第二讲 函数的极限典型例题

第二讲 函数的极限

一 内容提要

1.函数在一点处的定义

,

0,0)(lim 0

>∃>∀⇔=→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.

右极限

,

0,0)(lim 0

>∃>∀⇔=+→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.

左极限

,

0,0)(lim 0

>∃>∀⇔=-→δεA x f x x 使得δ<-<∀x x x 00:，有ε<-A x f )(.

注1 同数列极限一样，函数极限中的ε同样具有双重性． 注2

δ的存在性（以0x x →为例）

：在数列的“N -ε”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要；对δ也是如此，只要对给定的0>ε，能找到某一个δ，能使δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(即可． 注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A ．

注4 ⇔=→A x f x x )(lim 0

=+→)(lim 0

x f x x A x f x x =-→)(lim 0

．

注５ ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≠→∈∀⇔=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且，有A x f n n =∞→)(lim ，称为

归结原则――海涅（Heine ）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定

条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6 0,

0)(lim 00

>∀>∃⇔≠→δεA x f x x ，δ<-'<'∃00:x x x ，有0)(ε≥-'A x f ．

2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义，则

,

,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=+∞

→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,

,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=-∞

→ε使得X x x -<∀:，有ε<-A x f )(．

注１ ⇔=∞

→A x f x )(lim =+∞

→)(lim x f x A x f x =-∞

→)(lim ．

注２ ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∞→∈∀⇔=∞

→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ，有A x f n n =∞→)(lim ．

３ 函数的有界

设)(x f 在),[+∞a 上有定义，若存在一常数0>M ，使得),[+∞∈∀a x ，有M x f ≤)(，则称)(x f 在),[+∞a 上有界． ４ 无穷大量

,

0,0)(lim 0

>∃>∀⇔∞=→δG x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有G x f >)(． ,

0,0)(lim >∃>∀⇔∞=∞

→X G x f x 使得X x x >∀:，有G x f >)(．

类似地，可定义-∞=+→)(lim 0

x f x x ，-∞=-→)(lim 0

x f x x ，∞=+→)(lim 0

x f x x ，∞=-→)(lim 0

x f x x 等．

注 若∞=→)(lim 0

x f x x ，且0>∃δ和0>C ，使得δ<-<∀00:x x x ，有0)(>≥C x f ，

则∞=→)()(lim 0

x g x f x x ．

特别的，若∞=→)(lim 0

x f x x ，0)(lim 0

≠=→A x g x x ，则∞=→)()(lim 0

x g x f x x ．

５ 无穷小量

若0)(lim 0

=→x f x x ，则称)(x f 当0x x →时为无穷量．

注1 可将0x x →改为其它逼近过程．

注2 ⇔=→A x f x x )(lim 0

)()(x A x f α+=，其中0)(lim 0

=→x x x α．由于有这种可以互逆的表

达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 0)(lim 0

=→x f x x ，)(x g 在0x 的某空心邻域内有界，则0)()(lim 0

=→x g x f x x ．

注4 0)(lim =∞

→x f x ，且当x 足够大时，)(x g 有界，则0)()(lim 0

=→x g x f x x ．

注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．

6 函数极限的性质

以下以0x x →为例，其他极限过程类似． （1）A x f x x =→)(lim 0

，则极限A 唯一．

（2）A x f x x =→)(lim 0

，则0,>∃M δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(．

（3）A x f x x =→)(lim 0

，B x g x x =→)(lim 0

，且B A <，则0>∃δ，使得δ<-<∀00:x x x ，

有 )()(x g x f <