第5章刚体的定轴转动

大学物理：刚体运动学
• 理论推证
取一质量元
Fi
fi
miai
切线方向 Fi fi miai
O
ri
fi
Fi
mi•
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri miai ri miri2
对所有质元
Fi
r i
fi ri ( miri2 )
合外力矩 M
合内力矩 = 0
刚体的转动惯量 J
大学物理：刚体运动学
dr
mgx0
kx02
弹性势能
Ep2
O O
F2
dr
1 2
k x02
总势能
Ep
E p1
Ep2
1 2
k x02
大学物理：刚体运动学
上堂课主要内容
刚体的转动定律 转动惯量
M z J
J miri2
J r2dm
棒绕端点轴转动惯量 J 1 ML2 3
棒绕中点轴转动惯量 J 1 ML2 12
圆环绕中心轴旋转的转动惯量 J mR2
特点：加速度为常值
0 a t
(
x
x0
)
0
t
1 2
a
t
2
2 02 2a(x x0 )
匀变速转动
特点：角加速度为常值
0 t
(
0
)
0t
1 2
t
2
2 02 2( 0 )
大学物理：刚体运动学
§5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
•力
改变质点的运动状态
质点获得加速度
•
大学物理：刚体运动学
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内 回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
大学物理：刚体运动学
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
ac
l 2
l' 2l 3
F
Nx
F (3l' 2l
1)
Nx 0
打击中心
大学物理：刚体运动学
质点动力学作业中问题
大学物理：刚体运动学
二、填空题
1.图中所示的装置中，略去一切摩擦力以及滑轮和绳的质
量，且绳不可伸长，则 m1 质量为的物体的加速度
m1 : m1a1 T
N
m2 : m2a2 m2g T
刚体各点绕同一直线作圆周运动
角位移 角速度
d
dt
Ar
角加速度
d
dt
d 2
dt 2
刚体各点有相同的角速度、角加速度
A点速度、加速度
v r
an r2
aτ
dv dt
r
大学物理：刚体运动学
角速度与角加速度矢量
1. 角速度矢量
方向：沿轴向，右手螺旋
2. 角加速度的矢量
β
dω
β
v A
说明
dt
速度与角速度的矢量关系式
三. 转动惯量
定义式
J miri2
质量不连续分布
J r2dm
质量连续分布
• 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L 3
J铁 J木
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 J m R2 2
大学物理：刚体运动学
平行轴定理
J z' J z ML2
刚体的平衡条件
沿任意方向力分量为零 对任意转轴力矩为零
大学物理：刚体运动学
§5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能 设系统包括有 N 个质量元 z
vr11,m,rv21,2,.,.....m...r.2i.,,,..v.....i..,.r..N...,...vmNi ,......, mN
a r 0.105m s2 负号表示什么含义？
an r2 31.6m s2
大学物理：刚体运动学
上堂课主要内容
质点系动量守恒定律
Fi 0
i
质点系的总动量
质心运动定理
dmivi 0
P
mvc
F
dP dt
m dvc dt
mac
刚体的平动可归结为质点运动
大学物理：刚体运动学
匀变速直线运动
O . r
MZ
r
F
力矩的方向由右螺旋法则确定
z F//
F
(3)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
h r
F
A F
Fn
大学物理：刚体运动学
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图)
求 摩擦力对y轴的力矩
y
解 dm M dx df dm g
当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
M kJ 在国际单位中 k = 1
刚体的转动定律
M z J
作用在刚体上所有的外力对
定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴
的转动惯量
讨论
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较：M F, J m, a
rO T
解 (1) Fr J
Fr J
98 0.2 0.5
39.2
rad/s 2
F mg
(2) mg T ma
Tr J
J
mgr mr2
两者区别
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
大学物理：刚体运动学
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时
改变刚体的转动状态
力 F 对z 轴的力矩
刚体获得角加速度
z F//
F
M z (F ) Fτr Fh
• 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
• 在刚体的定轴转动中，力矩 只有两个指向
h r
F
A F
Fn
大学物理：刚体运动学
讨论
Mo
(1) 力对点的力矩
F
MO
r
F
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
例一飞轮半径为 0.2 m，转速为 150 rev/min，制动均匀减速，
经过 30 s 停止。 求（1）角加速度、转过的圈数
（2）t = 6s 时的角速度
（3）t = 6s 时边缘上一点的 v a a n
解已知条件
r 0.2m
0
150 2 60
5rad
s1
t30 0 0 0
（1）角加速度、转过的圈数
0
R 0
2m R2
r3dr
m 2
R2
dl m
R O
Rm dr
r O
大学物理：刚体运动学
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
O
dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
四. 平行轴定理
M
L
O dx
x
J L / 2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
J z' J z ML2
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴 L :两轴间垂直距离
v
dr
ω
r
r o
dt
加速度与角速度、角加速度的矢量关系式
a
dv dt
d(ω dt
r)
dω dt
r
ω
dr dt
β
rωv
3. 定轴转动的角速度与角加速度的矢量
r
r
k
r
d
r k
dt
大学物理：刚体运动学
匀变速直线运动
特点：加速度为常值
0 a t
(
x
x0
)
0
t
1 2
a
t
2
2 02 2a(x x0 )
m1
T
T 2T
m1g
a1 2a2
T’
a1
2m2 g 4m1 m2
m2 m2g
大学物理：刚体运动学
2.倔强系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹 簧伸长x0 ，重物在O处达到平衡，现取重物在O处时各种 势能均为零，则当弹簧长度为原长时，
O处平衡 重力势能
kx0 mg
Ep1
O O
F1
ML
L
根据力矩 dM M gxdx
Ox
x
L
M L M gxdx 1 MgL
0
L
2
dx
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
例如
T' T
Mi TR T' R
T'
T
Mi TR T' r
大学物理：刚体运动学
二. 刚体对定轴的转动定律
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 实验证明
z' z M
L C
大学物理：刚体运动学
例 均匀细棒的转动惯量
z
J Z
JZ
M
L
2
2
1 ML2 3
wk.baidu.com
M
z
L
J z 1/ 12ML2
计算转动惯量的方法
（1）定质量密度
一维质量线密度 二维质量面密度
设质量密度均匀
三维质量体密度
M L
M S
M V
（2）取质量元 dm d dm ds dm dv
z M
O
dx
L x
大学物理：刚体运动学
(2) J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2π R R2dl
0
0
R2
2π R
dl
0
2π
R3
m 2π R
mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr
dm ds
π
m R2
2π
rdr
2mr R2
dr
J
m r2dm
2 1
i
Mid
i
2 1
M
i
d
i
Ai
(2) 力矩的功就是力的功。
匀变速转动
特点：角加速度为常值
0 t
(
0
)
0t
1 2
t
2
2 02 2( 0 )
大学物理：刚体运动学
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
法向加速度 an 切向加速度 a
2 an r
a
d dt
a ann a
a
a
a
an
r O
an2 a2
大学物理：刚体运动学
O ri
取 mi ,其动能为
vi P • mi
Eki
1 2
mivi
2
1 2
miri
2
2
刚体的总动能
各质量元速度不同， 但角速度相同
Ek
Eki
1 2
miri2 2
1 2
miri2 2
Ek
1 J2 2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯
量与其角速度平方乘积的一半
大学物理：刚体运动学
由 0 t
30 0 rad s2
30
6
由 2 02 2( 0 )
2 30
02
75rad
2
N 37.5rev 2
大学物理：刚体运动学
（2）t = 6s 时的角速度
由 0 t
6
5
6
6
4rad
s 1
v （3）t = 6s 时边缘上一点的
a
an
v r 0.8 2.5m s-1
猫下落过程中 的翻身问题
大学物理：刚体运动学
§5.1 刚体和刚体的基本运动
一. 刚体的概念
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
大学物理：刚体运动学
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 f (t)
角速度
d f '(t)
dt
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
z
I
P
II
M
大学物理：刚体运动学
二. 力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
• 功的定义
dA
F
dr
Fcosds
Frcosd
F rd
ds=rd
dA Md
力矩作功的微分形式
d
O
r
r'
dr
.
F
P
大学物理：刚体运动学
• 对一有限过程
A 2 Md ( 积分形式 ） 若 M = C 1
A M (2 1)
讨论
(1) 合力矩的功 A
0 2l
d
2 3g sin / l
大学物理：刚体运动学
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间。
解 细圆环
dm
σ
ds
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
df 的力矩 dM rdf
dr r
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2 mgR
0
3
转动定律
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
大学物理：刚体运动学
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点
(1) 刚体中各质点的 运动情况相同
rA rB AB rA rB
A A
A B
vA vB aA aB
B B
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
3
2 dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
大学物理：刚体运动学
例 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
Nx
求 l =？时，轴对棒作用力的水平分量为 0。 l
解 设轴对棒的水平分力为 Nx
C
acx
质心运动定理 F Nx mac
转动定律
Fl' ( 1 ml2)β 3
（3）计算转动惯量
J r2dm
（4）代回质量密度
大学物理：刚体运动学
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98
N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间
的摩擦不计， (见图)
求(1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
O
ml
解 dm 质元 dm m dx l
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
转动定律 M
J J 1 ml2
3
3g cos
2l
d d
dt d
d
0
3g cos