=
⨯-⎛
⎛⎫⨯--++ ⎪⎝⎭⎝222exp()exp ()428sin ()sin ()1.5exp cos 22k jkz j x y ax ay z a c c j z z z y j z
λλλπππλ⎫
⎪⎭
⎡⎤
+⎢⎥
⎣⎦=
⨯⎛⎫⎛⎫
⨯-+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
强度分布
2
22222
2
2224 1.58(,)sin sin cos 24 1.58sin sin sin ax ay y a I x y c c z z z z
ax ay y a c c z z z z ππλλλλπλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2.10 用波长为
A 6328=λ的平面光波垂直照明半径为mm 2的衍射孔，若观察范围是与衍
射孔共轴，半径为mm 30的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。

答：由式(2.55)221
203
+4〉〉)(L L z λ
π及式(2-57))(212
020y x k z +〉〉有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 2
21
203
+4〉〉
)(L L z λ
π即()mm z 7398=15+110⨯63280⨯4〉〉32223-..π (
)
mm π
y x k z 64964=110
⨯63280=
+2
1
〉〉23
-2
020..
2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在
轴上的强度分布。

答：圆形孔径的透过率可表示为
()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=2
200002
2000a y x circ y x U a y x circ y x t ,, 根据式(2.53)有
()()()()()00002020∞∞
-202022⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2⋅⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2=⎰⎰dy dx yy xx z j exp y x z k j exp a y x circ y x z k j exp z j jkz exp y x U λπλ, 轴上的振幅分布为
()()()()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0022002002020∞∞
-2020⎰⎰⎰⎰a z k j exp jkz exp rdrd r z k j exp z j jkz exp dy dx y x z k j exp a y x circ z j jkz exp z U a
θλλπ,,
轴上的强度分布为
()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛44=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2-12=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-1=00222a z k sin a z k cos a z k j exp jkz exp z U 2
,,
3.8 有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为n ，顶角α很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1）α，试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t 。

解：如图所示，
设入射平行光与Z 轴成θ角入射，按傍轴条件，θ角很小，入射到光楔上的光场为
)exp ()sin exp (θjkx A θjkx A U ≈=1
通过光楔后的出射光场为
()[]{}()[]{}αn θjkx A αn θjkx A U 112--≈--=exp sin exp
其中 –(n-1)α表示偏转是顺时针方向，即向底边偏转，又根据出射光场，入射光场和光楔变
换函数三者的关系 12tU U = 有 ()
[]{})exp (exp θjkx tA αn θjkx A =--1
于是有 ])(exp[αn jk t 1--=。

4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：
λ
λ
ν
ν
ΔΔ=。

设光波波长为
nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。

若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l 证明：42
1.510c λ
νλ∆∆==⨯赫，32010()c c c
l ct m ν
==
=⨯∆。