广东省华南师范大学附属中学2021届高三数学综合测试(二)

B．z 对应的点在第一象限 D．z 的共轭复数为 l+i
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．己知向量 e1, e2 是两个不共线的向量，若 a = 2e1 − e2与b = e1 + e2 共线，则 = ( )
A． 2
B． − 2
C． − 1 2
D． 1 2
5．己知函数 f (x) = x2 sin(x − ) ，则其在区间[− , ] 上的大致图象是( )
1
6．若数列{an}满足 an+1
=1−
1 an
，且 a1
=
2 ，则
a2021=(
)
A．-1
B．2
C． 2
D． 1 2
7．f(x)是定义在 (0,+) 上的非负可导函数，且满足 xf '(x) + f (x) 0 ，对任意正数 a，b，
若 a<b，则必有( )
A．af (b)<bf (a)
B．bf (a)<af (b)
4．C 5．D 11．ABD 15．30°
6．D 7．C 8．B 12．BCD
16． − 1 ， 1 e3 − 1 e2 − e 63 2
四、解答题： 17．（10 分）
解：(1)若选择条件(1)，在等差数列{an}中
aa35
=7 + a7
=
26 ， a21a1++21d0=d
7 =
26
，解得
ad1
若甲船的速度是乙船的 3 倍，则甲船应取北偏东 θ 方向前进，才能尽快追上乙船，此
时 θ=
（填角度）．
16 ． 函 数 f (x) = 1 x3 + 1 x2 − x − x2 ln x 在 [ 1 , e] 上 的 最 小 值 是
32
2
（第一空 3 分，第二空 2 分）
，最大值是
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
=
1 b
，得 ac=
b2 =4，
1
(2) SABC
=
ac sin B 2
=
2sin B
=
7 2
，得 sin
B
=
7 4
．
又 ac =4 且 b=2，a>b>c，
∴B 为锐角，cos B =
1 − sin 2
B
=Biblioteka Baidu
3
=
a2
+ c2
− b2
=
(a + c)2
− 12
4
2ac
8
a + c = 3 2,又a c,a = 2 2, c = 2.
A．
{
an n
}为等比数列
B．{an}为递增数列
C．{an}的前 n 项和 Sn = (n −1) 2n+1 + 4
D．{
an 2n+1
}
的前
n
项和 Tn
=
n2 + 2
n
12．设函数
f
(x)
=
ax2 2e
− ln
|
ax
|
+1(a
0)
，若
f(x)有
4
个零点，则
a
的可能取值有（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．己知向量 a =(1，m)， b =（3，-2），且 (a + b) ⊥ b ，则 m=
．
14．若{an},{bn} 满足 anbn = 1, an = n2 + n ，则{bn} 的前 2020 项和为
．
15．甲船在 A 处观察到乙船在它北偏东 60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正在向北行驶，
C．2f (2019)+ f (2020)= f (2021)
D．f (2019)= f (2020)+ f (2021)
10．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，若 b=10，A=45°，则使此三角形有两
解的 a 的值可以是( )
A．5
B． 6 2
C．8
D．10 2
11．己知数列{an}的首项为 4，且满足 2(n +1)an − nan+1 = 0(n N*) ，则( )
的点球次数记为 ，求 的分布列及数学期望；
点球数
20
30
30
25
20
25
进球数
10
17
20
16
13
14
(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的
任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每
次传球都能被接到，记开始传球的人为第 1 次触球者，第 n 次触球者是甲的概率记为 Pn，
x1, x2 (x1 x2 ) ． ( I)讨论 f '(x) 的单调性；
(II)若 x1x2
1 4
，求证：
f
(x2 ) − x2 −
f (x1 ) x1
6 − a.
4
数学参考答案
一、选择题：
1．C 2．D 3．B
二、选择题：
9．ABC 10．BC
三、填空题：
13．8
14． 2020 2021
C．bf (b)<af (a)
D．af (a)<bf (b)
8．己知 α 是第四象限角，化简 1 + sin − 1 − sin 为( ) 1 − sin 1 + sin
A． − 2 tan
B． 2 tan
C． tan
D． − tan
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
al=Sl=3，当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1 也符合， ∴an=2n+1；
(2)由(1)得 bn
=
1
a
2 n
−1
=
1 (2n + 1)2
−1
=
1 4n(n + 1)
=
1 (1 4n
−
1 )， n +1
Tn
= b1
+ b2
+ + bn
6
所以平面
AMN
与平面
SAB
所成的锐二面角的余弦为
mn mn
=
3 15 25
20．（12 分）
(1)F(1，0)，设 P(x，y)为 C 上任意一点，依题意有
(x −1)2 + y 2 |x−4|
=1 2
x2 4
+
y2 3
=1
(2)易知直线 DE 斜率不为 0，设 DE 方程为 x=ty+1
由
x = ty +1
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1．己知集合 A = {x | y = ln(x −1)}, B = {x | x2 − 4 0}, 则 A B =( )
∴AM/ /平面 SCD. (2)解：如图所示以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD、AB、AS 所在的直线为 x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(0, 3,0),C(2, 3,0), D(1,0,0), S(0,0, 3) ,
于是 AM = AB + 1 BS = (0, 2
3 2
,
3 2
),
AN = AD + 3 DC = (1,0,0) + 3 (1,
4
4
3,0)
=
(7 4
,
3
3 4
,0).
设平面
AMN
的一个法向量为
n
=
(x,
y,
z),
则
AM
n
=
0
AN n = 0
将坐标代入并取 y=7，得 n = (−3 3,7,−7) ．另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m = (1,0,0)
即 P1 =1．
(i)求 P2，P3（直接写出结果即可）；
(ii)证明：数列{Pn
−
1} 3
为等比数列，并判断第
19
次还是第
20
次触球者是甲的概率大．
22．(12 分)
己知函数 f (x) = ex−1 + ln x − ax(a R) , f '(x) 是 f (x) 的导函数，且 f '(x) 有两个零点
17．（10 分）
在① a3 = 7, a5 + a7 = 26 ；② a1 = 3, S7 = 63；③ Sn = n2 + 2n ，这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若
．
(1)求 an；
(2)令 bn
=
1 an2 −
1
(n
华南师大附中 2021 届高三综合测试（二） 数学
满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和
答卷上。 2．选择题在选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-3) = -f(x)，当 x [0,3] 时， f (x) = x2 − 3x ，下列等式
成立的是( )
A．f (2019)+ f (2020)= f (2021)
B．f (2019)+ f (2021)= f (2020)
19．（12 分） (1)证明：取线段 SC 的中点 E，连接 ME，ED．
在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME/ /BC 且 ME= 1 BC， 2
∵ AD//BC 且 AD= 1 BC，∴ME//AD 且 ME = AD， 2
∴四边形 AMED 为平行四边形．
∴AM / /DE．∵DE 平面 SCD，AM 平面 SCD，
21．（12 分） 足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱． (I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测 试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢， 直到踢进为止，但是每人最多踢点球 3 次． 下表是某同学 6 次的训练数据，以这 150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率， 为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢
3
20．（12 分）
己知定点 A(-2，0)，F(l，0)，定直线 l：x=4，动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 1 ．设 2
点 P 的轨迹为 C，过点 F 的直线交 C 于 D、E 两点，直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、 N 两点． (1)求 C 的方程；
(2)若 x 轴上点 Q 满足 QM QN = 0 ，求点 Q 的坐标．
A．{x | x −2}
B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | x 2}
2．己知 i 是虚数单位，复数 z = 1− i ，下列说法正确的是( ) |i|
A．z 的虚部为-i C．z 的实部为-1
3．“ sin = 0 ”是“ cos = 1”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
a
和
c
的值．
19．（12 分）
如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥底面 ABCD，AB 垂直于
AD 和 BC，M 为棱 SB 上的点，SA=AB= 3 ，BC=2，AD=1．
(1)若 M 为棱 SB 的中点，求证：AM //平面 SCD; (2)当 SM=MB，DN=3NC 时，求平面 AMN 与 平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值．
=3 =2
an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n − 1)2 = 2n + 1
若选择条件(2)，在等差数列{an}中
a1
S7
=3 = 7a1
+
7
6 2
d
=
63
，解得
ad1
=3 =2
an = a1 + (n −1)d = 3 + (n −1)2 = 2n +1 ；
若选择条件(3)，在等差数列{an}中
=
1 (1 −
4
1 2
+
1 2
−
1 3
++
1 n
−
1 )=
n +1
1 (1 −
4
1 )=
n +1
n 4(n + 1)
18．（12 分）
(1)解法一、由己知及正弦定理，得 cos A + cos C = 1 sin A sin C sin B
5
因为 cos A + cosC = cos Asin C + cosC sin A = sin(A + C) = sin B
N
*)
，求数列
{bn
}
的前
n 项和
Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，己知 cos A + cosC = 1 ，且 b=2，a>b>c．
a
cb
(1)求 ac 的值；
(2)若△ABC 的面积 S =
7 2
，求
sin A sin C
sin Asin C
sin Asin c sin Asin c
所以 sin B = 1 , sin 2 B = sin Asin C sin Asin c sin B
由正弦定理得 b2= ac，即 ac=4．
解法二、由己知及余弦定理，得 b2
+ c2 − a 2abc
+
a2
+ b2 − c2 2abc
x2 4
+
y2 3
=
1
，得