数学建模 统计分析
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frnd (df1, df2) frnd (df1, df2, m, n)
a
12
7. 二项分布的随机数
B ( N ,p ) : P ( X k ) C N k p k ( 1 p ) N k .
binornd (N, p) binornd (N, p, m, n)
a
13
8. Poisson分布的随机数
% 1个随机数
exprnd (lambda, m, n)
a
9
4. 卡方分布的随机数
2(df )
chi2rnd (df) chi2rnd (df, m, n)
a
10
5. t分布的随机数
t(df )
trnd (df) trnd (df, m, n)
a
11
6. F分布的随机数
F(df1, df2 )
n=20;
mu0=0;
x=randn(1, n);
% 样本观测值
xbar=mean(x);
s=std(x);
t=sqrt(n)*(xbar-mu0)/s;
if abs(t)>2.093
% 2.093是临界值
c=1;
else
c=0;
end
c
a
20
单样本t检验的Matlab实现：
h=ttest(x, mu0)
验, 其中-1对应H1: mu<mu0, 1对应H1: mu>mu0. % h输出值0和1, 分别表示接受和拒绝H0 . % sig: 检验的p-值, sig<0.05等价于h=1. % ci输出置信区间, stats输出统计量的值和自由度.
a
22
2. 两样本的t检验
设有两个总体 N(1, 2) 和 N(2, 2) , 分
a
3
2. 描述性统计量
sum(x) mean(x) std(x)
%和 % 均值 % 标准差
var(x) sort(x) median(x)
% 方差 % 顺序统计量 % 中位数
a
4
skewness(x) % 偏度，正态Hale Waihona Puke Baidu0 kurtosis(x) % 峰度，正态是3
a
5
二、随机数 (random number)
别从这两个总体中抽取容量为n1和 n2的样本， 要检验的问题是
H0 :1 2, H1:1 2,
设总体的方差未知，则使用的是两样本t检验：
a
23
t
x1 x2
(n1 1)s12 (n1 1)s12
n1 n2 2
H0
~ t(n1 n2 2),
11 n1 n2
取检验的水平为 ，则检验的拒绝域为：
a
15
clear
n=5000;
for i=1:n
u=rand(1);
if u<=0.2
x(i)=1;
elseif u<=0.35
x(i)=2;
elseif u<=0.6
x(i)=3;
else
x(i)=4;
end
end
% sum(x==1)/n
a
16
三、单样本与两样本的t检验
单样本的t检验 两样本的t检验 检验的水平 检验的功效（势）
t t2(n1n22).
a
24
两样本t检验的Matlab实现：
h=ttest2(x, y)
% x，y是样本; % h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0 .
a
25
两样本t检验的Matlab实现：
[h, sig, ci, stats]=ttest2(x, y, alpha, tail)
% alpha: 显著性水平, 缺省时为0.05. % tail: 取0表示双侧检验(可缺省); 取-1或1表示单侧检
a
17
1. 单样本的t检验
设总体的分布为 N (, 2 ) ，从总体中抽取 容量为n的样本，要检验的问题是
H0 : 0, H1 :0,
设总体的方差未知，则使用的是单样本t检验：
t x 0
H0
~ t(n1),
s
n
a
18
取检验的水平为 ，则检验的拒绝域为：
t t (n1). 2
a
19
例：
clear
Outline
一、描述性统计 二、随机数的生成 三、参数假设检验 四、正态性检验* 五、方差分析 六、回归分析
a
1
一、描述性统计
直方图 均值 标准差 … 偏度 峰度
a
2
1. 直方图 (histogram) hist(x) hist(x, m) histfit(x, m) % 带正态拟合的直方图
均匀分布随机数 正态分布随机数 指数分布随机数 卡方分布随机数 t分布随机数 F分布随机数 离散分布随机数
a
6
1. 均匀分布的随机数
rand(n) rand(m, n)
% [0, 1]区间上 % [0, 1]区间上
unifrnd(a, b, m, n) % [a, b]区间上
a
% x是样本; % muo缺省时为0 ; % h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0 .
a
21
单样本t检验的Matlab实现：
[h, sig, ci, stats]=ttest(x, mu0, alpha, tail)
% alpha: 显著性水平, 缺省时为0.05. % tail: 取0表示双侧检验(可缺省); 取-1或1表示单侧检
7
2. 正态分布的随机数
randn(n) randn(m, n)
% N(0, 1) % N(0, 1)
normrnd(a, b, m, n) % N(a, b^2)
或等价地，
x=randn(m, n); x=a+b*x
a
8
3. 指数分布的随机数
f(x)1exp1x, x0.
exprnd (lambda)
验, 其中-1对应H1: mu1<mu2, 1对应H1: mu1>mu2. % h输出值0和1, 分别表示接受和拒绝H0 . % sig: 检验的p-值, sig<0.05等价于h=1. % ci输出置信区间, stats输出统计量的值和自由度.
a
26
3. 检验的水平*
在零假设成立下，重复执行检验过程，考察 零假设被拒绝的概率，这就是犯第一类错误的概 率，即检验的实际水平。
P(Xk)ke, k0,1,2,L
k!
poissrnd (lambda)
poissrnd (lambda, m, n)
a
14
9. 离散型分布的随机数
设 X~0.x210
x2 0.15
x3 0.25
0x .440,
以标准的均匀分布U作为模拟变量
若 U ≤0.20, 则X值x1 ; 若0.20<U ≤ 0.35, 则X值x2 ; 若0.35<U ≤ 0.60, 则X值x3 ; 若0.60<U ≤ 1, 则X值x4 .
a
12
7. 二项分布的随机数
B ( N ,p ) : P ( X k ) C N k p k ( 1 p ) N k .
binornd (N, p) binornd (N, p, m, n)
a
13
8. Poisson分布的随机数
% 1个随机数
exprnd (lambda, m, n)
a
9
4. 卡方分布的随机数
2(df )
chi2rnd (df) chi2rnd (df, m, n)
a
10
5. t分布的随机数
t(df )
trnd (df) trnd (df, m, n)
a
11
6. F分布的随机数
F(df1, df2 )
n=20;
mu0=0;
x=randn(1, n);
% 样本观测值
xbar=mean(x);
s=std(x);
t=sqrt(n)*(xbar-mu0)/s;
if abs(t)>2.093
% 2.093是临界值
c=1;
else
c=0;
end
c
a
20
单样本t检验的Matlab实现：
h=ttest(x, mu0)
验, 其中-1对应H1: mu<mu0, 1对应H1: mu>mu0. % h输出值0和1, 分别表示接受和拒绝H0 . % sig: 检验的p-值, sig<0.05等价于h=1. % ci输出置信区间, stats输出统计量的值和自由度.
a
22
2. 两样本的t检验
设有两个总体 N(1, 2) 和 N(2, 2) , 分
a
3
2. 描述性统计量
sum(x) mean(x) std(x)
%和 % 均值 % 标准差
var(x) sort(x) median(x)
% 方差 % 顺序统计量 % 中位数
a
4
skewness(x) % 偏度，正态Hale Waihona Puke Baidu0 kurtosis(x) % 峰度，正态是3
a
5
二、随机数 (random number)
别从这两个总体中抽取容量为n1和 n2的样本， 要检验的问题是
H0 :1 2, H1:1 2,
设总体的方差未知，则使用的是两样本t检验：
a
23
t
x1 x2
(n1 1)s12 (n1 1)s12
n1 n2 2
H0
~ t(n1 n2 2),
11 n1 n2
取检验的水平为 ，则检验的拒绝域为：
a
15
clear
n=5000;
for i=1:n
u=rand(1);
if u<=0.2
x(i)=1;
elseif u<=0.35
x(i)=2;
elseif u<=0.6
x(i)=3;
else
x(i)=4;
end
end
% sum(x==1)/n
a
16
三、单样本与两样本的t检验
单样本的t检验 两样本的t检验 检验的水平 检验的功效（势）
t t2(n1n22).
a
24
两样本t检验的Matlab实现：
h=ttest2(x, y)
% x，y是样本; % h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0 .
a
25
两样本t检验的Matlab实现：
[h, sig, ci, stats]=ttest2(x, y, alpha, tail)
% alpha: 显著性水平, 缺省时为0.05. % tail: 取0表示双侧检验(可缺省); 取-1或1表示单侧检
a
17
1. 单样本的t检验
设总体的分布为 N (, 2 ) ，从总体中抽取 容量为n的样本，要检验的问题是
H0 : 0, H1 :0,
设总体的方差未知，则使用的是单样本t检验：
t x 0
H0
~ t(n1),
s
n
a
18
取检验的水平为 ，则检验的拒绝域为：
t t (n1). 2
a
19
例：
clear
Outline
一、描述性统计 二、随机数的生成 三、参数假设检验 四、正态性检验* 五、方差分析 六、回归分析
a
1
一、描述性统计
直方图 均值 标准差 … 偏度 峰度
a
2
1. 直方图 (histogram) hist(x) hist(x, m) histfit(x, m) % 带正态拟合的直方图
均匀分布随机数 正态分布随机数 指数分布随机数 卡方分布随机数 t分布随机数 F分布随机数 离散分布随机数
a
6
1. 均匀分布的随机数
rand(n) rand(m, n)
% [0, 1]区间上 % [0, 1]区间上
unifrnd(a, b, m, n) % [a, b]区间上
a
% x是样本; % muo缺省时为0 ; % h输出值0和1，分别表示接受和拒绝H0 .
a
21
单样本t检验的Matlab实现：
[h, sig, ci, stats]=ttest(x, mu0, alpha, tail)
% alpha: 显著性水平, 缺省时为0.05. % tail: 取0表示双侧检验(可缺省); 取-1或1表示单侧检
7
2. 正态分布的随机数
randn(n) randn(m, n)
% N(0, 1) % N(0, 1)
normrnd(a, b, m, n) % N(a, b^2)
或等价地，
x=randn(m, n); x=a+b*x
a
8
3. 指数分布的随机数
f(x)1exp1x, x0.
exprnd (lambda)
验, 其中-1对应H1: mu1<mu2, 1对应H1: mu1>mu2. % h输出值0和1, 分别表示接受和拒绝H0 . % sig: 检验的p-值, sig<0.05等价于h=1. % ci输出置信区间, stats输出统计量的值和自由度.
a
26
3. 检验的水平*
在零假设成立下，重复执行检验过程，考察 零假设被拒绝的概率，这就是犯第一类错误的概 率，即检验的实际水平。
P(Xk)ke, k0,1,2,L
k!
poissrnd (lambda)
poissrnd (lambda, m, n)
a
14
9. 离散型分布的随机数
设 X~0.x210
x2 0.15
x3 0.25
0x .440,
以标准的均匀分布U作为模拟变量
若 U ≤0.20, 则X值x1 ; 若0.20<U ≤ 0.35, 则X值x2 ; 若0.35<U ≤ 0.60, 则X值x3 ; 若0.60<U ≤ 1, 则X值x4 .