严蔚敏版数据结构第五章
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2
5.1 数组的定义
数组： 由一组名字相同、下标不同的变量构成
注意： 本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高 级语言中的数组是顺序结构；而本章的数组既可以是顺序的， 也可以是链式结构，用户可根据需要选择。
讨论：“数组的处理比其它复杂的结构要简单”，对吗？ 答：对的。因为： ① 数组中各元素具有统一的类型； ② 数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，即数组一 旦被定义，它的维数和维界就不再改变。 ③数组的基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之 外，只有存取元素和修改元素值的操作。
行数 总列数，即 第2维长度 元素个数
ij
补充：计算二维数组元素地址的通式
设一般的二维数组是A[c1..d1, c2..d2]，这里c1,c2不一定是0。
单个元素 长度
二维数组列优先存储的通式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L
8
二维数组(书上)
数据结构课程的内容
ห้องสมุดไป่ตู้
1
第5章 数组和广义表（Arrays & Lists）
数组和广义表的特点：一种特殊的线性表
① 元素的值并非原子类型，可以再分解，表中元素也是一 个线性表（即广义的线性表）。 ② 所有数据元素仍属同一数据类型。
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储 广义表的定义 广义表的存储结构
即Ci信息保存区
数组的基本操作函数说明（有5个） （请阅读教材P93-95） 以销毁数组函数为例
15
顺序存储方式：按低地址优先（或高地址优先）顺序存入一维 数组。 （难点是多维数组与一维数组的地址映射关系）
补充：
链式存储方式：用带行指针向量的单链表来表示。 行指针向量
a11 a12 … a1n ^
3
一维数组存储方式
LOC(i) =
0 1 2
a,
3 4
i=0
5 6 7 8 9
LOC(i-1)+l = a+i*l, i > 0
a 35 27 49 18 60 54 77 83 41 02
l l l l l l l a+i*l l l l
LOC(i) = LOC(i-1)+l = a+i*l
4
20
a00 a10 a 20 a30
30a 31a a 32 33a
a01 a11 a21 a31
20a 21a 22a 23a
a02 a12 a22 a32
10a 11a 12a 13a
a03 a13 a23 a33
00a a 01 a 02 03a
17
特殊矩阵的压缩存储
• 特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有 一定规律的矩阵。 • 特殊矩阵的压缩存储主要是针对阶数很高 的特殊矩阵。为节省存储空间，对可以不 存储的元素，如零元素或对称元素，不再 存储。
– 对称矩阵 – 三对角矩阵
18
对称矩阵的压缩存储
设有一个 nn 的对称矩阵 A。
a00 a01 a10 a11 A a20 a21 an 10 an 11
若 i < j，数组元素 A[i][j] 在矩阵的上三角 部分, 在数组 B 中没有存放，可以找它的对 称元素A[j][i]：= j *(j +1) / 2 + i
23
a00 a10 a 20 n = 4 a 30
0 1 2 3
a01 a11 a21 a31
4
a02 a12 a22 a32
……
下 三 角 矩 阵
n(n+1)/2-1
B a00 a10 a11 a20 a21 a22 a30 a31 a32
an-1n-1
若 i j, 数组元素A[i][j]在数组B中的存放位置 为 1 + 2 + + i + j = (i + 1)* i / 2 + j
前i行元素总数 第i行第j个元素前元素个数22
a[0][1] a[0][0] a[1][1] a[1][0] a a[2][0] a[2][1] a[n 1][0] a[n 1][1] a[0][m 1] a[1][m 1] a[2][m 1] a[n 1][m 1]
二维数组的特点： 2个下标，每个元素ai,j受到两个关系
（行关系和列关系）的约束： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … …… am1 am2 … amn
Amn=
一个m×n的二维数组可以 看成是m行的一维数组，或 者n列的一维数组。
N维数组的特点： n个下标，每个元素受到n个关系约束
… …
am1 am2 … amn ^
^ 注：数组的运算参见下一节实例（稀疏矩阵的转置）
16
5.3 矩阵的压缩存储
讨论： 1. 什么是压缩存储？ 若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间， 且零元素不占存储空间。 2. 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？ 未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。 3. 什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩 阵等。 4. 什么叫稀疏矩阵？ 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%） 重点介绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。
答： Volume=m*n*L=6*8*6=48*6=288
例2：已知二维数组Am,m按行存储的元素地址公式是：
Loc(aij)= Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K , 按列存储的公式是？ Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K （尽管是方阵，但公式仍不同）
元素个数
12
n 维数组
– 各维元素个数为 m1, m2, m3, …, mn – 下标为 i1, i2, i3, …, in 的数组元素的存储地址：
LOC ( i1, i2, …, in ) = a + ( i1*m2*m3*…*mn + i2*m3*m4*…*mn+ + ……+ in-1*mn + in ) * l
7
无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出 任一元素的地址（这样数组中的任一元素便可以随机存取！）： ①开始结点的存放地址（即基地址） ②维数和每维的上、下界； ac1,c2 … ac1,d2 ③每个数组元素所占用的单元数 Amn= … aij … ad1,c2 … ad1,d2 则行优先存储时的地址公式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L aij之前的 数组基址 a 本行前面的
数组基址
C j
n
i i
前面若干元素占用 的地址字节总数
其中Cn=L, Ci-1=bi×Ci， 1<i≤n
一个元 素长度 第i维长度 与所存元素个数有关的系 数，可用递推法求出
14
N维数组的顺序存储表示（见教材P93）
#define MAX_ARRAY_DIM 8 //假设最大维数为8 typedef struct{ ELemType *base; //数组元素基址 int dim; //数组维数 int *bound; //数组各维长度信息保存区基址 int *constants; //数组映像函数常量的基址 }Array;
10
二维数组
三维数组
行向量 下标 i 列向量 下标 j
页向量 下标 i 行向量 下标 j 列向量 下标 k
11
三维数组
– 各维元素个数为 m1, m2, m3 – 下标为 i1, i2, i3的数组元素的存储地址： – （按页/行/列存放）
LOC ( i1, i2, i3 ) = a + ( i1* m2 * m3 + i2* m3 + i3 ) * l 前i1页总 第i1页的 元素个数 前i2行总
5 6
a03 a13 a23 a33
7 8 9
上 三 角 矩 阵
B a00 a01 a02 a03 a11 a12 a13 a22 a23 a33 若i j，数组元素A[i][j]在数组B中的存放位 置为 n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+1) + j-i
例3：〖00年计算机系考研题〗设数组a[1…60, 1…70]的
基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序 8950 顺序存储，则元素a[32,58]的存储地址为 。 答：请注意审题！ 利用列优先通式：
LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L 得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1)]*2＝8950
在矩阵中，aij = aji
a02 a12 a22 an 12
a0 n 1 a1n 1 a2 n 1 an 1n 1
19
• 为节约存储空间，只存对角线及对角线以 上的元素，或者只存对角线及对角线以下 的元素。前者称为上三角矩阵，后者称为 下三角矩阵。 • 把它们按行存放于一个一维数组 B 中，称 之为对称矩阵 A 的压缩存储方式。 • 数组 B 共有 n + ( n - 1 ) + + 1 = • n*(n+1)/2 个元素。
行优先存放： 设数组开始存放位置 LOC( 0, 0 ) ，每个元素占 用 l 个存储单元
LOC ( i, j ) = LOC( 0, 0 ) + ( i * m + j ) * l
9
例1〖软考题〗：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，
列下标的范围是0到7，每个数组元素用相邻的6个字节存储， 存储器按字节编址。那么，这个数组的体积是 288 个字节。
前i行元素总数 第i行第j个元素前元素个数
24
若 i j，数组元素A[i][j]在数组B中的存 放位置为 n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+1) + j-i = = (2*n-i+1) * i / 2 + j-i = = (2*n-i-1) * i / 2 + j 若i > j，数组元素A[i][j]在矩阵的下三角 部分，在数组 B 中没有存放。因此，找它 的对称元素A[j][i]。 A[j][i]在数组 B 的第 (2*n-j-1) * j / 2 + i 的位置中找到。
数组的抽象数据类型定义略，参见教材P90
6
5.2 数组的顺序存储表示和实现
问题： 计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维 的，怎样存放？ 解决办法：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列， 然后将这个线性序列存入存储器中。 例如：在二维数组中，我们既可以规定按行存储，也可以 规定按列存储。 注意： • 若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便 有规律可寻，可形成地址计算公式； • 约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同； • C和PASCAL中一般采用行优先顺序；FORTRAN采用列优先。
上 三 角 矩 阵 下 三 角 矩 阵
21
a00 a10 a 20 an10
0 1 2
a01 a11 a21 an11
3 4
a02 a12 a22 an12
5
6 7
a0n1 a1n1 a2n1 an1n1
8
一个n维数组可以看成是由若干个n－1维数组组成的线性表。
5
N维数组的数据类型定义
n_ARRAY = (D, R)
其中：
数据对象：D = {aj1,j2…jn| ji为数组元素的第i 维下标 ，aj1,j2…jn Elemset} 数据关系：R = { R1 ,R2，…. Rn } Ri = {<aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn >| aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn D } 基本操作：构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素
n n 1 a i j mk in * l j 1 k j 1
13
若是N维数组，其中任一元素的地址该如何计算？
教材已给出低维优先的地址计算公式，见P93 （5-2）式该式称为n维数组的映像函数：
Loc(j1,j2,…jn)=LOC(0,0,…0)＋i 1
5.1 数组的定义
数组： 由一组名字相同、下标不同的变量构成
注意： 本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高 级语言中的数组是顺序结构；而本章的数组既可以是顺序的， 也可以是链式结构，用户可根据需要选择。
讨论：“数组的处理比其它复杂的结构要简单”，对吗？ 答：对的。因为： ① 数组中各元素具有统一的类型； ② 数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，即数组一 旦被定义，它的维数和维界就不再改变。 ③数组的基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之 外，只有存取元素和修改元素值的操作。
行数 总列数，即 第2维长度 元素个数
ij
补充：计算二维数组元素地址的通式
设一般的二维数组是A[c1..d1, c2..d2]，这里c1,c2不一定是0。
单个元素 长度
二维数组列优先存储的通式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L
8
二维数组(书上)
数据结构课程的内容
ห้องสมุดไป่ตู้
1
第5章 数组和广义表（Arrays & Lists）
数组和广义表的特点：一种特殊的线性表
① 元素的值并非原子类型，可以再分解，表中元素也是一 个线性表（即广义的线性表）。 ② 所有数据元素仍属同一数据类型。
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储 广义表的定义 广义表的存储结构
即Ci信息保存区
数组的基本操作函数说明（有5个） （请阅读教材P93-95） 以销毁数组函数为例
15
顺序存储方式：按低地址优先（或高地址优先）顺序存入一维 数组。 （难点是多维数组与一维数组的地址映射关系）
补充：
链式存储方式：用带行指针向量的单链表来表示。 行指针向量
a11 a12 … a1n ^
3
一维数组存储方式
LOC(i) =
0 1 2
a,
3 4
i=0
5 6 7 8 9
LOC(i-1)+l = a+i*l, i > 0
a 35 27 49 18 60 54 77 83 41 02
l l l l l l l a+i*l l l l
LOC(i) = LOC(i-1)+l = a+i*l
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a00 a10 a 20 a30
30a 31a a 32 33a
a01 a11 a21 a31
20a 21a 22a 23a
a02 a12 a22 a32
10a 11a 12a 13a
a03 a13 a23 a33
00a a 01 a 02 03a
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特殊矩阵的压缩存储
• 特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有 一定规律的矩阵。 • 特殊矩阵的压缩存储主要是针对阶数很高 的特殊矩阵。为节省存储空间，对可以不 存储的元素，如零元素或对称元素，不再 存储。
– 对称矩阵 – 三对角矩阵
18
对称矩阵的压缩存储
设有一个 nn 的对称矩阵 A。
a00 a01 a10 a11 A a20 a21 an 10 an 11
若 i < j，数组元素 A[i][j] 在矩阵的上三角 部分, 在数组 B 中没有存放，可以找它的对 称元素A[j][i]：= j *(j +1) / 2 + i
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a00 a10 a 20 n = 4 a 30
0 1 2 3
a01 a11 a21 a31
4
a02 a12 a22 a32
……
下 三 角 矩 阵
n(n+1)/2-1
B a00 a10 a11 a20 a21 a22 a30 a31 a32
an-1n-1
若 i j, 数组元素A[i][j]在数组B中的存放位置 为 1 + 2 + + i + j = (i + 1)* i / 2 + j
前i行元素总数 第i行第j个元素前元素个数22
a[0][1] a[0][0] a[1][1] a[1][0] a a[2][0] a[2][1] a[n 1][0] a[n 1][1] a[0][m 1] a[1][m 1] a[2][m 1] a[n 1][m 1]
二维数组的特点： 2个下标，每个元素ai,j受到两个关系
（行关系和列关系）的约束： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … …… am1 am2 … amn
Amn=
一个m×n的二维数组可以 看成是m行的一维数组，或 者n列的一维数组。
N维数组的特点： n个下标，每个元素受到n个关系约束
… …
am1 am2 … amn ^
^ 注：数组的运算参见下一节实例（稀疏矩阵的转置）
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5.3 矩阵的压缩存储
讨论： 1. 什么是压缩存储？ 若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间， 且零元素不占存储空间。 2. 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？ 未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。 3. 什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩 阵等。 4. 什么叫稀疏矩阵？ 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%） 重点介绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。
答： Volume=m*n*L=6*8*6=48*6=288
例2：已知二维数组Am,m按行存储的元素地址公式是：
Loc(aij)= Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K , 按列存储的公式是？ Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K （尽管是方阵，但公式仍不同）
元素个数
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n 维数组
– 各维元素个数为 m1, m2, m3, …, mn – 下标为 i1, i2, i3, …, in 的数组元素的存储地址：
LOC ( i1, i2, …, in ) = a + ( i1*m2*m3*…*mn + i2*m3*m4*…*mn+ + ……+ in-1*mn + in ) * l
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无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出 任一元素的地址（这样数组中的任一元素便可以随机存取！）： ①开始结点的存放地址（即基地址） ②维数和每维的上、下界； ac1,c2 … ac1,d2 ③每个数组元素所占用的单元数 Amn= … aij … ad1,c2 … ad1,d2 则行优先存储时的地址公式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L aij之前的 数组基址 a 本行前面的
数组基址
C j
n
i i
前面若干元素占用 的地址字节总数
其中Cn=L, Ci-1=bi×Ci， 1<i≤n
一个元 素长度 第i维长度 与所存元素个数有关的系 数，可用递推法求出
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N维数组的顺序存储表示（见教材P93）
#define MAX_ARRAY_DIM 8 //假设最大维数为8 typedef struct{ ELemType *base; //数组元素基址 int dim; //数组维数 int *bound; //数组各维长度信息保存区基址 int *constants; //数组映像函数常量的基址 }Array;
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二维数组
三维数组
行向量 下标 i 列向量 下标 j
页向量 下标 i 行向量 下标 j 列向量 下标 k
11
三维数组
– 各维元素个数为 m1, m2, m3 – 下标为 i1, i2, i3的数组元素的存储地址： – （按页/行/列存放）
LOC ( i1, i2, i3 ) = a + ( i1* m2 * m3 + i2* m3 + i3 ) * l 前i1页总 第i1页的 元素个数 前i2行总
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a03 a13 a23 a33
7 8 9
上 三 角 矩 阵
B a00 a01 a02 a03 a11 a12 a13 a22 a23 a33 若i j，数组元素A[i][j]在数组B中的存放位 置为 n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+1) + j-i
例3：〖00年计算机系考研题〗设数组a[1…60, 1…70]的
基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序 8950 顺序存储，则元素a[32,58]的存储地址为 。 答：请注意审题！ 利用列优先通式：
LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L 得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1)]*2＝8950
在矩阵中，aij = aji
a02 a12 a22 an 12
a0 n 1 a1n 1 a2 n 1 an 1n 1
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• 为节约存储空间，只存对角线及对角线以 上的元素，或者只存对角线及对角线以下 的元素。前者称为上三角矩阵，后者称为 下三角矩阵。 • 把它们按行存放于一个一维数组 B 中，称 之为对称矩阵 A 的压缩存储方式。 • 数组 B 共有 n + ( n - 1 ) + + 1 = • n*(n+1)/2 个元素。
行优先存放： 设数组开始存放位置 LOC( 0, 0 ) ，每个元素占 用 l 个存储单元
LOC ( i, j ) = LOC( 0, 0 ) + ( i * m + j ) * l
9
例1〖软考题〗：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，
列下标的范围是0到7，每个数组元素用相邻的6个字节存储， 存储器按字节编址。那么，这个数组的体积是 288 个字节。
前i行元素总数 第i行第j个元素前元素个数
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若 i j，数组元素A[i][j]在数组B中的存 放位置为 n + (n-1) + (n-2) + + (n-i+1) + j-i = = (2*n-i+1) * i / 2 + j-i = = (2*n-i-1) * i / 2 + j 若i > j，数组元素A[i][j]在矩阵的下三角 部分，在数组 B 中没有存放。因此，找它 的对称元素A[j][i]。 A[j][i]在数组 B 的第 (2*n-j-1) * j / 2 + i 的位置中找到。
数组的抽象数据类型定义略，参见教材P90
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5.2 数组的顺序存储表示和实现
问题： 计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维 的，怎样存放？ 解决办法：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列， 然后将这个线性序列存入存储器中。 例如：在二维数组中，我们既可以规定按行存储，也可以 规定按列存储。 注意： • 若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便 有规律可寻，可形成地址计算公式； • 约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同； • C和PASCAL中一般采用行优先顺序；FORTRAN采用列优先。
上 三 角 矩 阵 下 三 角 矩 阵
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a00 a10 a 20 an10
0 1 2
a01 a11 a21 an11
3 4
a02 a12 a22 an12
5
6 7
a0n1 a1n1 a2n1 an1n1
8
一个n维数组可以看成是由若干个n－1维数组组成的线性表。
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N维数组的数据类型定义
n_ARRAY = (D, R)
其中：
数据对象：D = {aj1,j2…jn| ji为数组元素的第i 维下标 ，aj1,j2…jn Elemset} 数据关系：R = { R1 ,R2，…. Rn } Ri = {<aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn >| aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn D } 基本操作：构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素
n n 1 a i j mk in * l j 1 k j 1
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若是N维数组，其中任一元素的地址该如何计算？
教材已给出低维优先的地址计算公式，见P93 （5-2）式该式称为n维数组的映像函数：
Loc(j1,j2,…jn)=LOC(0,0,…0)＋i 1