浙教版一元二次方程知识点与习题

一元二次方程知识点及习题（一）

1、认识一元二次方程：

概念：只含有一个未知数，并且可以化为ax 2bx c 0 ( a, b,c 为常数，

a0) 的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式

方程 ( 分母不含未知数的方程 ) 。

如：x22 3 0 是分式方程，所以 x22 3 0不是一元二次方程。

x x

②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是 2 次。

2、一元二次方程的一般形式：

一般形式： ax2bx c 0 ( a0 ) ，系数a,b,c中，a一定不能为0， b 、

c 则可以为0，其中，ax2叫做二次项， a 叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、

合并同类项⋯ ) 都可以化为一般形式。

例题：将方程 ( x 3)(3 x 1)x2化成一元二次方程的一般形式.

解：( x 3)(3 x1)x2

去括号，得：3x28x3x2

移项、合并同类项，得：2x28x 3 0(一般形式的等号右边一定等于

0)

3、一元二次方程的解法：

(1) 、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式： ( x a)2b

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2，将原方程配

成 (x a) 2 b 的形式，再用直接开方法求解.）

(3) 、公式法：（求根公式： x b b24ac ）

2a

(4)、分解因式法：（理论依据： a ? b 0 ，则 a 0 或 b 0 ；利用提公因式、

运用

公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0 的形式。）

一：一元二次方程的定义

例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）

A 3 x122x1

B 11

20 x2x

C ax 2bx c0

D x 22x x21

2、若方程( m2) x|m|3mx10 是关于x的一元二次方程，则（）

． m2

B ．

m=2C

． m2

D．

m2

A

3、关于 x 的一元二次方程（ a－1）x2＋x+a2－l=0的一个根是0。则 a 的值为()

A、 1

B、－ l

C、1或－ 1

D、1 2

4、若方程m 1 x 2m ? x 1 是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围

是。

5、关于 x 的方程( a

2a2)x 2

ax b 0

是一元二次方程的条件是（）

A、a

≠1 B、

a

≠－ 2 C 、

a

≠1 且

a

≠－ 2 D、

a

≠1 或

a

≠

－2

二：一元二次方程的解

1、关于 x 的一元二次方程

a 2

x

2

x a

2 4 0的一个根为，则

a

的值

为。

2、已知方程x2kx100 的一根是2，则k为，另一根是。

3、已知a是x23x10 的根，则 2a 26a。

4、若方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 中， a,b,c满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0, 则方程的根是_______。

5、方程a b x2 b c x c a 0

的一个根为（）

A1 B 1C b c D a

课堂练习：

2

1、已知一元二次方程，则另一个根为

x +3x+m=0 的一个根为 -1

2、已知 x=1是一元二次方程 x 2 +bx+5=0的一个解，求 b 的值及方程的另一个根．

3、已知2 y2y 3 的值为2，则 4 y2 2 y 1 的值为。

4、已知关于 x 的一元二次方程ax2bx c 0 a 0 的系数满足a c b ，则此

方程必有一根为。

三：一元二次方程的求解方法

一、直接开平方法1 x 29 0;

二、配方法

．

练习

1、如果二次三项式x2（2 m1) x 16 是一个完全平方式，那么m 的值是

_______________

2、试用配方法说明x22x 3 的值恒大于0。

、已知 x2y 24x 6 y 13 0，x、y y

的值。

3为实数，求 x

4、已知 x、 y 为实数，求代数式x 2y22x 4 y7 的最小值。

三、公式法

1、x22x 8 0

2、2x25x 10

四、因式分解法

1、x22x

2、( x1) 2( 2x 3) 20

3、x26x 80

五、整体法

例： a 2b2 2a2 b 2 6 0, 则a2 b 2。

变式 1：若 x y 2x y 3 0 ，则 x+y 的值为。

变式 2：若x2xy y14 ， y2xy x 28 ，则x+y的值为。

变式 3：已知(x2y 21)( x2y 23) 5 ，则 x 2y2的值等于。四：一元二次方程中的代换思想（降次）

典例分析：

1、已知x23x 20 ，求代数式x 1

3

x 2

1

的值。

x1

2、如果x2x 1 0 ，那么代数式 x 32x27 的值。

3、已知,是方程 x 2x 1 0 的两个根，那么43.

4、已知a是一元二次方程x23x 1 0 的一根，求a

3

2a 25a 1 的值。

a 21

五：根的判别式

1、若关于x的方程x22kx 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围

是。

2、关于 X 的方程kx

26x1

有两个不相等的实数根，则

k

的取值范围是（）

A、k

＞9B、

k

＜9 且

k

≠0 C 、

k

＜9D、

k

≤9 且

k

≠

3、关于 x 的一元二次方程m 1 x 22mx m0 有实数根，则m的取值范围是

()

A. m 0且m 1

B.m 0

C.m1

D.m 1

4、对于任意实数 m，关于 x 的方程一定（）

A. 有两个正的实数根

B.有两个负的实数根

C. 有一个正实数根、一个负实数根

D.没有实数根