高一函数单调性判定方法

高一函数单调性基础知识总结

一、单调函数的定义 设函数

的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量

当时，都有，那么就说函数在区间D 上是增函数，I 称为()x f y =的单调增区间

当时，都有，那么就说函数在区间D 上是减函数，I 称为()x f y =的单调减区间

如果函数()x f y =在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数()x f y =在区间I 上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。

对函数单调性德理解应把握以下几个方面：

（1） 函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质

① 这个区间可以是整个定义域

如：y=2x 在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调增函数＝﹣2x 在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调减函数。

② 这个区间也可以是定义域的真子集

如：y ＝12+x 在定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上不具有单调性，但﹙﹣∞，0]上市单调减函数，在[0，﹢∞]上是单调增函数。

（2） 并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性

如：y=2是常数函数且定义域为R ，函数值不随x 的变化而变化，因此不具有单调性。

（3） 区间端点的写法

对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义时单调区间就不包括这些点

（4） 函数单调性定义中的x x 2

1必须满足任意性，不可以随便选两个特殊值 （5） 单调性的讨论必须在一个区间上

如：(),1x x f =当∈x ﹙﹣∞，0﹚时，是单调减函数，当∈x ﹙0，﹢∞﹚时，

也是单调减函数。担当∈x ﹙﹣∞，0﹚∪﹙0，﹢∞﹚时，

就不具有单调性。

（6） 注意一些与单调性的定义类似的结论：若

x x 21是()x f y =定义域的任意两值，

且()()[]()02

121>--x x x x f f ，则在其定义域内位单调增函数；若()()[]()02121<--x x x x f f ，则

在其定义域内为单调减函数 （7） 函数单调性的几何意义：

单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升

单调减函数：在定义区间上图像从左到右下降

二、判定函数单调性的常用方法

（1） 定义法：

若要证明在[a ，b]上是单调递增的，就必须证明对于区间[a ，b]上任意的

x x 21，两个自变量的值，当时都有成立。 若要证明

在[a ，b]上不是单调递增的，只需举出一个反例就足够了，即只要找到两个特殊的，满足a ≤≤b ，而()x f 1≥()x f 2

即可 用定义证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设是该区间内的任意两个值，且. ②作差：即

，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。 ③定号：根据给定的区间和符号，确定差的符号。 ④判断：根据定义得出结论。

（2）运算性质法 ①函数

与a ，当a ﹥0时有相同的单调性。当a ﹤0时有相反的单调性 ②当函数恒为正或恒为负时，与()

x f 1具有相反的单调性 ③若

≥0，则与()x f 具有相同的单调性 ④如、()x g 的单调性相同，则+()x g 的单调性与、()x g 的单调性相同

⑤如、()x g 的单调性相同反，则—()x g 的单调性与的单调性相同

（3）图像法：根据函数的图像判断函数在某区间上的单调性

（4）复合函数的单调性的判断：

①定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

②复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数单调性

()

=增增减减

u g x

y f u

=增减增减

()

[]

=增减减增

()

y f g x

这种规律简称为“同增异减”