趣味数学,数学家故事,因式分解

• 他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄
的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉
线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地 捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你 一天到晚捧著书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问 的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把
趣味数学
------浅谈数学名人
数学家的故事
阿基米德之死
• 当罗马军队的士兵一脚踢开阿基米德的房门时，里 面居然静悄悄的，毫无反响。罗马士兵以为阿基米 德还在酣睡，仔细一瞧，床上空荡荡的，只见地上 一动不动地蹲着一个两腮长着长长白胡子的人。 原来，这位七十五岁高龄的老科学家，通宵未眠， 正用双手托着下巴，聚精会神地看着画在地上的几 何图形，以至连罗马士兵站在他眼前都未发觉。 当罗马士兵把寒光闪闪的利剑碰到阿基米德鼻尖时 ，这位老科学家才从数学的迷梦中惊醒，明白发生 了什么事情。阿基米德毫无惧色，用手推开了剑， 十分平静地说道：“等一下杀我的头，再给我一会 儿功夫，让我把这条几何定律证明完毕。可不能给 后人留下一道还没有求解出来的难题啊！” • 他刚说完，又沉思起来，继续研究着地上的几何图 形。 • 残暴的罗马士兵不由分说，一剑砍死了这位伟大 的科学家
边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
十七边形趣闻
• 1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学 天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置 给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个 小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸 条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画 出一个正17边形。
• 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三 道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现 ，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都 没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一 定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思 索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路 去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一 口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青 年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置 的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负 了您对我的栽培……”
2.应用公式法
• 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果
把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项 式分解因式。
必杀公式
• 平方差公式： a2—b2＝(a＋b)(a—b)
• 完全平方公式： a2±2ab+b2＝(a±b)2
几个常用的公式
• a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
瓶中的棉线弄断吗？”
高斯，眉头紧皱，一声不吭。小伙子们更得意了，他们为 自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道：“怎么样，你智 力有限吧，实在解不出，就把你得到的那么多荣誉证书拿到 大街上当众烧掉，以后别再逞能了。”
你猜，高斯用了什么方法呢？
• 从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的 棉线照着，一分钟、两分钟..人们好奇地睁 大了眼，随着钱币“铛”的一声掉落瓶底 ，大家发现棉线被烧断了。
• 高斯他幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时
发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，
18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了
两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得
Байду номын сангаас
意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上
，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是
十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七
• am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
• ③具体方法：当各项系数都是整数时，公 因式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母取各项的相同的字母，而且各字母的 指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是 负的，一般要提出“－”号，使括号内的 第一项的系数是正的.
提公因式法练习
• • • • (2003淮安市中考题)分解因式x3 -2x2 -x x5－2x4＝_____ -2x2y＋4xy2＝____ －xn＋1－3xn＋xn－1
• 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤 抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青 年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但 是，我花了整整一个通宵。导师请他坐下，取出 圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的 面再做出一个正17边形。青年很快做出了一上正 17边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解 开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德 没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就 解出来了。你是一个真正的天才！
给我一个支点，我能撬动整个地球。
Give me a fulcrum,and I shall move the world
• 阿基米德之死，罗马将军马塞勒斯甚为悲 痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基 米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给 阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻 着球内切于圆柱的图形，以资纪念．因阿 基米德发现球的体积及表面积，都是外切 圆柱体体积及表面积的 2/3．他生前曾流露 过要刻此图形在墓上的愿望．
罗马士兵为什么这么痛恨阿基米德呢？
• 当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊
到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎。 • 同时阿基米德也召集城中百姓手持镜子排成扇形 ，将阳光聚焦到罗马军舰上，烧毁敌人船只
• 他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡 是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标 枪。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人 人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认 ：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的 战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人 ”
• a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
• an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an3b2+„+abn-2+bn-1)
应用公式法练习
• • • • • 4a5－a3 3x3－12x2y＋12xy2 16 (a－b )2－9 (a＋b )2 (x＋2) (x＋4)＋x2－16 附加题：
学长看数学
整式回顾
趣味数学
探索数字的舞蹈-----因式分解
因式分解常用方法
⑴提公因式法
• ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项 的～. • ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可 以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
• 无论是敌是友，无论是战争还是和平，社会都会对知识分 子表现出由衷的敬意。
• 爱因斯坦（1914年（35岁）4月，爱因斯坦接受德国科学界的邀请。迁居到柏林，8月 即爆发了第一次世
界大战。他虽身居战争的发源地，生活在战争鼓吹者的包围之中，却坚决地表明了自己的反战态度。）
• 周作人
数学王子“高斯”
• 如果f(a)=0， • 那么f(x)必含有因式x-a． • 例题：x²+5x+6
应用因式定理练习
• x3+2x2-5x-6
5换元法
• 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的 某一部分看作一个整体，并用一个新的字 母替代这个整体来运算，从而使运算过程 简明清晰． • 例题：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
• x15+x14+x13+…+x2+x+1
3.十字相乘法
• 对于mx2+px+q形式的多项式
• 如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p • 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) • 例题：7x2-19x-6
十字相乘法练习
• x10+x5-2
因式分解的高端方法
4应用因式定理
• 对于多项式f(x)=0，
换元法练习
• 分解因式： • (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
• 说明 ：由本题可知，用换元法分解因式
时，不必将原式中的元都用新元代换，根 据题目需要，引入必要的新元，原式中的 变元和新变元可以一起变形，换元法的本 质是简化多项式
换元法练习
• 分解因式： • (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90