2015届九年级数学中考复习课件：第一章第3讲
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第3讲 因式分解
要点梳理 1．因式分解
把一个多项式化成几个 整式 积的形式，叫做因
式分解，因式分解与 整式乘法 是互逆运算． 2．基本方法 (1)提取公因式法： ma＋mb－mc＝ m(a＋b－c) ．
要点梳理 (2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b)
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
提取公因式法分解因式
【例2】 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解
的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋ b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)； (2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋ 1)(x－y－1)．
；
．
要点梳理
3．因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
(3)分解因式必须分解到不能再分解为止， 每个因式的内部不再 有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这 样才算分解彻底； (4)注意因式分解中的范围，如 x －4＝(x ＋2)(x －2)，在实数 范围内分解因式，x －4＝(x ＋2)(x＋ 2)(x－ 2)，题目不作说 明的，表明是在有理数范围内因式分解．
法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；
(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式
化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复
以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不
可能分解为止．
变形技巧
当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n； 当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
1．(2014·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式
是
x －2
．
(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)
后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B ．2 m C．2 D．m＋2
(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)． 解：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)
运用公式法分解因式 【例3】 (1)①(2014·东营)3x2y－27y＝ 3y(x＋3)(x－3) ； ②(2014·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的 2 n ( m － 1 ) 结果是 ． (2)分解因式： ①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝ (3a＋1)(a＋1) ②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝ 8 ( a －1 ) 2 ； ．
1 2 1 2 ( x ＋x－1)＋( x －x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)； 2 2 1 2 1 2 ( x ＋3x＋1)＋( x －x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2 2 2
a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2
(4)(2013·湖州)mx2－my2. mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)
综合运用多种方法分解因式
【例4】
1 2 1 2 给出三个多项式：2x ＋x－1，2x ＋3x＋1，
1 2 x x － ，请你选择其中两个进行加法运算 ，并把结果分 2 解因式． 1 2 1 2 解：( x ＋x－1)＋( x ＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)； 2 2
试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝
(a＋b)(a＋b＋c) ．
【点评】
(1)首项系数为负数时，一般公因式的
系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项
正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不
可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．
2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式
4 2 4 2 2
分解彻底 作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分 解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部 不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应
写成幂的形式．这些统称分解彻底．
思考步骤
多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具
体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，
拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办
分解的是( D )
A．x2＋y2
C．x2＋x＋1
B．x2－y
D．x2－2x＋1
2．(2014·毕节)下列因式分解正确的是( A ) A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1) B．x2＋2x－1＝(x－1)2 C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
3．(2014·威海)将下列多项式分解因式，结果中不
含因式x－1的是( D )
A．x2－1
C．x2－2x＋1 y(x＋1)(x－1)
B．x(x－2)＋(2－x)
D．x2＋2x＋1
4．(2014·宁夏)分解因式：x2y－y＝ ．
5．(2014·哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因 式的结果是 3(m－n)2 ．
因式分解的意义 【例1】 (2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确
的是( D )
A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2
C．y(x2－y2)
D．y(x＋y)(x－y)
【点评】
因式分解是将一个多项式化成几个整式积
的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因
式分解，还要注意分解要彻底．
1．(2014·安徽)下列四个多项式中，能因式分解
的是( B )
A．a2＋1
C．x2＋5y
3．分解因式： (1)9x2－1； 9x2－1＝(3x＋1)(3x－1) (2)25(x＋y)2－9(x－y)2； 25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－ 3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)b＋9ab2；
【点评】
(1)用平方差公式分解因式，其关键是
将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项 式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公 式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可 将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类 项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌 握公式的特征．
要点梳理 1．因式分解
把一个多项式化成几个 整式 积的形式，叫做因
式分解，因式分解与 整式乘法 是互逆运算． 2．基本方法 (1)提取公因式法： ma＋mb－mc＝ m(a＋b－c) ．
要点梳理 (2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b)
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
提取公因式法分解因式
【例2】 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解
的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋ b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)； (2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋ 1)(x－y－1)．
；
．
要点梳理
3．因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
(3)分解因式必须分解到不能再分解为止， 每个因式的内部不再 有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这 样才算分解彻底； (4)注意因式分解中的范围，如 x －4＝(x ＋2)(x －2)，在实数 范围内分解因式，x －4＝(x ＋2)(x＋ 2)(x－ 2)，题目不作说 明的，表明是在有理数范围内因式分解．
法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；
(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式
化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复
以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不
可能分解为止．
变形技巧
当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n； 当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
1．(2014·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式
是
x －2
．
(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)
后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B ．2 m C．2 D．m＋2
(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)． 解：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)
运用公式法分解因式 【例3】 (1)①(2014·东营)3x2y－27y＝ 3y(x＋3)(x－3) ； ②(2014·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的 2 n ( m － 1 ) 结果是 ． (2)分解因式： ①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝ (3a＋1)(a＋1) ②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝ 8 ( a －1 ) 2 ； ．
1 2 1 2 ( x ＋x－1)＋( x －x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)； 2 2 1 2 1 2 ( x ＋3x＋1)＋( x －x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2 2 2
a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2
(4)(2013·湖州)mx2－my2. mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)
综合运用多种方法分解因式
【例4】
1 2 1 2 给出三个多项式：2x ＋x－1，2x ＋3x＋1，
1 2 x x － ，请你选择其中两个进行加法运算 ，并把结果分 2 解因式． 1 2 1 2 解：( x ＋x－1)＋( x ＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)； 2 2
试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝
(a＋b)(a＋b＋c) ．
【点评】
(1)首项系数为负数时，一般公因式的
系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项
正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不
可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．
2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式
4 2 4 2 2
分解彻底 作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分 解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部 不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应
写成幂的形式．这些统称分解彻底．
思考步骤
多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具
体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，
拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办
分解的是( D )
A．x2＋y2
C．x2＋x＋1
B．x2－y
D．x2－2x＋1
2．(2014·毕节)下列因式分解正确的是( A ) A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1) B．x2＋2x－1＝(x－1)2 C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
3．(2014·威海)将下列多项式分解因式，结果中不
含因式x－1的是( D )
A．x2－1
C．x2－2x＋1 y(x＋1)(x－1)
B．x(x－2)＋(2－x)
D．x2＋2x＋1
4．(2014·宁夏)分解因式：x2y－y＝ ．
5．(2014·哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因 式的结果是 3(m－n)2 ．
因式分解的意义 【例1】 (2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确
的是( D )
A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2
C．y(x2－y2)
D．y(x＋y)(x－y)
【点评】
因式分解是将一个多项式化成几个整式积
的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因
式分解，还要注意分解要彻底．
1．(2014·安徽)下列四个多项式中，能因式分解
的是( B )
A．a2＋1
C．x2＋5y
3．分解因式： (1)9x2－1； 9x2－1＝(3x＋1)(3x－1) (2)25(x＋y)2－9(x－y)2； 25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－ 3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)b＋9ab2；
【点评】
(1)用平方差公式分解因式，其关键是
将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项 式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公 式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可 将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类 项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌 握公式的特征．