高数定积分的分部积分法

1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du
dx , 1 x2
v x,
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
12
1 3
1 x2
2
0
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x
)dx
.
思考题解答
1
0
xf
(2
x
)dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 xf
2
(2
x )10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
1 2
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2. 3
例6 设 f ( x ) 连续 证明
x
xt
( x t ) f (t )dt f (u)dudt
0
x
0 0
证一 记 F ( x) ( x t) f (t)dt
0
xt
G( x) f (u)dudt 则
0 0
3
、
J
(m)
1 3
2
2 4
1
5(m 4 6m 6(m 3 5m
1) 1)
2 2
,
, m为偶数
；
m 1为奇数
4、
2(
0, n 1)!!
n!!
,
5、0.
当 n 为正奇数时 当 n 为正偶数时；
1 0
1 (cos1 1). 2
例5 证明定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4
4
1 2 2
,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
2、
e 1
ln x
dx ；
e
3、J (m) x sinm xdx，（m 为自然数） 0
4、 sinn1 x cos(n 1)xdx . 0
三、已知 f ( x) tan2 x ,求 4 f ( x) f ( x)dx . 0
四、若 f ( x)在 0 , 连续， f (0) 2 , f () 1 ,
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin
n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n
n
1
I
n
2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
证明：
[ f (x)
f ( x)]sin xdx 3.
0
练习题答案
一、1、(n 1)!!； 2、(n 1)!! ； 3、1 2 ；
n!!
n!! 2
e
4、1 (e 2 1)； 5、(1 3 ) 1 ln 3 .
4
4 9 22
二、1、e sin1 e cos1 1； 2
2、2(1 1)； e
x2 sin t
例4 设 f ( x)
dt , 求
1
xf ( x)dx.
1t
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数， t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
1 2
1
0
f
(
x )d (
x2
)
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 f (1) 2
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
0
0
t
x xt
(x t) f (u)du f (u)du(dt)
0
0 0 0
xt
f (u)dudt
0 0
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是：
反、对、幂、指、三 思考题
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
x
F ( x) G( x) f (t )dt F( x) G( x) C
0
而 F(0) G(0) 0 故 F( x) G( x)
t
证二 注意到 f (u)du 是 f ( t ) 的一个原函数
0
故
x
x
t
( x t) f (t)dt ( x t)d( f (u)du)
0
,
直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2 I0,
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2 3
I1 ,
(m 1,2,)
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
12
2
1.
例2 计算
4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
xdtan x
02
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 ln
2
sec
x
4
0
ln 2 . 84
例3 计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1
0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)
1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2
3
1
1
1 dx
0 2 x 1 x
11
1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 ln 2 ln 3. 3
1 2
1
0
x
2
f
(
x
)dx
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
1 sin t
f (1) 1 t dt 0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1 0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f(Βιβλιοθήκη x)dx1 210
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0 sin
x
2dx 2
1 cos x2 2