数学解题思想方法之构造法

数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这
些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结
规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特
点，以便依据特点确定方案，实现构造。
下面，我们通过几个例题，来简单看一下高中阶段几种常见的构造法。
f (x) 取得最小值， f (x)min | MN | (2 5) 2 (3 1) 2 5 ，无最大值，故得函数的值域为[5, )
4
例 1．（构造函数）已知三角形的三边长分别为 a,b, c
，且
m
为正数，求证： a
a m
b
b m
c
c m
解：构造函数
f
x
x
x m
1Байду номын сангаас
x
m m
，则
f
x
在 0，+
上是增函数。
a b c 0 ， f a b f c 。
f
a
f
b
ab am bm
a b abm abm
a b abm
f
a b
7
2
5. 求函数 f (x) x2 4x 13 x2 10x 26 的值域（构造图形）
解： f (x) (x 2)2 (0 3)2 (x 5)2 [0 (1)]2 其几何意义是平面内动点 P（ x ，0）到两定点
M（2，3）和 N（5，-1）的距离之和（如图 1） 为求其值域只要求其最值即可， 易知当 M，N，P 三点共线（即 P 在线段 MN 上）时，
3. 求函数 y x 1 x 的最大值（构造三角函数）
解：由根号下的式子看出 x +1 x = 1 且 0 x 1
故可联想到三角函数关系式并构造 x sin2 (0 ) 2
所以 y sin x cos x
2 sin(
)
4
，
当
4
即x
1 2
时，
ymax
2
4. 求证： 7x 2(9 x 2 ) 9 ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 解：不等式左边可看成 7 与 x 和 2 与 9 x2 两两乘积的和，从而联想到数量积的
3
2
练习
1. 求证： y x 2 10 10 （构造函数） x2 9 3
解：设 t
x 2 9(t 3)
则
f
(t)
y
t2
1 t
，用定义法可证：f
(t)在[3,) 上单调递增，令：3≤ t1
t2
则
f
(t1 )
f
(t2 )
t12 1 t1
t22 1 t2
(t1
t2 )(t1t2 t1t 2
或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现
出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造
法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙
的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构
造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，
根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使
解题另辟蹊径、水到渠成。
用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|， 其中 | AO | a 2 b 2 ，
| BO | (a 1)2 b2
| CO | (a 1)2 (b 1)2
| DO | a 2 (b 1)2
又：| AC || BD | 2
∴ a2 b2 (a 1)2 b2 a2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2 2 2
1)
0
∴ y x 2 10 f (3) 33 1 10
x2 9
33
2. 已知 0 a 1， 0 b 1 ，求证： a 2 b2 (a 1)2 b2 a 2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2 2 2
（构造图形） 解：构造单位正方形，O 是正方形内一点，O 到 AD, AB 的距离为 a, b，
例
3.（构造直线斜率）求函数
f
x
sin cos x
x
3
的值域。
解：构造动点 P cos x,sin x 与定点 Q 3, 0 的连线的斜率，而动点 P 的轨迹为单位圆。
设直线 PQ 的方程为 y k x 3 ，即 kx y 3k 0 。
3k 1, k 2 1 , 2 k 2
1 k2
3
坐标表示，将左边看成向量 a =(
7,
2 )与 b =( x,
9
x2
)的数量积，又 a
b
|
a
|| b
|，
所以
7x
2(9 x 2 )
(
7)2 (
2)2 ·
x 2 (9 x 2 ) 9
当且仅当
b
=λ
a
(λ>0)
时等号成立，故由 x 9 x2 0 得：x= 7 ,λ=1，即 x = 7 时，等号成立。
f
c
ab c am bm cm
例 2．（构造距离）求函数 f x x2 2x 17 x2 6x 13 的最小值。
1
解： f x x+12 0 42 x 3 2 0 2 2 其几何意义是平面内动点 P x, 0 到两定点 M 1, 4, N 3, 2 的距离之和，当 P, M , N 三点共 线时距离之和最小为 MN 1 32 4 2 2 2 13 即 f x 的最小值为 2 13 。
84
4
即 2 y 2
4
4
例 4.（构造方程）已知 a,b, c R ， a b c 1, a2 b2 c2 1 ,求 c 的取值范围。
解： a b c 2 2ab 2ac 2bc a 2 b 2 c 2 ，
ab ac bc 0 a b 1c
ab c a b c 1 c 将 a,b 看成方程 x2 1 c x c 1 c 0 的两根， a,b R, 0,1 c 2 4c 1 c 0 即 c 11 3c 0, 1 c 1
数学解题思想方法之构造法
构造法，顾名思义是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，
应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，
牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使
用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件