三角函数复习讲义

三角函数

一．知识回顾

1.任意角的定义

角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2.任意角的分类

正角：按_________方向旋转形成的角；负角：按_________方向旋转形成的角；

零角：一条射线没有作_______旋转形成的角．

3.象限角

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的_______与x轴的____________轴重合．则终边在第几象限就是第几象限角.

4.终边相同的角

与角α终边相同的角可以表示成β＝_____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

5.弧度制

(1)定义

长度等于___________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

(2)公式

6.一些特殊角与弧度数的对应关系.

7.同角三角函数关系式

（1）平方关系：_____________________. （2）商数关系：_________________________．

8.三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)那么： (1)______叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝_______； (2)______叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝________； (3)______叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝_____________．

9.

三角函数在各象限的符号

口诀：“___________________________________________________”． 10.诱导公式

(1)sin(2k π＋α)＝_______; cos(2k π＋α)＝________； tan(2k π＋α)＝________. (2)sin(π＋α)＝________; cos(π＋α)＝________； tan(π＋α)＝_________. (3)sin(－α)＝__________； cos(－α)＝_________； tan(－α)＝____________. (4)sin(π－α)＝________； cos(π－α)＝_________； tan(π－α)＝__________. (5)sin(π

2－α)＝__________; cos(π

2－α)＝___________. (6)sin(π

2＋α)＝__________; cos(π

2＋α)＝__________. 11.正弦函数和余弦函数的图像与性质

12．正切函数y＝tan x的图象与性质

（1）y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为___________; （2）y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为___________. 14．正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换

y=sinx 向左（?>0）或向右（?<0）平移|?|个单位

→ _________________

所有点的横坐标变为原来1

ω

倍→

___________________所有点的纵坐标变为原来A倍

→ ____________________．二．例题精析：

类型一终边相同的角与象限角

例1 （1）下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )

A．510° B．150° C．－150°D．－390°（2）已知角α＝2 010°，则角α是第______象限角

变式训练：

（1）与－2 002°终边相同的最小正角是________．

（2）

16π3

是第______象限角

（3）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角

类型二 同角函数基本关系式

例2 （1）已知α∈(π2

，π)，sin α＝12

13，求cos α，tan α.

（2）已知tan α＝4

3，且α是第三象限角，求 sin α，cos α．

（3）已知tan α＝3，求下列各式的值：

①3cos α－sin α3cos α＋sin α； ②2sin 2α－3sin αcos α； ③5sin 3α＋cos α2 cos 3α＋sin 2αcos α.

变式训练：

（1）已知sin α＝

5

5

，则sin 4α－cos 4α的值为_________ (2)若tan α=4

3

-,则sin 4cos 5sin 2cos αα

αα

-+= , 1+2sin αcos α= .

类型三 任意角三角函数的定义

例3 （1）已知cos θtan θ＜0，那么角θ是( )象限角

A ．第一或第二

B ．第二或第三

C ．第三或第四

D ．第一或第四 （2）当α为第二象限时，|sin α|sin α－|cos α|

cos α的值是__________．

变式训练：

(2013·周口高一检测)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 例4 （1）已知角的终边与单位圆的交点坐标为（?√32,12

），则=________；sin α

=______; tan α =_____.

（2）已知角α终边经过P(4，5)，则sin α =______;cos α＝_______；tan α =________.

变式训练：

（1）已知α=

5π3

，求α的正弦、余弦、正切。

（2）若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为__________. （3）已知角α的终边在直线y =2x 上，则sinα=____________,tan α=_________.

类型四 三角函数线的应用

例5 （1）如果π4＜α＜π

2

，那么cos α，sin α，tan α的大小关系是______________________.

(2)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． ①sin α≥32； ②cos α≤－1

2

. 变式训练：

ααcos

利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5； (3)cos 2π3与cos 4π

5

.

类型五 诱导公式的应用 角度1 求任意角的三角函数值 例6 计算下列各值

①sin 690°; ②cos(－16π3); ③cos(－11π

6);

变式训练：

求值cos (?

11π3)+sin (?71π6)?tan (19π

3

)

角度2 给值求值

例7 （1）已知πtan 6α??- ???,则5π

tan 6α??

+

???

= . (2)若πsin 6α??+ ??

?

=513

-,且α∈π,π2

??

???,则2πsin 3α??+ ??

?

= .

变式训练：

（1）已知cos(α－75°)＝－1

3，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

（2）已知π6<α<2π

3，cos ????α＋π3＝m (m ≠0)，求sin ????2π3－α的值．

类型六 三角函数的定义域与值域 角度1 三角函数的定义域 例8 求下列函数的定义域

(1)y ＝2sin x ＋1； (2)y ＝sin x －cos x

变式训练：

函数y =√1?√3cosx 的定义域为__________________________

角度2 三角函数的值域

例9 （1）函数y ＝2cos （2x+π

6）(0≤x ≤π3

)的值域是______________

(2)求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的值域.

变式训练：

求函数y ＝3－2cos (x+π6)，x ∈[－π3，π

4

]的值域．

类型七 三角函数的性质 角度1 三角函数的周期

例10 （1）函数f(x)＝3sin(-3x ＋π

6

)的最小正周期是_________.

（2）函数y ＝2cos(ωx+π

3)(ω>0)的最小正周期为4π，则ω＝_________.

变式训练：

（1）函数y ＝sin(π

2

x ＋3)+1的最小正周期为___________

（2）下列函数中，最小正周期为2π的是( )

A ．y ＝2sin （ -x ）

B ．y ＝|cos x|

C ．y ＝sin x

2

D ．y ＝cos 2x

角度2 三角函数的单调性

例11 （1）求函数y ＝sin(π

6

－2x )的单调递减区间．

（2）求函数y ＝2sin(π

4－x )在[－π，π]上的减区间．

（3）比较下列各组值的大小． ①sin 21π5与sin 42

5

π； ②sin 194°与cos 160°. 变式训练：

（1）求函数y ＝2cos(π

4

－x )的单调递增区间．

（2）函数f (x )＝3sin(x ＋π

6

)在下列区间内递减的是( )

A ．[－π2，π2]

B ．[－π，0]

C ．[－23π，2π3]

D ．[π2，2π

3]

（3）比较下列各组数的大小：

①sin(－320°)与sin 700°； ②cos 17π8与cos 37

9π.

角度3 三角函数的奇偶性

例12 （1）函数y=cos[2(x+π

4)]是( )

(A)周期为π的奇函数 (B)周期为π的偶函数 (C)周期为2π的奇函数 (D)周期为2π的偶函数 (2)函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是__________

变式训练：

（1）函数f (x )＝sin(3x 4＋3π

2)是周期为_______的_____（填奇或偶）函数.

(2)函数y ＝cos(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的奇函数，则φ的值是__________

角度4 三角函数的对称性

例13 （1）正弦函数y ＝sin( x+π

4

），x ∈R 的图象的一条对称轴是( )

A ．直线x ＝-π4

B ．x 轴

C ．直线x ＝π4

D ．直线x ＝

3π4

（2）如果函数y=3cos(2x+?)的图象关于点4π,03??

???

中心对称,那么|?|的最小值为______ （3）函数y ＝tan(x ＋π5)，x ∈R 且x ≠3

10π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )

A ．(0,0)

B ．(π5，0)

C ．(4

5π，0) D ．(π，0)

变式训练：

(1)函数f(x)=cos(πx-π

6)的图象的对称轴方程为______________________ (2))已知函数f(x)=sin(2x-3π2)(x ∈R),下列说法错误的是( ) (A)函数f(x)最小正周期是π (B)函数f(x)是偶函数

(C)函数f(x)图象关于(π

4

,0)对称 (D)函数f(x)在[0,π

2

]上是增函数

角度5 三角函数变换

例14 （1）为了得到函数y ＝sin(2x －π

6)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )

A ．向右平移π6个单位长度

B ．向右平移π

3个单位长度

C ．向左平移π6个单位长度

D ．向左平移π

3

个单位长度

（2）将函数y ＝sin x 的图象上所有点向右平行移动π

10个单位长度，再把所得各点的横坐标

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )

A ．y ＝sin(2x －π10)

B ．y ＝sin(2x －π5)

C ．y ＝sin(12x －π10)

D ．y ＝sin(12x －π

20)

变式训练：

(1)把函数f (x )＝sin(－3x

＋π6)的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移π

3个单位长

度，则所得图象的解析式为________．

3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移π

4

个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )

A ．y ＝cos 2x

B ．y ＝－sin 2x

C ．y ＝sin(2x －π4)

D ．y ＝sin(2x ＋π

4)

角度6 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式

例15 如图所示的是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(|φ|<π

2)的图象，确定其一个函数解析式．

变式训练：

已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2)在一个周期内的部分函数图象如图所

示．求此函数的解析式．

巩固提升：

1.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是_______________.

2.下列各选项中正确的是( )

A.sin 300°>0

B.cos(-305°)<0

C.tan(-π)>0

D.sin 10<0

3.角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,则++=____________.

4.若cos(+α)=-,则sin(α-)等于_____________

5已知cos(-?)=,且|?|<,则tan ?等于_____________.

6.已知tan α=2,则7sin2α+3cos2α等于____________

7.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cos A=-cos(π-B),则C等于_________.

8.已知sin θ+cos θ=(0<θ<),则sin θ-cos θ= .

9.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )

A.y=cos(2x+)

B.y=sin (2x+)

C.y=sin 2x+cos 2x

D.y=sin x+cos x

10.函数f(x)=sin (x-)的图象的一条对称轴是( )

A.x=

B.x=

C.x=-

D.x=-

11.已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于_______.

12.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是_______________________.

13.已知f(x)=Asin(ωx+?),f(α)=A,f(β)=0,|α-β|的最小值为,则正数ω= .

?2x),x∈[-π,0],则f(x)的单调递减区间是( )

14.已知函数f(x)=4sin(π

3

A.[-π,-]

B.[-π,-]

C.[-π,-],[-,0]

D.[-π,-π],[-,0]

15.为了得到函数y=2sin(2x-)的图象,可以将函数y=2sin 2x 的图象( )

(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度

(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度

16.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sin xcos x 的图象向左平移个单位得到,则f()等于( ) (A)

(B)

(C)

(D)

17.已知函数f(x)=Asin(ωx+?)(x ∈R,A>0,|?|<)的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式是( )

(A)f(x)=2sin(πx+)(x ∈R) (B)f(x)=2sin(2πx+)(x ∈R)

(C)f(x)=2sin(πx+)(x ∈R) (D)f(x)=2sin(2πx+)(x ∈R)

18.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周,它的最低点P 0离地面2 m,风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转,则点P 离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是( )

(A)h(t)=-8sin t+10 (B)h(t)=-8cos t+10

(C)h(t)=-8sin t+8 (D)h(t)=-8cos t+8