2.计算机工作原理的通俗理解

可计算性
• 【例2.1】若m和n是两个正整数，并且m≥n，求 m和n的最大公因子的欧几里得算法可表示为：
– E1：[求余数] 以n除m得余数r。 – E2：[余数为 0吗?] 若r=0，计算结束，n即为答案； 可以在有限步内机械地完成？ 否则转到步骤E3。 – E3：[互换] 把m的值变为n，n的值变为r，重复上述 步骤。
• 一位二进制加法运算器的逻辑图：3个输入、两个输出
– – – – 两个加数（输入） 来自其它位的进位位（输入） 和（输出） 往上位的进位位（输出）
来自其他位进位 加数 加数 加法器 和 进位
图2.4 带进位加法计算示意图
四位加法运算逻辑
来自其他位进位 0 1 加法器 进位 和 1 加法器 进位 和 1
这给我们一个思路
• 如果设计一台机器用于计算，每一个时刻都只需 要进行加减乘除四则运算中的一种 • 机器如何获得该数据呢？
• 机器如何获得这些规则?
– 每一种运算显然都需要有参与运算的数据，人类是通过感觉器官 获得的数据（眼睛看、耳朵听、手摸……）
– 获得了数据，显然需要运算，我们知道1+2=3，6*7=42，……而 这些是我们非常熟悉的公式，数学运算都需要按照上述公式计算， 换句话讲，机器如果想计算，必须也知道这些运算规则。
数都是常数（1,2,3,4,5,6,7,8,9，……），很显然这些数包含整数、小数， 还有一个无限不循环小数，机器如何认识这些数？ （2）虽然简化运算为四则运算，机器如何知道什么时候用加法？什 么时候做减法？……，换句话说，机器如何认识+、-、x、÷呢？ （3）公式中含有括号，就是说运算过程中存在着运算的顺序，先算括 号内的，后算括号外的，而且加减乘除本身也有先算乘除后算加减的顺序， 机器如何按照数学要求的顺序执行呢？
指令的识别与存储
• 这里存储的只是数据， 而不是指令，那指令该 如何存储呢？ • 到目前为止，我们所说 的指令，都是人可以看 懂的，而机器如何看懂 指令，还是一个问题。
X1 X2 Y
23 56 79
• 指令是完成某一个功能的，例如：
– – – – – 存数、 加法、 减法、 逻辑运算 ……等，
• 那么这些功能是不是数量有限的呢？
• 加、减、乘、除四则运算器已经用硬件实现了。 • 但要实现不同的计算，还需要：
参与运算的数据； 运算的顺序； 这两项如果用硬件实现，那么就只能进行一个算法； 要想固定的硬件可以实现多种运算，上述两个过程就 必须可变。 – 此部分需要用“软件”实现。 – – – –
加法器分析
参与运算的数据和运算顺序 是可变的 应该由人来改变
– 这可以利用数学和逻辑学的原理推导，结论是有限的。也就是说，指 令的个数是有限的（指令集是有限的）。
• 既然是有限的，是否可以用编码方式来区分每一个指令呢？例如：
– – – – 000代表存数， 001代表加法， 010代表减法， ……
指令用二进制编码
• 用简化的语言 • 采用二进制 描述如下： 进行编码：
• 机器如何记录计算的中间结果？
– 假设机器能获得运算数据，也知道运算规则，从人类的计算步骤看，都有一个 “记”下中间运行结果的过程，该中间结果可能参与后面的计算，那机器如何记 录中间结果，又如何能够将中间结果告知人类，或者参与下面的计算呢？
关于运算器
• 加法器，有两个输入和一个和
– 两个输入：加数、被加数， – 一个输出：和， – 先不考虑进位与借位问题。
人的计算步骤
1. 算8*9得到72，先记在纸上； 2. 计算 x*x 得到一个值（1.0955），再记在纸上； 3. 计算1.0955/72，得到一个值0.0152，再记在 纸上； 4. 计算1-0.0152得到0.9848，记在纸上； 5. 按同样的方法和步骤计算出的值，记录在纸上， 将该值按照公式乘以0.9848； 6. 用1减去（5）得到的值； 7. ……。
关于指令、指令集
• 指令集到底是什么？ • 机器如何识别指令集？ • 操作序列又如何可以自动执行呢？
假设存储器
• 假设已经找到了一个办法，生产出一种东西，可 以存储二进制： • 可以往该设备中写入任意的8个二进制位，该设备 可以保留其信息（8位二进制位）； • 想要用这个信息，可以从该设备中读出此信息。
关于指令、程序和存储
• von Neumann和Burks、Goldstine说出了这样一段话: • “用形式逻辑的方法可以很容易看到，在理论上存在着某种[指令集]足以 控制任何的操作序列并使之执行……从当前的观点出发，在选择一个[指 令集] 时，真正的决定性因素是要更多地考虑其实际性质：[指令集]要求 的设备简单性，它的应用对于解决实际重要问题的明确性以及它解决该类 问题的处理速度。”
加数
+
加数 图2.1 加法计算示意图
和
ຫໍສະໝຸດ Baidu
关于运算器
• 加法器的实现？
– 十进制如何实现？X – 二进制呢？
• 二进制加法运算规则：
– – – – 0+0=0 ; 1+0 = 1 ; 0+1=1 ; 1+1 =10（最低位为0 ， 1为进位位）
• 不考虑进位的情 况下二进制加法 运算规则为： • 0+0=0 ; • 1+0 = 1 ; • 0+1=1; • 1+1 = 0（进位位 被丢掉）
我们看到：（1）泰勒级数可以无穷展开，但实际应用中在一定精度范 围内步骤即变为有限步；（2）每一项的算法步骤基本一致，只是个别地 方数字的变化；（3）将求正弦函数值的问题转化成了四则运算（基本计 算）。这给我们一个思路：是否可以将一些复杂的计算转换为简单的、基 本的计算（四则运算）？答案是肯定的。
可计算性
0 1
0 1 1 0 加法器 进位 加法器 进位
和 1
和 1
0 图2.5 4位带进位加法计算示意图
加法器分析
• 通过加法器内容的分析我们解决了几个问题：
– （1）数据的识别问题。用二进制表示数据，而二进制 的每一位可以用物理的+5V或0V来表示，数据问题转 换为了电压问题； – （2）加法规则利用了数字逻辑的与或非门电路实现， 将加法规则融入到了电路中。 – 但是，如何“记录”所得到的结果，到目前为止，是 用电压形式表示。
三条指令； 有先后顺序； 三条指令完成一个加法运算
关于指令、指令集
①MOV A，8 ②MOV B，7 ③ADD C，A，B •三步完成一个运算 •这三步由人来设定 •机器按照设定好的顺序依 次执行 •将运算结果保存在C中
程 序（或指令序列）
问题又出现了
• （1）机器如何识别“指令”？（或者说：机器如 何能看懂“指令”？） • （2）假设机器可以识别“指令”，那么是否要存 储程序？如果需要，机器又如何存储程序？ • （3）机器如果能够存储程序，机器如何找到每一 条指令，或者说通过什么手段（或方法）找到每 一条指令？ • （4）指令的顺序是不可变的，是否意味着存储程 序需要按照某种顺序存储？顺序又是什么呢？
加法器分析
• 假设我们已经用数字电路分别实现了加减乘除运 算器，也就是说四则运算已经可以分别进行了。 • 这里的加法器是用数字电路实现的 • 如果要变化需要重新设计新的数字电路。属于 “硬件” 。
加法器分析
• 要计算正弦值需要做以下的工作：
– – – – 选择一个乘法器，实现8*9，得到一个结果y1； 选择一个乘法器，实现x*x，得到一个结果y2； 选择一个除法器，实现y1/y2； ……
指令的识别与存储
• 那么如何存储？我们先 来看一个程序是什么样 的，以一个加法程序为 例：
– 将被加数放在一个存储 器中（X1）； – 将加数放在另一个存储 器中（X2）； – 实现加法运算，将和存 在某一个存储器中 （Y）； – 结束程序；
• 用简化的语言描述如 下：
– – – – MOV X1，23 MOV X2，56 ADD Y，X1，X2 HALT
• 【重点】：理解计算机为什么会出现冯•诺依曼体系。
2.1 关于计算问题
• 关于计算问题是一个困扰了人类长达几千年的问 题，其中一个重要的问题就是：
– 到底什么是计算？
• 人类还有一个梦想：
– 能否让计算自动进行？
• 这些问题直到20世纪初才有了答案。
可计算性
• 可计算理论：通过建立计算的数学模型，区分哪 些是可计算的，哪些是不可计算的。计算的过程 就是执行算法的过程。 • 可计算性（calculability）是指一个实际问题是否可 以使用计算机来解决。 • 一个可以使用计算机解决的问题是“可以在有限 步骤内被解决的问题”。 • 分析某个问题的可计算性意义重大，它使得人们 不必浪费时间在不可能解决的问题上。
MOV X1，23 MOV X2，56 ADD Y，X1，X2 HALT 000 X1，23 000 X2，56 001 Y，X1，X2 011
• 采用二进制进 行编码：
000 000 23 000 001 56 001 010 000 001 011
X1、X2、Y也用数字来 代表， •000代表X1， •001代表X2， •010代表Y
关于指令、指令集
• 假设有三个“存储器”，给三个存储器三个名字：A、B、 C。 • A放加数，B放被加数，C用来存放和。 • 要实现8+7，我们需要做几件事：
– – – – – – – （1）将数字8放在A存储器中； （2）将数字7放在存储器B中； （3）选择加法器； （4）从A中读出数字8 放在加法器的加数端； （5）从A中读出数字7放在加法器的被加数端； （6）加法器自动按规则计算出和值与进位位； （7）将和15 放在存储器C中。
考虑逻辑运算的异或运算
关于运算器
• 加法器在不考虑进位的情况下 • 等价于异或门 • 所以，可以用“异或”电路实现无进位加法运算
加数
和
加数 XOR 图2.2 加法计算示意图
考虑进位的加法运算
来自其它的进位
加数 XOR 加数 和 XOR 和
AND
OR
进位
AND
图2.3 带进位加法计算示意图
考虑进位的加法运算
• 这是计算加法的算法流程，也是一个分为7步的操作序列
关于指令、指令集
• 用一个英文的缩写将上述流程重新写一遍：
①MOV A，8 ②MOV B，7 ③ADD C，A，B ；数字8放在A存储器中； ；将数字7放在B存储器中； ；选择加法器；从A中读出 ；数字8放在加法器的加数端 ；从A中读出数字7放在加法器的 ；被加数端；加法器自动按规则 ；计算出和值与进位位；将和15 ；放在存储器C中。
sin(x) x * (1 x * x /(2 * 3) * (1 x * x /(6 * 7) * (1 x * x /(8 * 9)))))
假设要设计这样一台机器，具备加减法运算能力，可以按照泰勒级数的公式自动 计算正弦函数值。显然存在几个问题：
（1）x是一个变量，每次计算时会给定一个确定的值，例如：π /3.，其它的
我们发现： （1）计算过程是有穷的（有限性）； （2）计算的每一步都是能够机械实现的（机械性）。
可计算性
• 【例2.2】求sin(x)的值常用的方法是泰勒级数展开
x
2 m1 x3 x5 x7 x sin(x) x (1) m1 3! 5! 7! (2m 1)!
2. 计算机工作原理的通俗理解
计算机的基本思路 计算机的基本组成原理 计算机基本概念
本章重点
• 【学习目标】：了解计算机的基本组成；了解计算机软硬 件划分的原则。
• 【知识点】：
（1）如何理解程序？ （2）如何理解指令？ （3）如何理解存储？ （4）冯诺依曼体系是如何工作的？ （5）如何区分“硬件”和“软件”？
参与运算的数据 运算顺序
硬件
运算规则嵌入硬件 （加法器、减法器、乘法器、除法器）
我们的理想目标
• 人告诉机器执行的步骤，由机器自动按照人类设 定好的步骤自动执行 • 那么我们就要思考下列几个问题：
– （1）谁来选择乘除法器？ – （2）得到的结果y1、y2，如何“记录”，是记在纸上？ 还是记录在什么地方？ – （3）既然已经有了一个算法流程，能不能让流程自行 运转？ – （4）如果能够运转，如何表述该流程？ – （5）流程如果可以表述，不同的计算显然流程不同， 参与运算的数据也不相同，实现的机器能否接受由人 来改写流程，从而实现不同的计算呢？